Theorem nneoor 8818

Description: A positive integer is even or odd. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nneoor	|- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nneoor

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5641	. . . . . 6 |- ( j = 1 -> ( j + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
2	1	oveq1d 5649	. . . . 5 |- ( j = 1 -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( 1 + 1 ) / 2 ) )
3	2	eleq1d 2156	. . . 4 |- ( j = 1 -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
4		oveq1 5641	. . . . 5 |- ( j = 1 -> ( j / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
5	4	eleq1d 2156	. . . 4 |- ( j = 1 -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( 1 / 2 ) e. NN ) )
6	3, 5	orbi12d 742	. . 3 |- ( j = 1 -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( 1 / 2 ) e. NN ) ) )
7		oveq1 5641	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( j + 1 ) = ( k + 1 ) )
8	7	oveq1d 5649	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( k + 1 ) / 2 ) )
9	8	eleq1d 2156	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
10		oveq1 5641	. . . . 5 |- ( j = k -> ( j / 2 ) = ( k / 2 ) )
11	10	eleq1d 2156	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( k / 2 ) e. NN ) )
12	9, 11	orbi12d 742	. . 3 |- ( j = k -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) ) )
13		oveq1 5641	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j + 1 ) = ( ( k + 1 ) + 1 ) )
14	13	oveq1d 5649	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) )
15	14	eleq1d 2156	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
16		oveq1 5641	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j / 2 ) = ( ( k + 1 ) / 2 ) )
17	16	eleq1d 2156	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
18	15, 17	orbi12d 742	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
19		oveq1 5641	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( j + 1 ) = ( N + 1 ) )
20	19	oveq1d 5649	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
21	20	eleq1d 2156	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
22		oveq1 5641	. . . . 5 |- ( j = N -> ( j / 2 ) = ( N / 2 ) )
23	22	eleq1d 2156	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( N / 2 ) e. NN ) )
24	21, 23	orbi12d 742	. . 3 |- ( j = N -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) ) )
25		df-2 8452	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
26	25	oveq1i 5644	. . . . . 6 |- ( 2 / 2 ) = ( ( 1 + 1 ) / 2 )
27		2div2e1 8518	. . . . . 6 |- ( 2 / 2 ) = 1
28	26, 27	eqtr3i 2110	. . . . 5 |- ( ( 1 + 1 ) / 2 ) = 1
29		1nn 8405	. . . . 5 |- 1 e. NN
30	28, 29	eqeltri 2160	. . . 4 |- ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN
31	30	orci 685	. . 3 |- ( ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( 1 / 2 ) e. NN )
32		peano2nn 8406	. . . . . 6 |- ( ( k / 2 ) e. NN -> ( ( k / 2 ) + 1 ) e. NN )
33		nncn 8402	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. CC )
34		add1p1 8635	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( ( k + 1 ) + 1 ) = ( k + 2 ) )
35	34	oveq1d 5649	. . . . . . . . 9 |- ( k e. CC -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k + 2 ) / 2 ) )
36		2cn 8464	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
37		2ap0 8486	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
38	36, 37	pm3.2i 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
39		divdirap 8138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ 2 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) )
40	36, 38, 39	mp3an23 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) )
41	27	oveq2i 5645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) = ( ( k / 2 ) + 1 )
42	40, 41	syl6eq 2136	. . . . . . . . 9 |- ( k e. CC -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
43	35, 42	eqtrd 2120	. . . . . . . 8 |- ( k e. CC -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
44	33, 43	syl 14	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
45	44	eleq1d 2156	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( k / 2 ) + 1 ) e. NN ) )
46	32, 45	syl5ibr 154	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( k / 2 ) e. NN -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
47	46	orim2d 737	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) -> ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
48		orcom 682	. . . 4 |- ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
49	47, 48	syl6ib 159	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) -> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
50	6, 12, 18, 24, 31, 49	nnind 8410	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) )
51	50	orcomd 683	1 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   \/ wo 664   = wceq 1289   e. wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   CCcc 7327   0cc0 7329   1c1 7330   + caddc 7332   # cap 8034   / cdiv 8113   NNcn 8394   2c2 8444

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452

This theorem is referenced by:  nneo  8819  zeo  8821