Theorem nneoor 9344

Description: A positive integer is even or odd. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nneoor	|- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nneoor

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5876	. . . . . 6 |- ( j = 1 -> ( j + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
2	1	oveq1d 5884	. . . . 5 |- ( j = 1 -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( 1 + 1 ) / 2 ) )
3	2	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( j = 1 -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
4		oveq1 5876	. . . . 5 |- ( j = 1 -> ( j / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
5	4	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( j = 1 -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( 1 / 2 ) e. NN ) )
6	3, 5	orbi12d 793	. . 3 |- ( j = 1 -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( 1 / 2 ) e. NN ) ) )
7		oveq1 5876	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( j + 1 ) = ( k + 1 ) )
8	7	oveq1d 5884	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( k + 1 ) / 2 ) )
9	8	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
10		oveq1 5876	. . . . 5 |- ( j = k -> ( j / 2 ) = ( k / 2 ) )
11	10	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( k / 2 ) e. NN ) )
12	9, 11	orbi12d 793	. . 3 |- ( j = k -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) ) )
13		oveq1 5876	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j + 1 ) = ( ( k + 1 ) + 1 ) )
14	13	oveq1d 5884	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) )
15	14	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
16		oveq1 5876	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j / 2 ) = ( ( k + 1 ) / 2 ) )
17	16	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
18	15, 17	orbi12d 793	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
19		oveq1 5876	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( j + 1 ) = ( N + 1 ) )
20	19	oveq1d 5884	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
21	20	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
22		oveq1 5876	. . . . 5 |- ( j = N -> ( j / 2 ) = ( N / 2 ) )
23	22	eleq1d 2246	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( N / 2 ) e. NN ) )
24	21, 23	orbi12d 793	. . 3 |- ( j = N -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) ) )
25		df-2 8967	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
26	25	oveq1i 5879	. . . . . 6 |- ( 2 / 2 ) = ( ( 1 + 1 ) / 2 )
27		2div2e1 9040	. . . . . 6 |- ( 2 / 2 ) = 1
28	26, 27	eqtr3i 2200	. . . . 5 |- ( ( 1 + 1 ) / 2 ) = 1
29		1nn 8919	. . . . 5 |- 1 e. NN
30	28, 29	eqeltri 2250	. . . 4 |- ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN
31	30	orci 731	. . 3 |- ( ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( 1 / 2 ) e. NN )
32		peano2nn 8920	. . . . . 6 |- ( ( k / 2 ) e. NN -> ( ( k / 2 ) + 1 ) e. NN )
33		nncn 8916	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. CC )
34		add1p1 9157	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( ( k + 1 ) + 1 ) = ( k + 2 ) )
35	34	oveq1d 5884	. . . . . . . . 9 |- ( k e. CC -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k + 2 ) / 2 ) )
36		2cn 8979	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
37		2ap0 9001	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
38	36, 37	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
39		divdirap 8643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ 2 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) )
40	36, 38, 39	mp3an23 1329	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) )
41	27	oveq2i 5880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) = ( ( k / 2 ) + 1 )
42	40, 41	eqtrdi 2226	. . . . . . . . 9 |- ( k e. CC -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
43	35, 42	eqtrd 2210	. . . . . . . 8 |- ( k e. CC -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
44	33, 43	syl 14	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
45	44	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( k / 2 ) + 1 ) e. NN ) )
46	32, 45	syl5ibr 156	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( k / 2 ) e. NN -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
47	46	orim2d 788	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) -> ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
48		orcom 728	. . . 4 |- ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
49	47, 48	syl6ib 161	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) -> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
50	6, 12, 18, 24, 31, 49	nnind 8924	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) )
51	50	orcomd 729	1 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   CCcc 7800   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   # cap 8528   / cdiv 8618   NNcn 8908   2c2 8959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967

This theorem is referenced by:  nneo  9345  zeo  9347