Theorem nnnq 7736

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7629	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7674	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6822	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7662	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2326	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3691   × cxp 4746  1_oc1o 6639  [cec 6764   / cqs 6765  Ncnpi 7586   ~_Q ceq 7593  Qcnq 7594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-iinf 4709

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-cnv 4756  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-1o 6646  df-ec 6768  df-qs 6772  df-ni 7618  df-enq 7661  df-nqqs 7662

This theorem is referenced by:  recnnpr  7862  nnprlu  7867  archrecnq  7977  archrecpr  7978  caucvgprlemnkj  7980  caucvgprlemnbj  7981  caucvgprlemm  7982  caucvgprlemopl  7983  caucvgprlemlol  7984  caucvgprlemloc  7989  caucvgprlemladdfu  7991  caucvgprlemladdrl  7992  caucvgprprlemloccalc  7998  caucvgprprlemnkltj  8003  caucvgprprlemnkeqj  8004  caucvgprprlemnjltk  8005  caucvgprprlemml  8008  caucvgprprlemopl  8011  caucvgprprlemlol  8012  caucvgprprlemloc  8017  caucvgprprlemexb  8021  caucvgprprlem1  8023  caucvgprprlem2  8024  pitonnlem2  8161  ltrennb  8168  recidpipr  8170