Theorem nnnq 7254

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7147	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4579	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7192	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6491	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7180	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2234	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481  ⟨cop 3535   × cxp 4545  1_oc1o 6314  [cec 6435   / cqs 6436  Ncnpi 7104   ~_Q ceq 7111  Qcnq 7112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-1o 6321  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-enq 7179  df-nqqs 7180

This theorem is referenced by:  recnnpr  7380  nnprlu  7385  archrecnq  7495  archrecpr  7496  caucvgprlemnkj  7498  caucvgprlemnbj  7499  caucvgprlemm  7500  caucvgprlemopl  7501  caucvgprlemlol  7502  caucvgprlemloc  7507  caucvgprlemladdfu  7509  caucvgprlemladdrl  7510  caucvgprprlemloccalc  7516  caucvgprprlemnkltj  7521  caucvgprprlemnkeqj  7522  caucvgprprlemnjltk  7523  caucvgprprlemml  7526  caucvgprprlemopl  7529  caucvgprprlemlol  7530  caucvgprprlemloc  7535  caucvgprprlemexb  7539  caucvgprprlem1  7541  caucvgprprlem2  7542  pitonnlem2  7679  ltrennb  7686  recidpipr  7688