ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recidpipr Unicode version

Theorem recidpipr 7391
Description: Another way of saying that a number times its reciprocal is one. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
recidpipr  |-  ( N  e.  N.  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  .P.  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )  =  1P )
Distinct variable group:    N, l, u

Proof of Theorem recidpipr
StepHypRef Expression
1 nnnq 6979 . . 3  |-  ( N  e.  N.  ->  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
2 recclnq 6949 . . . 4  |-  ( [
<. N ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  ->  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  e.  Q. )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( N  e.  N.  ->  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  e.  Q. )
4 mulnqpr 7134 . . 3  |-  ( ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  e.  Q. )  ->  <. { l  |  l  <Q  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q
`  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
) } ,  {
u  |  ( [
<. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q
`  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
)  <Q  u } >.  =  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  .P.  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. ) )
51, 3, 4syl2anc 403 . 2  |-  ( N  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
) } ,  {
u  |  ( [
<. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q
`  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
)  <Q  u } >.  =  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  .P.  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. ) )
6 recidnq 6950 . . . . . . 7  |-  ( [
<. N ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  ->  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
)  =  1Q )
71, 6syl 14 . . . . . 6  |-  ( N  e.  N.  ->  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
)  =  1Q )
87breq2d 3857 . . . . 5  |-  ( N  e.  N.  ->  (
l  <Q  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) )  <->  l  <Q  1Q ) )
98abbidv 2205 . . . 4  |-  ( N  e.  N.  ->  { l  |  l  <Q  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
) }  =  {
l  |  l  <Q  1Q } )
107breq1d 3855 . . . . 5  |-  ( N  e.  N.  ->  (
( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) )  <Q  u  <->  1Q 
<Q  u ) )
1110abbidv 2205 . . . 4  |-  ( N  e.  N.  ->  { u  |  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) )  <Q  u }  =  {
u  |  1Q  <Q  u } )
129, 11opeq12d 3630 . . 3  |-  ( N  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
) } ,  {
u  |  ( [
<. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q
`  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
)  <Q  u } >.  = 
<. { l  |  l 
<Q  1Q } ,  {
u  |  1Q  <Q  u } >. )
13 df-i1p 7024 . . 3  |-  1P  =  <. { l  |  l 
<Q  1Q } ,  {
u  |  1Q  <Q  u } >.
1412, 13syl6eqr 2138 . 2  |-  ( N  e.  N.  ->  <. { l  |  l  <Q  ( [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
) } ,  {
u  |  ( [
<. N ,  1o >. ]  ~Q  .Q  ( *Q
`  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )
)  <Q  u } >.  =  1P )
155, 14eqtr3d 2122 1  |-  ( N  e.  N.  ->  ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  .P.  <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. N ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >. )  =  1P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   <.cop 3449   class class class wbr 3845   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1oc1o 6174   [cec 6288   N.cnpi 6829    ~Q ceq 6836   Q.cnq 6837   1Qc1q 6838    .Q cmq 6840   *Qcrq 6841    <Q cltq 6842   1Pc1p 6849    .P. cmp 6851
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-eprel 4116  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-2o 6182  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6290  df-ec 6292  df-qs 6296  df-ni 6861  df-pli 6862  df-mi 6863  df-lti 6864  df-plpq 6901  df-mpq 6902  df-enq 6904  df-nqqs 6905  df-plqqs 6906  df-mqqs 6907  df-1nqqs 6908  df-rq 6909  df-ltnqqs 6910  df-enq0 6981  df-nq0 6982  df-0nq0 6983  df-plq0 6984  df-mq0 6985  df-inp 7023  df-i1p 7024  df-imp 7026
This theorem is referenced by:  recidpirq  7393
  Copyright terms: Public domain W3C validator