Theorem nnnq 7506

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7399	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4696	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7444	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6657	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7432	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2290	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3626   × cxp 4662  1_oc1o 6476  [cec 6599   / cqs 6600  Ncnpi 7356   ~_Q ceq 7363  Qcnq 7364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-1o 6483  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-enq 7431  df-nqqs 7432

This theorem is referenced by:  recnnpr  7632  nnprlu  7637  archrecnq  7747  archrecpr  7748  caucvgprlemnkj  7750  caucvgprlemnbj  7751  caucvgprlemm  7752  caucvgprlemopl  7753  caucvgprlemlol  7754  caucvgprlemloc  7759  caucvgprlemladdfu  7761  caucvgprlemladdrl  7762  caucvgprprlemloccalc  7768  caucvgprprlemnkltj  7773  caucvgprprlemnkeqj  7774  caucvgprprlemnjltk  7775  caucvgprprlemml  7778  caucvgprprlemopl  7781  caucvgprprlemlol  7782  caucvgprprlemloc  7787  caucvgprprlemexb  7791  caucvgprprlem1  7793  caucvgprprlem2  7794  pitonnlem2  7931  ltrennb  7938  recidpipr  7940