Theorem nnnq 7790

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7683	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4806	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 429	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7728	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6863	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7716	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2332	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712   × cxp 4772  1_oc1o 6680  [cec 6805   / cqs 6806  Ncnpi 7640   ~_Q ceq 7647  Qcnq 7648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-1o 6687  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7672  df-enq 7715  df-nqqs 7716

This theorem is used by:  recnnpr  7916  nnprlu  7921  archrecnq  8031  archrecpr  8032  caucvgprlemnkj  8034  caucvgprlemnbj  8035  caucvgprlemm  8036  caucvgprlemopl  8037  caucvgprlemlol  8038  caucvgprlemloc  8043  caucvgprlemladdfu  8045  caucvgprlemladdrl  8046  caucvgprprlemloccalc  8052  caucvgprprlemnkltj  8057  caucvgprprlemnkeqj  8058  caucvgprprlemnjltk  8059  caucvgprprlemml  8062  caucvgprprlemopl  8065  caucvgprprlemlol  8066  caucvgprprlemloc  8071  caucvgprprlemexb  8075  caucvgprprlem1  8077  caucvgprprlem2  8078  pitonnlem2  8215  ltrennb  8222  recidpipr  8224