Theorem nnnq 7423

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7316	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4660	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7361	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6591	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7349	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2271	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3597   × cxp 4626  1_oc1o 6412  [cec 6535   / cqs 6536  Ncnpi 7273   ~_Q ceq 7280  Qcnq 7281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-1o 6419  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-enq 7348  df-nqqs 7349

This theorem is referenced by:  recnnpr  7549  nnprlu  7554  archrecnq  7664  archrecpr  7665  caucvgprlemnkj  7667  caucvgprlemnbj  7668  caucvgprlemm  7669  caucvgprlemopl  7670  caucvgprlemlol  7671  caucvgprlemloc  7676  caucvgprlemladdfu  7678  caucvgprlemladdrl  7679  caucvgprprlemloccalc  7685  caucvgprprlemnkltj  7690  caucvgprprlemnkeqj  7691  caucvgprprlemnjltk  7692  caucvgprprlemml  7695  caucvgprprlemopl  7698  caucvgprprlemlol  7699  caucvgprprlemloc  7704  caucvgprprlemexb  7708  caucvgprprlem1  7710  caucvgprprlem2  7711  pitonnlem2  7848  ltrennb  7855  recidpipr  7857