Theorem nnnq 7384

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7277	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4643	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 423	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7322	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6567	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7310	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2264	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ⟨cop 3586   × cxp 4609  1_oc1o 6388  [cec 6511   / cqs 6512  Ncnpi 7234   ~_Q ceq 7241  Qcnq 7242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-1o 6395  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-enq 7309  df-nqqs 7310

This theorem is referenced by:  recnnpr  7510  nnprlu  7515  archrecnq  7625  archrecpr  7626  caucvgprlemnkj  7628  caucvgprlemnbj  7629  caucvgprlemm  7630  caucvgprlemopl  7631  caucvgprlemlol  7632  caucvgprlemloc  7637  caucvgprlemladdfu  7639  caucvgprlemladdrl  7640  caucvgprprlemloccalc  7646  caucvgprprlemnkltj  7651  caucvgprprlemnkeqj  7652  caucvgprprlemnjltk  7653  caucvgprprlemml  7656  caucvgprprlemopl  7659  caucvgprprlemlol  7660  caucvgprprlemloc  7665  caucvgprprlemexb  7669  caucvgprprlem1  7671  caucvgprprlem2  7672  pitonnlem2  7809  ltrennb  7816  recidpipr  7818