Theorem nneoor 9050

Description: A positive integer is even or odd. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nneoor	|- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nneoor

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5733	. . . . . 6 |- ( j = 1 -> ( j + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
2	1	oveq1d 5741	. . . . 5 |- ( j = 1 -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( 1 + 1 ) / 2 ) )
3	2	eleq1d 2181	. . . 4 |- ( j = 1 -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
4		oveq1 5733	. . . . 5 |- ( j = 1 -> ( j / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
5	4	eleq1d 2181	. . . 4 |- ( j = 1 -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( 1 / 2 ) e. NN ) )
6	3, 5	orbi12d 765	. . 3 |- ( j = 1 -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( 1 / 2 ) e. NN ) ) )
7		oveq1 5733	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( j + 1 ) = ( k + 1 ) )
8	7	oveq1d 5741	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( k + 1 ) / 2 ) )
9	8	eleq1d 2181	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
10		oveq1 5733	. . . . 5 |- ( j = k -> ( j / 2 ) = ( k / 2 ) )
11	10	eleq1d 2181	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( k / 2 ) e. NN ) )
12	9, 11	orbi12d 765	. . 3 |- ( j = k -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) ) )
13		oveq1 5733	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j + 1 ) = ( ( k + 1 ) + 1 ) )
14	13	oveq1d 5741	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) )
15	14	eleq1d 2181	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
16		oveq1 5733	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j / 2 ) = ( ( k + 1 ) / 2 ) )
17	16	eleq1d 2181	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
18	15, 17	orbi12d 765	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
19		oveq1 5733	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( j + 1 ) = ( N + 1 ) )
20	19	oveq1d 5741	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
21	20	eleq1d 2181	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
22		oveq1 5733	. . . . 5 |- ( j = N -> ( j / 2 ) = ( N / 2 ) )
23	22	eleq1d 2181	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( N / 2 ) e. NN ) )
24	21, 23	orbi12d 765	. . 3 |- ( j = N -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) ) )
25		df-2 8682	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
26	25	oveq1i 5736	. . . . . 6 |- ( 2 / 2 ) = ( ( 1 + 1 ) / 2 )
27		2div2e1 8749	. . . . . 6 |- ( 2 / 2 ) = 1
28	26, 27	eqtr3i 2135	. . . . 5 |- ( ( 1 + 1 ) / 2 ) = 1
29		1nn 8634	. . . . 5 |- 1 e. NN
30	28, 29	eqeltri 2185	. . . 4 |- ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN
31	30	orci 703	. . 3 |- ( ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( 1 / 2 ) e. NN )
32		peano2nn 8635	. . . . . 6 |- ( ( k / 2 ) e. NN -> ( ( k / 2 ) + 1 ) e. NN )
33		nncn 8631	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. CC )
34		add1p1 8866	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( ( k + 1 ) + 1 ) = ( k + 2 ) )
35	34	oveq1d 5741	. . . . . . . . 9 |- ( k e. CC -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k + 2 ) / 2 ) )
36		2cn 8694	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
37		2ap0 8716	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
38	36, 37	pm3.2i 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
39		divdirap 8363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ 2 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) )
40	36, 38, 39	mp3an23 1288	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) )
41	27	oveq2i 5737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) = ( ( k / 2 ) + 1 )
42	40, 41	syl6eq 2161	. . . . . . . . 9 |- ( k e. CC -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
43	35, 42	eqtrd 2145	. . . . . . . 8 |- ( k e. CC -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
44	33, 43	syl 14	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
45	44	eleq1d 2181	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( k / 2 ) + 1 ) e. NN ) )
46	32, 45	syl5ibr 155	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( k / 2 ) e. NN -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
47	46	orim2d 760	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) -> ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
48		orcom 700	. . . 4 |- ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
49	47, 48	syl6ib 160	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) -> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
50	6, 12, 18, 24, 31, 49	nnind 8639	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) )
51	50	orcomd 701	1 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 680   = wceq 1312   e. wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726   CCcc 7538   0cc0 7540   1c1 7541   + caddc 7543   # cap 8254   / cdiv 8338   NNcn 8623   2c2 8674

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339  df-inn 8624  df-2 8682

This theorem is referenced by:  nneo  9051  zeo  9053