Theorem recidpipr 7940

Description: Another way of saying that a number times its reciprocal is one. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
recidpipr	|- ( N e. N. -> ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. .P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) = 1P )

Distinct variable group:   N, l, u

Proof of Theorem recidpipr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnq 7506	. . 3 |- ( N e. N. -> [ <. N , 1o >. ] ~Q e. Q. )
2		recclnq 7476	. . . 4 |- ( [ <. N , 1o >. ] ~Q e. Q. -> ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) e. Q. )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( N e. N. -> ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) e. Q. )
4		mulnqpr 7661	. . 3 |- ( ( [ <. N , 1o >. ] ~Q e. Q. /\ ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) e. Q. ) -> <. { l | l <Q ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) } , { u | ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) <Q u } >. = ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. .P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) )
5	1, 3, 4	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. N. -> <. { l | l <Q ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) } , { u | ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) <Q u } >. = ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. .P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) )
6		recidnq 7477	. . . . . . 7 |- ( [ <. N , 1o >. ] ~Q e. Q. -> ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) = 1Q )
7	1, 6	syl 14	. . . . . 6 |- ( N e. N. -> ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) = 1Q )
8	7	breq2d 4046	. . . . 5 |- ( N e. N. -> ( l <Q ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) <-> l <Q 1Q ) )
9	8	abbidv 2314	. . . 4 |- ( N e. N. -> { l | l <Q ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) } = { l | l <Q 1Q } )
10	7	breq1d 4044	. . . . 5 |- ( N e. N. -> ( ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) <Q u <-> 1Q <Q u ) )
11	10	abbidv 2314	. . . 4 |- ( N e. N. -> { u | ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) <Q u } = { u | 1Q <Q u } )
12	9, 11	opeq12d 3817	. . 3 |- ( N e. N. -> <. { l | l <Q ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) } , { u | ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) <Q u } >. = <. { l | l <Q 1Q } , { u | 1Q <Q u } >. )
13		df-i1p 7551	. . 3 |- 1P = <. { l | l <Q 1Q } , { u | 1Q <Q u } >.
14	12, 13	eqtr4di 2247	. 2 |- ( N e. N. -> <. { l | l <Q ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) } , { u | ( [ <. N , 1o >. ] ~Q .Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) ) <Q u } >. = 1P )
15	5, 14	eqtr3d 2231	1 |- ( N e. N. -> ( <. { l | l <Q [ <. N , 1o >. ] ~Q } , { u | [ <. N , 1o >. ] ~Q <Q u } >. .P. <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. N , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. ) = 1P )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   <.cop 3626   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   1oc1o 6476   [cec 6599   N.cnpi 7356   ~Q ceq 7363   Q.cnq 7364   1Qc1q 7365   .Q cmq 7367   *Qcrq 7368   <Q cltq 7369   1Pc1p 7376   .P. cmp 7378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-pli 7389  df-mi 7390  df-lti 7391  df-plpq 7428  df-mpq 7429  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-plqqs 7433  df-mqqs 7434  df-1nqqs 7435  df-rq 7436  df-ltnqqs 7437  df-enq0 7508  df-nq0 7509  df-0nq0 7510  df-plq0 7511  df-mq0 7512  df-inp 7550  df-i1p 7551  df-imp 7553

This theorem is referenced by:  recidpirq  7942