Theorem nnnq 7482

Description: The canonical embedding of positive integers into positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnnq	⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Proof of Theorem nnnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 7375	. . . 4 ⊢ 1o ∈ N
2		opelxpi 4691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
3	1, 2	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → ⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N))
4		enqex 7420	. . . 4 ⊢ ~Q ∈ V
5	4	ecelqsi 6643	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
6	3, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7		df-nqqs 7408	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
8	6, 7	eleqtrrdi 2287	1 ⊢ (𝐴 ∈ N → [⟨𝐴, 1o⟩] ~Q ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3621   × cxp 4657  1_oc1o 6462  [cec 6585   / cqs 6586  Ncnpi 7332   ~_Q ceq 7339  Qcnq 7340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-1o 6469  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-enq 7407  df-nqqs 7408

This theorem is referenced by:  recnnpr  7608  nnprlu  7613  archrecnq  7723  archrecpr  7724  caucvgprlemnkj  7726  caucvgprlemnbj  7727  caucvgprlemm  7728  caucvgprlemopl  7729  caucvgprlemlol  7730  caucvgprlemloc  7735  caucvgprlemladdfu  7737  caucvgprlemladdrl  7738  caucvgprprlemloccalc  7744  caucvgprprlemnkltj  7749  caucvgprprlemnkeqj  7750  caucvgprprlemnjltk  7751  caucvgprprlemml  7754  caucvgprprlemopl  7757  caucvgprprlemlol  7758  caucvgprprlemloc  7763  caucvgprprlemexb  7767  caucvgprprlem1  7769  caucvgprprlem2  7770  pitonnlem2  7907  ltrennb  7914  recidpipr  7916