Theorem nninfomni 16967

Description: ℕ_∞ is omniscient. Corollary 3.7 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfomni	|- ℕ∞ e. Omni

Proof of Theorem nninfomni

Dummy variables a b i k n q c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elequ1 2213	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = i -> ( c e. b <-> i e. b ) )
2	1	ifbid 3659	. . . . . . . . . 10 |- ( c = i -> if ( c e. b , 1o , (/) ) = if ( i e. b , 1o , (/) ) )
3	2	cbvmptv 4222	. . . . . . . . 9 |- ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) )
4	3	fveq2i 5693	. . . . . . . 8 |- ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) )
5	4	eqeq1i 2246	. . . . . . 7 |- ( ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
6	5	ralbii 2556	. . . . . 6 |- ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
7		ifbi 3658	. . . . . 6 |- ( ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
9	8	mpteq2i 4213	. . . 4 |- ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
10		elequ2 2214	. . . . . . . . . 10 |- ( k = b -> ( i e. k <-> i e. b ) )
11	10	ifbid 3659	. . . . . . . . 9 |- ( k = b -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. b , 1o , (/) ) )
12	11	mpteq2dv 4217	. . . . . . . 8 |- ( k = b -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) )
13	12	fveqeq2d 5698	. . . . . . 7 |- ( k = b -> ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
14	13	cbvralv 2786	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
15		ifbi 3658	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 |- if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
17	16	mpteq2i 4213	. . . 4 |- ( a e. om |-> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
18		suceq 4542	. . . . . . 7 |- ( a = n -> suc a = suc n )
19	18	raleqdv 2755	. . . . . 6 |- ( a = n -> ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
20	19	ifbid 3659	. . . . 5 |- ( a = n -> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
21	20	cbvmptv 4222	. . . 4 |- ( a e. om |-> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
22	9, 17, 21	3eqtr2i 2265	. . 3 |- ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
23	22	mpteq2i 4213	. 2 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ) = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
24	23	nninfomnilem 16966	1 |- ℕ∞ e. Omni

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   (/)c0 3520   ifcif 3635   |-> cmpt 4187   suc csuc 4505   omcom 4732   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   1oc1o 6670   2oc2o 6671   ^m cmap 6912  ℕ_∞xnninf 7449  Omnicomni 7464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-13 2211  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1o 6677  df-2o 6678  df-map 6914  df-nninf 7450  df-omni 7465

This theorem is referenced by:  nnnninfen  16969  exmidsbthrlem  16972