ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nneo GIF version

Theorem nneo 9315
Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneo (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nneo
StepHypRef Expression
1 nncn 8886 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 peano2cn 8054 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31, 2syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
4 2cnd 8951 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
5 2ap0 8971 . . . . . 6 2 # 0
65a1i 9 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 # 0)
73, 4, 6divcanap2d 8709 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = (𝑁 + 1))
81, 4, 6divcanap2d 8709 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
98oveq1d 5868 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) = (𝑁 + 1))
107, 9eqtr4d 2206 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
11 nnz 9231 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
12 nnz 9231 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
13 zneo 9313 . . . . . 6 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
1411, 12, 13syl2an 287 . . . . 5 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
1514expcom 115 . . . 4 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1)))
1615necon2bd 2398 . . 3 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
1710, 16syl5com 29 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
18 nneoor 9314 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
1918orcomd 724 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
2019ord 719 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
2117, 20impbid 128 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  cc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   # cap 8500   / cdiv 8589  cn 8878  2c2 8929  cz 9212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213
This theorem is referenced by:  nneoi  9316
  Copyright terms: Public domain W3C validator