Users' Mathboxes Mathbox for Jim Kingdon < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nninfomni Unicode version

Theorem nninfomni 13049
Description: is omniscient. Corollary 3.7 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfomni  |-  e. Omni

Proof of Theorem nninfomni
Dummy variables  a  b  i  k  n  q  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elequ1 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  =  i  ->  (
c  e.  b  <->  i  e.  b ) )
21ifbid 3461 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  i  ->  if ( c  e.  b ,  1o ,  (/) )  =  if (
i  e.  b ,  1o ,  (/) ) )
32cbvmptv 3992 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  om  |->  if ( c  e.  b ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) )
43fveq2i 5390 . . . . . . . 8  |-  ( q `
 ( c  e. 
om  |->  if ( c  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )
54eqeq1i 2123 . . . . . . 7  |-  ( ( q `  ( c  e.  om  |->  if ( c  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
65ralbii 2416 . . . . . 6  |-  ( A. b  e.  suc  a ( q `  ( c  e.  om  |->  if ( c  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. b  e.  suc  a ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
7 ifbi 3460 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  suc  a ( q `  ( c  e.  om  |->  if ( c  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. b  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. b  e.  suc  a ( q `  ( c  e.  om  |->  if ( c  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. b  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  if ( A. b  e.  suc  a ( q `  ( c  e.  om  |->  if ( c  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. b  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )
98mpteq2i 3983 . . . 4  |-  ( a  e.  om  |->  if ( A. b  e.  suc  a ( q `  ( c  e.  om  |->  if ( c  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  om  |->  if ( A. b  e. 
suc  a ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
10 elequ2 1674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  b  ->  (
i  e.  k  <->  i  e.  b ) )
1110ifbid 3461 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  b  ->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) )  =  if (
i  e.  b ,  1o ,  (/) ) )
1211mpteq2dv 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  b  ->  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) )  =  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )
1312fveq2d 5391 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  b  ->  (
q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) ) )
1413eqeq1d 2124 . . . . . . 7  |-  ( k  =  b  ->  (
( q `  (
i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
1514cbvralv 2629 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. b  e.  suc  a ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )
16 ifbi 3460 . . . . . 6  |-  ( ( A. k  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. b  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o )  ->  if ( A. k  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. b  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5  |-  if ( A. k  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. b  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )
1817mpteq2i 3983 . . . 4  |-  ( a  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  =  ( a  e.  om  |->  if ( A. b  e. 
suc  a ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
19 suceq 4292 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  suc  a  =  suc  n )
2019raleqdv 2607 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( A. k  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o  <->  A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ) )
2120ifbid 3461 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  if ( A. k  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) )  =  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2221cbvmptv 3992 . . . 4  |-  ( a  e.  om  |->  if ( A. k  e.  suc  a ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
239, 18, 223eqtr2i 2142 . . 3  |-  ( a  e.  om  |->  if ( A. b  e.  suc  a ( q `  ( c  e.  om  |->  if ( c  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )  =  ( n  e.  om  |->  if ( A. k  e. 
suc  n ( q `
 ( i  e. 
om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) )
2423mpteq2i 3983 . 2  |-  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( a  e.  om  |->  if ( A. b  e. 
suc  a ( q `
 ( c  e. 
om  |->  if ( c  e.  b ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )  =  ( q  e.  ( 2o  ^m )  |->  ( n  e. 
om  |->  if ( A. k  e.  suc  n ( q `  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  k ,  1o ,  (/) ) ) )  =  1o ,  1o ,  (/) ) ) )
2524nninfomnilem 13048 1  |-  e. Omni
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   A.wral 2391   (/)c0 3331   ifcif 3442    |-> cmpt 3957   suc csuc 4255   omcom 4472   ` cfv 5091  (class class class)co 5740   1oc1o 6272   2oc2o 6273    ^m cmap 6508  Omnicomni 6970  ℕxnninf 6971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1o 6279  df-2o 6280  df-map 6510  df-omni 6972  df-nninf 6973
This theorem is referenced by:  exmidsbthrlem  13051
  Copyright terms: Public domain W3C validator