Theorem nnnq 7753

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7646	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4786	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7691	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6836	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7679	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2328	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3697   × cxp 4752  1_oc1o 6653  [cec 6778   / cqs 6779  Ncnpi 7603   ~_Q ceq 7610  Qcnq 7611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-cnv 4762  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-1o 6660  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-enq 7678  df-nqqs 7679

This theorem is referenced by:  recnnpr  7879  nnprlu  7884  archrecnq  7994  archrecpr  7995  caucvgprlemnkj  7997  caucvgprlemnbj  7998  caucvgprlemm  7999  caucvgprlemopl  8000  caucvgprlemlol  8001  caucvgprlemloc  8006  caucvgprlemladdfu  8008  caucvgprlemladdrl  8009  caucvgprprlemloccalc  8015  caucvgprprlemnkltj  8020  caucvgprprlemnkeqj  8021  caucvgprprlemnjltk  8022  caucvgprprlemml  8025  caucvgprprlemopl  8028  caucvgprprlemlol  8029  caucvgprprlemloc  8034  caucvgprprlemexb  8038  caucvgprprlem1  8040  caucvgprprlem2  8041  pitonnlem2  8178  ltrennb  8185  recidpipr  8187