ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnq GIF version

Theorem nnnq 7198
Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnnq (𝐴N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~QQ)

Proof of Theorem nnnq
StepHypRef Expression
1 1pi 7091 . . . 4 1oN
2 opelxpi 4541 . . . 4 ((𝐴N ∧ 1oN) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
31, 2mpan2 421 . . 3 (𝐴N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4 enqex 7136 . . . 4 ~Q ∈ V
54ecelqsi 6451 . . 3 (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
63, 5syl 14 . 2 (𝐴N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7 df-nqqs 7124 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
86, 7eleqtrrdi 2211 1 (𝐴N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~QQ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1465  cop 3500   × cxp 4507  1oc1o 6274  [cec 6395   / cqs 6396  Ncnpi 7048   ~Q ceq 7055  Qcnq 7056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-cnv 4517  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-1o 6281  df-ec 6399  df-qs 6403  df-ni 7080  df-enq 7123  df-nqqs 7124
This theorem is referenced by:  recnnpr  7324  nnprlu  7329  archrecnq  7439  archrecpr  7440  caucvgprlemnkj  7442  caucvgprlemnbj  7443  caucvgprlemm  7444  caucvgprlemopl  7445  caucvgprlemlol  7446  caucvgprlemloc  7451  caucvgprlemladdfu  7453  caucvgprlemladdrl  7454  caucvgprprlemloccalc  7460  caucvgprprlemnkltj  7465  caucvgprprlemnkeqj  7466  caucvgprprlemnjltk  7467  caucvgprprlemml  7470  caucvgprprlemopl  7473  caucvgprprlemlol  7474  caucvgprprlemloc  7479  caucvgprprlemexb  7483  caucvgprprlem1  7485  caucvgprprlem2  7486  pitonnlem2  7623  ltrennb  7630  recidpipr  7632
  Copyright terms: Public domain W3C validator