ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnledivrp Unicode version

Theorem nnledivrp 9712
Description: Division of a positive integer by a positive number is less than or equal to the integer iff the number is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnledivrp  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 1  <_  B  <->  ( A  /  B )  <_  A ) )

Proof of Theorem nnledivrp
StepHypRef Expression
1 1re 7908 . . . 4  |-  1  e.  RR
2 0lt1 8035 . . . 4  |-  0  <  1
31, 2pm3.2i 270 . . 3  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )
4 rpregt0 9613 . . . 4  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
54adantl 275 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )
6 nnre 8874 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  RR )
7 nngt0 8892 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  0  <  A )
86, 7jca 304 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
98adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
10 lediv2 8796 . . 3  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  < 
B )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <_  B  <->  ( A  /  B )  <_  ( A  / 
1 ) ) )
113, 5, 9, 10mp3an2i 1337 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 1  <_  B  <->  ( A  /  B )  <_  ( A  / 
1 ) ) )
12 nncn 8875 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN  ->  A  e.  CC )
1312div1d 8686 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  /  1 )  =  A )
1413adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  /  1
)  =  A )
1514breq2d 3999 . 2  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( ( A  /  B )  <_  ( A  /  1 )  <->  ( A  /  B )  <_  A
) )
1611, 15bitrd 187 1  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 1  <_  B  <->  ( A  /  B )  <_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   class class class wbr 3987  (class class class)co 5851   RRcr 7762   0cc0 7763   1c1 7764    < clt 7943    <_ cle 7944    / cdiv 8578   NNcn 8867   RR+crp 9599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-rp 9600
This theorem is referenced by:  nn0ledivnn  9713
  Copyright terms: Public domain W3C validator