Theorem nnwodc 11965

Description: Well-ordering principle: any inhabited decidable set of positive integers has a least element. Theorem I.37 (well-ordering principle) of [Apostol] p. 34. (Contributed by NM, 17-Aug-2001.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nnwodc	⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑤,𝑦   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem nnwodc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmindc 11963	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
2	1	3com23 1199	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
3		simpl1 990	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℕ)
4		simpl3 992	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴)
5		simpr 109	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
6		nnminle 11964	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1228	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
8	7	ralrimiva 2538	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦)
9		breq1 3984	. . . 4 ⊢ (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
10	9	ralbidv 2465	. . 3 ⊢ (𝑥 = inf(𝐴, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦))
11	10	rspcev 2829	. 2 ⊢ ((inf(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 inf(𝐴, ℝ, < ) ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)
12	2, 8, 11	syl2anc 409	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ DECID 𝑗 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 824   ∧ w3a 968   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  ∀wral 2443  ∃wrex 2444   ⊆ wss 3115   class class class wbr 3981  infcinf 6944  ℝcr 7748   < clt 7929   ≤ cle 7930  ℕcn 8853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-addcom 7849  ax-addass 7851  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-isom 5196  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-sup 6945  df-inf 6946  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-fz 9941  df-fzo 10074

This theorem is referenced by:  uzwodc  11966  nnwofdc  11967