Theorem nnnq 7625

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7518	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4752	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7563	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6749	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7551	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2323	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3669   × cxp 4718  1_oc1o 6566  [cec 6691   / cqs 6692  Ncnpi 7475   ~_Q ceq 7482  Qcnq 7483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-iinf 4681

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-cnv 4728  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-1o 6573  df-ec 6695  df-qs 6699  df-ni 7507  df-enq 7550  df-nqqs 7551

This theorem is referenced by:  recnnpr  7751  nnprlu  7756  archrecnq  7866  archrecpr  7867  caucvgprlemnkj  7869  caucvgprlemnbj  7870  caucvgprlemm  7871  caucvgprlemopl  7872  caucvgprlemlol  7873  caucvgprlemloc  7878  caucvgprlemladdfu  7880  caucvgprlemladdrl  7881  caucvgprprlemloccalc  7887  caucvgprprlemnkltj  7892  caucvgprprlemnkeqj  7893  caucvgprprlemnjltk  7894  caucvgprprlemml  7897  caucvgprprlemopl  7900  caucvgprprlemlol  7901  caucvgprprlemloc  7906  caucvgprprlemexb  7910  caucvgprprlem1  7912  caucvgprprlem2  7913  pitonnlem2  8050  ltrennb  8057  recidpipr  8059