Theorem nninfomni 16797

Description: ℕ_∞ is omniscient. Corollary 3.7 of [PradicBrown2022], p. 5. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfomni	|- ℕ∞ e. Omni

Proof of Theorem nninfomni

Dummy variables a b i k n q c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elequ1 2207	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = i -> ( c e. b <-> i e. b ) )
2	1	ifbid 3644	. . . . . . . . . 10 |- ( c = i -> if ( c e. b , 1o , (/) ) = if ( i e. b , 1o , (/) ) )
3	2	cbvmptv 4206	. . . . . . . . 9 |- ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) )
4	3	fveq2i 5673	. . . . . . . 8 |- ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) )
5	4	eqeq1i 2240	. . . . . . 7 |- ( ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
6	5	ralbii 2548	. . . . . 6 |- ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
7		ifbi 3643	. . . . . 6 |- ( ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
9	8	mpteq2i 4197	. . . 4 |- ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
10		elequ2 2208	. . . . . . . . . 10 |- ( k = b -> ( i e. k <-> i e. b ) )
11	10	ifbid 3644	. . . . . . . . 9 |- ( k = b -> if ( i e. k , 1o , (/) ) = if ( i e. b , 1o , (/) ) )
12	11	mpteq2dv 4201	. . . . . . . 8 |- ( k = b -> ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) = ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) )
13	12	fveqeq2d 5678	. . . . . . 7 |- ( k = b -> ( ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
14	13	cbvralv 2778	. . . . . 6 |- ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o )
15		ifbi 3643	. . . . . 6 |- ( ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) -> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
16	14, 15	ax-mp 5	. . . . 5 |- if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) )
17	16	mpteq2i 4197	. . . 4 |- ( a e. om |-> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
18		suceq 4523	. . . . . . 7 |- ( a = n -> suc a = suc n )
19	18	raleqdv 2747	. . . . . 6 |- ( a = n -> ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o <-> A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o ) )
20	19	ifbid 3644	. . . . 5 |- ( a = n -> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) = if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
21	20	cbvmptv 4206	. . . 4 |- ( a e. om |-> if ( A. k e. suc a ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
22	9, 17, 21	3eqtr2i 2259	. . 3 |- ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) = ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) )
23	22	mpteq2i 4197	. 2 |- ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( a e. om |-> if ( A. b e. suc a ( q ` ( c e. om |-> if ( c e. b , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) ) = ( q e. ( 2o ^m ℕ∞ ) |-> ( n e. om |-> if ( A. k e. suc n ( q ` ( i e. om |-> if ( i e. k , 1o , (/) ) ) ) = 1o , 1o , (/) ) ) )
24	23	nninfomnilem 16796	1 |- ℕ∞ e. Omni

Syntax hints:   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   (/)c0 3508   ifcif 3620   |-> cmpt 4171   suc csuc 4486   omcom 4712   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1oc1o 6640   2oc2o 6641   ^m cmap 6882  ℕ_∞xnninf 7410  Omnicomni 7425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1o 6647  df-2o 6648  df-map 6884  df-nninf 7411  df-omni 7426

This theorem is referenced by:  nnnninfen  16799  exmidsbthrlem  16802