Theorem nnledivrp 9860

Description: Division of a positive integer by a positive number is less than or equal to the integer iff the number is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnledivrp	|- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )

Proof of Theorem nnledivrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 8044	. . . 4 |- 1 e. RR
2		0lt1 8172	. . . 4 |- 0 < 1
3	1, 2	pm3.2i 272	. . 3 |- ( 1 e. RR /\ 0 < 1 )
4		rpregt0 9761	. . . 4 |- ( B e. RR+ -> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
5	4	adantl 277	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( B e. RR /\ 0 < B ) )
6		nnre 9016	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. RR )
7		nngt0 9034	. . . . 5 |- ( A e. NN -> 0 < A )
8	6, 7	jca 306	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
9	8	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
10		lediv2 8937	. . 3 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) /\ ( A e. RR /\ 0 < A ) ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ ( A / 1 ) ) )
11	3, 5, 9, 10	mp3an2i 1353	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ ( A / 1 ) ) )
12		nncn 9017	. . . . 5 |- ( A e. NN -> A e. CC )
13	12	div1d 8826	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( A / 1 ) = A )
14	13	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( A / 1 ) = A )
15	14	breq2d 4046	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( ( A / B ) <_ ( A / 1 ) <-> ( A / B ) <_ A ) )
16	11, 15	bitrd 188	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   RRcr 7897   0cc0 7898   1c1 7899   < clt 8080   <_ cle 8081   / cdiv 8718   NNcn 9009   RR+crp 9747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-rp 9748

This theorem is referenced by:  nn0ledivnn  9861