Theorem nnledivrp 10184

Description: Division of a positive integer by a positive number is less than or equal to the integer iff the number is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnledivrp	|- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )

Proof of Theorem nnledivrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8331	. . . 4 |- 1 e. RR
2		0lt1 8460	. . . 4 |- 0 < 1
3	1, 2	pm3.2i 272	. . 3 |- ( 1 e. RR /\ 0 < 1 )
4		rpregt0 10085	. . . 4 |- ( B e. RR+ -> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
6		nnre 9320	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
7		nngt0 9338	. . . . 5 |- ( A e. NN -> 0 < A )
8	6, 7	jca 306	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
10		lediv2 9229	. . 3 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ ( A / 1 ) ) )
11	3, 5, 9, 10	mp3an2i 1383	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ ( A / 1 ) ) )
12		nncn 9321	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. CC )
13	12	div1d 9118	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( A / 1 ) = A )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( A / 1 ) = A )
15	14	breq2d 4143	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) <_ ( A / 1 ) <-> ( A / B ) <_ A ) )
16	11, 15	bitrd 188	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   RRcr 8184   0cc0 8185   1c1 8186   < clt 8366   <_ cle 8367   / cdiv 9010   NNcn 9313   RR+crp 10071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-rp 10072

This theorem is used by:  nn0ledivnn  10185