Theorem recnnpr 7469

Description: The reciprocal of a positive integer, as a positive real. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Feb-2021.)

Assertion

Ref	Expression
recnnpr	|- ( A e. N. -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. A , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. A , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. e. P. )

Distinct variable group:   A, l, u

Proof of Theorem recnnpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnq 7343	. 2 |- ( A e. N. -> [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. )
2		recclnq 7313	. 2 |- ( [ <. A , 1o >. ] ~Q e. Q. -> ( *Q ` [ <. A , 1o >. ] ~Q ) e. Q. )
3		nqprlu 7468	. 2 |- ( ( *Q ` [ <. A , 1o >. ] ~Q ) e. Q. -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. A , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. A , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. e. P. )
4	1, 2, 3	3syl 17	1 |- ( A e. N. -> <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. A , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. A , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   {cab 2143   <.cop 3563   class class class wbr 3966   ` cfv 5171   1oc1o 6357   [cec 6479   N.cnpi 7193   ~Q ceq 7200   Q.cnq 7201   *Qcrq 7205   <Q cltq 7206   P.cnp 7212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4080  ax-sep 4083  ax-nul 4091  ax-pow 4136  ax-pr 4170  ax-un 4394  ax-setind 4497  ax-iinf 4548

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3774  df-int 3809  df-iun 3852  df-br 3967  df-opab 4027  df-mpt 4028  df-tr 4064  df-eprel 4250  df-id 4254  df-po 4257  df-iso 4258  df-iord 4327  df-on 4329  df-suc 4332  df-iom 4551  df-xp 4593  df-rel 4594  df-cnv 4595  df-co 4596  df-dm 4597  df-rn 4598  df-res 4599  df-ima 4600  df-iota 5136  df-fun 5173  df-fn 5174  df-f 5175  df-f1 5176  df-fo 5177  df-f1o 5178  df-fv 5179  df-ov 5828  df-oprab 5829  df-mpo 5830  df-1st 6089  df-2nd 6090  df-recs 6253  df-irdg 6318  df-1o 6364  df-oadd 6368  df-omul 6369  df-er 6481  df-ec 6483  df-qs 6487  df-ni 7225  df-pli 7226  df-mi 7227  df-lti 7228  df-plpq 7265  df-mpq 7266  df-enq 7268  df-nqqs 7269  df-plqqs 7270  df-mqqs 7271  df-1nqqs 7272  df-rq 7273  df-ltnqqs 7274  df-inp 7387

This theorem is referenced by:  caucvgprprlemnkltj  7610  caucvgprprlemnbj  7614  caucvgprprlemopu  7620  caucvgprprlemexbt  7627  caucvgprprlemexb  7628  caucvgprprlemaddq  7629  caucvgsrlemcau  7714  caucvgsrlemoffcau  7719  recnnre  7772  recidpirq  7779  axcaucvglemcau  7819