Theorem nnnq 6960

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 6853	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ N
2		opelxpi 4459	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1𝑜 ∈ N) → ⟨𝐴, 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 416	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1𝑜⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 6898	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6326	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1𝑜⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 6886	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	syl6eleqr 2181	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1𝑜⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1438  ⟨cop 3444   × cxp 4426  1_𝑜c1o 6156  [cec 6270   / cqs 6271  Ncnpi 6810   ~_Q ceq 6817  Qcnq 6818

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-cnv 4436  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-1o 6163  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-enq 6885  df-nqqs 6886

This theorem is referenced by:  recnnpr  7086  nnprlu  7091  archrecnq  7201  archrecpr  7202  caucvgprlemnkj  7204  caucvgprlemnbj  7205  caucvgprlemm  7206  caucvgprlemopl  7207  caucvgprlemlol  7208  caucvgprlemloc  7213  caucvgprlemladdfu  7215  caucvgprlemladdrl  7216  caucvgprprlemloccalc  7222  caucvgprprlemnkltj  7227  caucvgprprlemnkeqj  7228  caucvgprprlemnjltk  7229  caucvgprprlemml  7232  caucvgprprlemopl  7235  caucvgprprlemlol  7236  caucvgprprlemloc  7241  caucvgprprlemexb  7245  caucvgprprlem1  7247  caucvgprprlem2  7248  pitonnlem2  7363  ltrennb  7370  recidpipr  7372