Theorem nnnq 7635

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7528	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4755	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7573	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6753	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7561	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2323	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3670   × cxp 4721  1_oc1o 6570  [cec 6695   / cqs 6696  Ncnpi 7485   ~_Q ceq 7492  Qcnq 7493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-1o 6577  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7517  df-enq 7560  df-nqqs 7561

This theorem is referenced by:  recnnpr  7761  nnprlu  7766  archrecnq  7876  archrecpr  7877  caucvgprlemnkj  7879  caucvgprlemnbj  7880  caucvgprlemm  7881  caucvgprlemopl  7882  caucvgprlemlol  7883  caucvgprlemloc  7888  caucvgprlemladdfu  7890  caucvgprlemladdrl  7891  caucvgprprlemloccalc  7897  caucvgprprlemnkltj  7902  caucvgprprlemnkeqj  7903  caucvgprprlemnjltk  7904  caucvgprprlemml  7907  caucvgprprlemopl  7910  caucvgprprlemlol  7911  caucvgprprlemloc  7916  caucvgprprlemexb  7920  caucvgprprlem1  7922  caucvgprprlem2  7923  pitonnlem2  8060  ltrennb  8067  recidpipr  8069