ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnledivrp GIF version

Theorem nnledivrp 9582
Description: Division of a positive integer by a positive number is less than or equal to the integer iff the number is greater than or equal to 1. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnledivrp ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))

Proof of Theorem nnledivrp
StepHypRef Expression
1 1re 7788 . . . 4 1 ∈ ℝ
2 0lt1 7912 . . . 4 0 < 1
31, 2pm3.2i 270 . . 3 (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1)
4 rpregt0 9483 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
54adantl 275 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
6 nnre 8750 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
7 nngt0 8768 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
86, 7jca 304 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
98adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
10 lediv2 8672 . . 3 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 1)))
113, 5, 9, 10mp3an2i 1321 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 1)))
12 nncn 8751 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
1312div1d 8563 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
1413adantr 274 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
1514breq2d 3948 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐴 / 1) ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
1611, 15bitrd 187 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 / 𝐵) ≤ 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781  cr 7642  0cc0 7643  1c1 7644   < clt 7823  cle 7824   / cdiv 8455  cn 8743  +crp 9469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-rp 9470
This theorem is referenced by:  nn0ledivnn  9583
  Copyright terms: Public domain W3C validator