ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnq GIF version

Theorem nnnq 7194
Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnnq (𝐴N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~QQ)

Proof of Theorem nnnq
StepHypRef Expression
1 1pi 7087 . . . 4 1oN
2 opelxpi 4539 . . . 4 ((𝐴N ∧ 1oN) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
31, 2mpan2 419 . . 3 (𝐴N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4 enqex 7132 . . . 4 ~Q ∈ V
54ecelqsi 6449 . . 3 (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
63, 5syl 14 . 2 (𝐴N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7 df-nqqs 7120 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
86, 7syl6eleqr 2209 1 (𝐴N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~QQ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1463  cop 3498   × cxp 4505  1oc1o 6272  [cec 6393   / cqs 6394  Ncnpi 7044   ~Q ceq 7051  Qcnq 7052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-cnv 4515  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-1o 6279  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-enq 7119  df-nqqs 7120
This theorem is referenced by:  recnnpr  7320  nnprlu  7325  archrecnq  7435  archrecpr  7436  caucvgprlemnkj  7438  caucvgprlemnbj  7439  caucvgprlemm  7440  caucvgprlemopl  7441  caucvgprlemlol  7442  caucvgprlemloc  7447  caucvgprlemladdfu  7449  caucvgprlemladdrl  7450  caucvgprprlemloccalc  7456  caucvgprprlemnkltj  7461  caucvgprprlemnkeqj  7462  caucvgprprlemnjltk  7463  caucvgprprlemml  7466  caucvgprprlemopl  7469  caucvgprprlemlol  7470  caucvgprprlemloc  7475  caucvgprprlemexb  7479  caucvgprprlem1  7481  caucvgprprlem2  7482  pitonnlem2  7619  ltrennb  7626  recidpipr  7628
  Copyright terms: Public domain W3C validator