Theorem nnwodc 12203

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element. Theorem I.37 (well-ordering principle) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnwodc	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem nnwodc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmindc 12201	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
2	1	3com23 1211	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3		simpl1 1002	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℕ)
4		simpl3 1004	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
5		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
6		nnminle 12202	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
8	7	ralrimiva 2570	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
9		breq1 4036	. . . 4 ⊢ (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
10	9	ralbidv 2497	. . 3 ⊢ (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
11	10	rspcev 2868	. 2 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
12	2, 8, 11	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 835   ∧ w3a 980   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033  infcinf 7049  ℝcr 7878   < clt 8061   ≤ cle 8062  ℕcn 8990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-fzo 10218

This theorem is referenced by:  uzwodc  12204  nnwofdc  12205