Theorem nnnq 7597

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7490	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4748	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7535	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6726	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7523	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2323	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669   × cxp 4714  1_oc1o 6545  [cec 6668   / cqs 6669  Ncnpi 7447   ~_Q ceq 7454  Qcnq 7455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-iinf 4677

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-cnv 4724  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-1o 6552  df-ec 6672  df-qs 6676  df-ni 7479  df-enq 7522  df-nqqs 7523

This theorem is referenced by:  recnnpr  7723  nnprlu  7728  archrecnq  7838  archrecpr  7839  caucvgprlemnkj  7841  caucvgprlemnbj  7842  caucvgprlemm  7843  caucvgprlemopl  7844  caucvgprlemlol  7845  caucvgprlemloc  7850  caucvgprlemladdfu  7852  caucvgprlemladdrl  7853  caucvgprprlemloccalc  7859  caucvgprprlemnkltj  7864  caucvgprprlemnkeqj  7865  caucvgprprlemnjltk  7866  caucvgprprlemml  7869  caucvgprprlemopl  7872  caucvgprprlemlol  7873  caucvgprprlemloc  7878  caucvgprprlemexb  7882  caucvgprprlem1  7884  caucvgprprlem2  7885  pitonnlem2  8022  ltrennb  8029  recidpipr  8031