Theorem nninfomni 14771

Description: ℕ_∞ is omniscient. Corollary 3.7 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfomni	|- ℕ∞ e. Omni

Proof of Theorem nninfomni

Dummy variables a b i k n q c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elequ1 2152	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = i -> ( c e. b <-> i e. b ) )
2	1	ifbid 3556	. . . . . . . . . 10 |- ( c = i -> if ( c e. b , 1o , (/) ) = if ( i e. b , 1o , (/) ) )
3	2	cbvmptv 4100	. . . . . . . . 9 |- ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) )
4	3	fveq2i 5519	. . . . . . . 8 |- ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) )
5	4	eqeq1i 2185	. . . . . . 7 |- ( ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
6	5	ralbii 2483	. . . . . 6 |- ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
7		ifbi 3555	. . . . . 6 |- ( ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
9	8	mpteq2i 4091	. . . 4 |- ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
10		elequ2 2153	. . . . . . . . . 10 |- ( k = b -> ( i e. k <-> i e. b ) )
11	10	ifbid 3556	. . . . . . . . 9 |- ( k = b -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. b , 1o , (/) ) )
12	11	mpteq2dv 4095	. . . . . . . 8 |- ( k = b -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) )
13	12	fveqeq2d 5524	. . . . . . 7 |- ( k = b -> ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
14	13	cbvralv 2704	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
15		ifbi 3555	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 |- if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
17	16	mpteq2i 4091	. . . 4 |- ( a e. om |-> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
18		suceq 4403	. . . . . . 7 |- ( a = n -> suc a = suc n )
19	18	raleqdv 2679	. . . . . 6 |- ( a = n -> ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
20	19	ifbid 3556	. . . . 5 |- ( a = n -> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
21	20	cbvmptv 4100	. . . 4 |- ( a e. om |-> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
22	9, 17, 21	3eqtr2i 2204	. . 3 |- ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
23	22	mpteq2i 4091	. 2 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ) = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
24	23	nninfomnilem 14770	1 |- ℕ∞ e. Omni

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   (/)c0 3423   ifcif 3535   |-> cmpt 4065   suc csuc 4366   omcom 4590   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   1oc1o 6410   2oc2o 6411   ^m cmap 6648  ℕ_∞xnninf 7118  Omnicomni 7132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1o 6417  df-2o 6418  df-map 6650  df-nninf 7119  df-omni 7133

This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  14773