Theorem nnnq 7617

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7510	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4751	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7555	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6744	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7543	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2323	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669   × cxp 4717  1_oc1o 6561  [cec 6686   / cqs 6687  Ncnpi 7467   ~_Q ceq 7474  Qcnq 7475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-1o 6568  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7499  df-enq 7542  df-nqqs 7543

This theorem is referenced by:  recnnpr  7743  nnprlu  7748  archrecnq  7858  archrecpr  7859  caucvgprlemnkj  7861  caucvgprlemnbj  7862  caucvgprlemm  7863  caucvgprlemopl  7864  caucvgprlemlol  7865  caucvgprlemloc  7870  caucvgprlemladdfu  7872  caucvgprlemladdrl  7873  caucvgprprlemloccalc  7879  caucvgprprlemnkltj  7884  caucvgprprlemnkeqj  7885  caucvgprprlemnjltk  7886  caucvgprprlemml  7889  caucvgprprlemopl  7892  caucvgprprlemlol  7893  caucvgprprlemloc  7898  caucvgprprlemexb  7902  caucvgprprlem1  7904  caucvgprprlem2  7905  pitonnlem2  8042  ltrennb  8049  recidpipr  8051