Theorem nnnq 7363

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7256	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4636	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7301	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6555	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7289	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2260	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2136  ⟨cop 3579   × cxp 4602  1_oc1o 6377  [cec 6499   / cqs 6500  Ncnpi 7213   ~_Q ceq 7220  Qcnq 7221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-1o 6384  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-enq 7288  df-nqqs 7289

This theorem is referenced by:  recnnpr  7489  nnprlu  7494  archrecnq  7604  archrecpr  7605  caucvgprlemnkj  7607  caucvgprlemnbj  7608  caucvgprlemm  7609  caucvgprlemopl  7610  caucvgprlemlol  7611  caucvgprlemloc  7616  caucvgprlemladdfu  7618  caucvgprlemladdrl  7619  caucvgprprlemloccalc  7625  caucvgprprlemnkltj  7630  caucvgprprlemnkeqj  7631  caucvgprprlemnjltk  7632  caucvgprprlemml  7635  caucvgprprlemopl  7638  caucvgprprlemlol  7639  caucvgprprlemloc  7644  caucvgprprlemexb  7648  caucvgprprlem1  7650  caucvgprprlem2  7651  pitonnlem2  7788  ltrennb  7795  recidpipr  7797