Theorem nnnq 7755

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7648	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4788	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7693	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6838	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7681	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2328	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3698   × cxp 4754  1_oc1o 6655  [cec 6780   / cqs 6781  Ncnpi 7605   ~_Q ceq 7612  Qcnq 7613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-iinf 4717

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-cnv 4764  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-1o 6662  df-ec 6784  df-qs 6788  df-ni 7637  df-enq 7680  df-nqqs 7681

This theorem is referenced by:  recnnpr  7881  nnprlu  7886  archrecnq  7996  archrecpr  7997  caucvgprlemnkj  7999  caucvgprlemnbj  8000  caucvgprlemm  8001  caucvgprlemopl  8002  caucvgprlemlol  8003  caucvgprlemloc  8008  caucvgprlemladdfu  8010  caucvgprlemladdrl  8011  caucvgprprlemloccalc  8017  caucvgprprlemnkltj  8022  caucvgprprlemnkeqj  8023  caucvgprprlemnjltk  8024  caucvgprprlemml  8027  caucvgprprlemopl  8030  caucvgprprlemlol  8031  caucvgprprlemloc  8036  caucvgprprlemexb  8040  caucvgprprlem1  8042  caucvgprprlem2  8043  pitonnlem2  8180  ltrennb  8187  recidpipr  8189