Theorem nneoor 9153

Description: A positive integer is even or odd. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nneoor	|- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Proof of Theorem nneoor

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5781	. . . . . 6 |- ( j = 1 -> ( j + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
2	1	oveq1d 5789	. . . . 5 |- ( j = 1 -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( 1 + 1 ) / 2 ) )
3	2	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( j = 1 -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
4		oveq1 5781	. . . . 5 |- ( j = 1 -> ( j / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
5	4	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( j = 1 -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( 1 / 2 ) e. NN ) )
6	3, 5	orbi12d 782	. . 3 |- ( j = 1 -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( 1 / 2 ) e. NN ) ) )
7		oveq1 5781	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( j + 1 ) = ( k + 1 ) )
8	7	oveq1d 5789	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( k + 1 ) / 2 ) )
9	8	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
10		oveq1 5781	. . . . 5 |- ( j = k -> ( j / 2 ) = ( k / 2 ) )
11	10	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( k / 2 ) e. NN ) )
12	9, 11	orbi12d 782	. . 3 |- ( j = k -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) ) )
13		oveq1 5781	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j + 1 ) = ( ( k + 1 ) + 1 ) )
14	13	oveq1d 5789	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) )
15	14	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
16		oveq1 5781	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j / 2 ) = ( ( k + 1 ) / 2 ) )
17	16	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
18	15, 17	orbi12d 782	. . 3 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
19		oveq1 5781	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( j + 1 ) = ( N + 1 ) )
20	19	oveq1d 5789	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( j + 1 ) / 2 ) = ( ( N + 1 ) / 2 ) )
21	20	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
22		oveq1 5781	. . . . 5 |- ( j = N -> ( j / 2 ) = ( N / 2 ) )
23	22	eleq1d 2208	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( j / 2 ) e. NN <-> ( N / 2 ) e. NN ) )
24	21, 23	orbi12d 782	. . 3 |- ( j = N -> ( ( ( ( j + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( j / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) ) )
25		df-2 8779	. . . . . . 7 |- 2 = ( 1 + 1 )
26	25	oveq1i 5784	. . . . . 6 |- ( 2 / 2 ) = ( ( 1 + 1 ) / 2 )
27		2div2e1 8852	. . . . . 6 |- ( 2 / 2 ) = 1
28	26, 27	eqtr3i 2162	. . . . 5 |- ( ( 1 + 1 ) / 2 ) = 1
29		1nn 8731	. . . . 5 |- 1 e. NN
30	28, 29	eqeltri 2212	. . . 4 |- ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN
31	30	orci 720	. . 3 |- ( ( ( 1 + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( 1 / 2 ) e. NN )
32		peano2nn 8732	. . . . . 6 |- ( ( k / 2 ) e. NN -> ( ( k / 2 ) + 1 ) e. NN )
33		nncn 8728	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> k e. CC )
34		add1p1 8969	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( ( k + 1 ) + 1 ) = ( k + 2 ) )
35	34	oveq1d 5789	. . . . . . . . 9 |- ( k e. CC -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k + 2 ) / 2 ) )
36		2cn 8791	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
37		2ap0 8813	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 # 0
38	36, 37	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
39		divdirap 8457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. CC /\ 2 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) )
40	36, 38, 39	mp3an23 1307	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. CC -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) )
41	27	oveq2i 5785	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k / 2 ) + ( 2 / 2 ) ) = ( ( k / 2 ) + 1 )
42	40, 41	syl6eq 2188	. . . . . . . . 9 |- ( k e. CC -> ( ( k + 2 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
43	35, 42	eqtrd 2172	. . . . . . . 8 |- ( k e. CC -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
44	33, 43	syl 14	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) = ( ( k / 2 ) + 1 ) )
45	44	eleq1d 2208	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN <-> ( ( k / 2 ) + 1 ) e. NN ) )
46	32, 45	syl5ibr 155	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ( k / 2 ) e. NN -> ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
47	46	orim2d 777	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) -> ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
48		orcom 717	. . . 4 |- ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN ) <-> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) )
49	47, 48	syl6ib 160	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( k / 2 ) e. NN ) -> ( ( ( ( k + 1 ) + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( ( k + 1 ) / 2 ) e. NN ) ) )
50	6, 12, 18, 24, 31, 49	nnind 8736	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN \/ ( N / 2 ) e. NN ) )
51	50	orcomd 718	1 |- ( N e. NN -> ( ( N / 2 ) e. NN \/ ( ( N + 1 ) / 2 ) e. NN ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7618   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   # cap 8343   / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779

This theorem is referenced by:  nneo  9154  zeo  9156