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Theorem nneoor 9386
Description: A positive integer is even or odd. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
nneoor  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )

Proof of Theorem nneoor
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5904 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  (
j  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
21oveq1d 5912 . . . . 5  |-  ( j  =  1  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  / 
2 ) )
32eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
1  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4 oveq1 5904 . . . . 5  |-  ( j  =  1  ->  (
j  /  2 )  =  ( 1  / 
2 ) )
54eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( j  =  1  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( 1  /  2 )  e.  NN ) )
63, 5orbi12d 794 . . 3  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( 1  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( 1  /  2
)  e.  NN ) ) )
7 oveq1 5904 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
j  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
87oveq1d 5912 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  +  1 )  / 
2 ) )
98eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
10 oveq1 5904 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
j  /  2 )  =  ( k  / 
2 ) )
1110eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( k  /  2 )  e.  NN ) )
129, 11orbi12d 794 . . 3  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN ) ) )
13 oveq1 5904 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
1413oveq1d 5912 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 ) )
1514eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
16 oveq1 5904 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  /  2 )  =  ( ( k  +  1 )  / 
2 ) )
1716eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
1815, 17orbi12d 794 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN ) ) )
19 oveq1 5904 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
j  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2019oveq1d 5912 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( j  +  1 )  /  2 )  =  ( ( N  +  1 )  / 
2 ) )
2120eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( j  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( ( N  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
22 oveq1 5904 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
j  /  2 )  =  ( N  / 
2 ) )
2322eleq1d 2258 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( j  /  2
)  e.  NN  <->  ( N  /  2 )  e.  NN ) )
2421, 23orbi12d 794 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( ( j  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( j  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( N  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( N  /  2
)  e.  NN ) ) )
25 df-2 9009 . . . . . . 7  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2625oveq1i 5907 . . . . . 6  |-  ( 2  /  2 )  =  ( ( 1  +  1 )  /  2
)
27 2div2e1 9082 . . . . . 6  |-  ( 2  /  2 )  =  1
2826, 27eqtr3i 2212 . . . . 5  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  =  1
29 1nn 8961 . . . . 5  |-  1  e.  NN
3028, 29eqeltri 2262 . . . 4  |-  ( ( 1  +  1 )  /  2 )  e.  NN
3130orci 732 . . 3  |-  ( ( ( 1  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  (
1  /  2 )  e.  NN )
32 peano2nn 8962 . . . . . 6  |-  ( ( k  /  2 )  e.  NN  ->  (
( k  /  2
)  +  1 )  e.  NN )
33 nncn 8958 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
34 add1p1 9199 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  1 )  +  1 )  =  ( k  +  2 ) )
3534oveq1d 5912 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  +  2 )  / 
2 ) )
36 2cn 9021 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
37 2ap0 9043 . . . . . . . . . . . 12  |-  2 #  0
3836, 37pm3.2i 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  /\  2 #  0 )
39 divdirap 8685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2 #  0 ) )  -> 
( ( k  +  2 )  /  2
)  =  ( ( k  /  2 )  +  ( 2  / 
2 ) ) )
4036, 38, 39mp3an23 1340 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  2 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  ( 2  /  2
) ) )
4127oveq2i 5908 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  /  2 )  +  ( 2  / 
2 ) )  =  ( ( k  / 
2 )  +  1 )
4240, 41eqtrdi 2238 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( k  +  2 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
4335, 42eqtrd 2222 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  CC  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
4433, 43syl 14 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( k  /  2 )  +  1 ) )
4544eleq1d 2258 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
k  /  2 )  +  1 )  e.  NN ) )
4632, 45imbitrrid 156 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( k  /  2
)  e.  NN  ->  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
4746orim2d 789 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( k  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) ) )
48 orcom 729 . . . 4  |-  ( ( ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2
)  e.  NN )  <-> 
( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2
)  e.  NN ) )
4947, 48imbitrdi 161 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( k  +  1 )  / 
2 )  e.  NN  \/  ( k  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( k  +  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  \/  ( ( k  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) ) )
506, 12, 18, 24, 31, 49nnind 8966 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN  \/  ( N  /  2
)  e.  NN ) )
5150orcomd 730 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( N  /  2
)  e.  NN  \/  ( ( N  + 
1 )  /  2
)  e.  NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    \/ wo 709    = wceq 1364    e. wcel 2160   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897   CCcc 7840   0cc0 7842   1c1 7843    + caddc 7845   # cap 8569    / cdiv 8660   NNcn 8950   2c2 9001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009
This theorem is referenced by:  nneo  9387  zeo  9389
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