ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnq GIF version

Theorem nnnq 7456
Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnnq (𝐴N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~QQ)

Proof of Theorem nnnq
StepHypRef Expression
1 1pi 7349 . . . 4 1oN
2 opelxpi 4679 . . . 4 ((𝐴N ∧ 1oN) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
31, 2mpan2 425 . . 3 (𝐴N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4 enqex 7394 . . . 4 ~Q ∈ V
54ecelqsi 6619 . . 3 (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
63, 5syl 14 . 2 (𝐴N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7 df-nqqs 7382 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
86, 7eleqtrrdi 2283 1 (𝐴N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~QQ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2160  cop 3613   × cxp 4645  1oc1o 6438  [cec 6561   / cqs 6562  Ncnpi 7306   ~Q ceq 7313  Qcnq 7314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-iinf 4608
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-br 4022  df-opab 4083  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-cnv 4655  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-1o 6445  df-ec 6565  df-qs 6569  df-ni 7338  df-enq 7381  df-nqqs 7382
This theorem is referenced by:  recnnpr  7582  nnprlu  7587  archrecnq  7697  archrecpr  7698  caucvgprlemnkj  7700  caucvgprlemnbj  7701  caucvgprlemm  7702  caucvgprlemopl  7703  caucvgprlemlol  7704  caucvgprlemloc  7709  caucvgprlemladdfu  7711  caucvgprlemladdrl  7712  caucvgprprlemloccalc  7718  caucvgprprlemnkltj  7723  caucvgprprlemnkeqj  7724  caucvgprprlemnjltk  7725  caucvgprprlemml  7728  caucvgprprlemopl  7731  caucvgprprlemlol  7732  caucvgprprlemloc  7737  caucvgprprlemexb  7741  caucvgprprlem1  7743  caucvgprprlem2  7744  pitonnlem2  7881  ltrennb  7888  recidpipr  7890
  Copyright terms: Public domain W3C validator