Theorem nninfomni 13899

Description: ℕ_∞ is omniscient. Corollary 3.7 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfomni	|- ℕ∞ e. Omni

Proof of Theorem nninfomni

Dummy variables a b i k n q c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elequ1 2140	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = i -> ( c e. b <-> i e. b ) )
2	1	ifbid 3541	. . . . . . . . . 10 |- ( c = i -> if ( c e. b , 1o , (/) ) = if ( i e. b , 1o , (/) ) )
3	2	cbvmptv 4078	. . . . . . . . 9 |- ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) )
4	3	fveq2i 5489	. . . . . . . 8 |- ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) )
5	4	eqeq1i 2173	. . . . . . 7 |- ( ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
6	5	ralbii 2472	. . . . . 6 |- ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
7		ifbi 3540	. . . . . 6 |- ( ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
9	8	mpteq2i 4069	. . . 4 |- ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
10		elequ2 2141	. . . . . . . . . 10 |- ( k = b -> ( i e. k <-> i e. b ) )
11	10	ifbid 3541	. . . . . . . . 9 |- ( k = b -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. b , 1o , (/) ) )
12	11	mpteq2dv 4073	. . . . . . . 8 |- ( k = b -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) )
13	12	fveqeq2d 5494	. . . . . . 7 |- ( k = b -> ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
14	13	cbvralv 2692	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
15		ifbi 3540	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 |- if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
17	16	mpteq2i 4069	. . . 4 |- ( a e. om |-> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
18		suceq 4380	. . . . . . 7 |- ( a = n -> suc a = suc n )
19	18	raleqdv 2667	. . . . . 6 |- ( a = n -> ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
20	19	ifbid 3541	. . . . 5 |- ( a = n -> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
21	20	cbvmptv 4078	. . . 4 |- ( a e. om |-> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
22	9, 17, 21	3eqtr2i 2192	. . 3 |- ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
23	22	mpteq2i 4069	. 2 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ) = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
24	23	nninfomnilem 13898	1 |- ℕ∞ e. Omni

Syntax hints:   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   (/)c0 3409   ifcif 3520   |-> cmpt 4043   suc csuc 4343   omcom 4567   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1oc1o 6377   2oc2o 6378   ^m cmap 6614  ℕ_∞xnninf 7084  Omnicomni 7098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1o 6384  df-2o 6385  df-map 6616  df-nninf 7085  df-omni 7099

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  13901