Theorem nnnq 7548

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7441	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4712	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7486	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6686	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7474	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2300	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  ⟨cop 3638   × cxp 4678  1_oc1o 6505  [cec 6628   / cqs 6629  Ncnpi 7398   ~_Q ceq 7405  Qcnq 7406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-iinf 4641

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-br 4049  df-opab 4111  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-cnv 4688  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-1o 6512  df-ec 6632  df-qs 6636  df-ni 7430  df-enq 7473  df-nqqs 7474

This theorem is referenced by:  recnnpr  7674  nnprlu  7679  archrecnq  7789  archrecpr  7790  caucvgprlemnkj  7792  caucvgprlemnbj  7793  caucvgprlemm  7794  caucvgprlemopl  7795  caucvgprlemlol  7796  caucvgprlemloc  7801  caucvgprlemladdfu  7803  caucvgprlemladdrl  7804  caucvgprprlemloccalc  7810  caucvgprprlemnkltj  7815  caucvgprprlemnkeqj  7816  caucvgprprlemnjltk  7817  caucvgprprlemml  7820  caucvgprprlemopl  7823  caucvgprprlemlol  7824  caucvgprprlemloc  7829  caucvgprprlemexb  7833  caucvgprprlem1  7835  caucvgprprlem2  7836  pitonnlem2  7973  ltrennb  7980  recidpipr  7982