Theorem nqprm 7662

Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 7667. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprm	⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprm

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnqq 7532	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 <Q 𝐴)
2		vex 2776	. . . . 5 ⊢ 𝑞 ∈ V
3		breq1 4050	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
4	2, 3	elab 2918	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
5	4	rexbii 2514	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 <Q 𝐴)
6	1, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
7		archnqq 7537	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑛 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )
8		df-rex 2491	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
9	7, 8	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
10		1pi 7435	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ N
11		opelxpi 4711	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝑛, 1o⟩ ∈ (N × N))
12		enqex 7480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ~Q ∈ V
13	12	ecelqsi 6683	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑛, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
14	11, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
15	10, 14	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ N → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
16		df-nqqs 7468	. . . . . . 7 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
17	15, 16	eleqtrrdi 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ N → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ Q)
18		breq2 4051	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q → (𝐴 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
19	18	rspcev 2878	. . . . . 6 ⊢ (([⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
20	17, 19	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
21	20	exlimiv 1622	. . . 4 ⊢ (∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
22	9, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
23		vex 2776	. . . . 5 ⊢ 𝑟 ∈ V
24		breq2 4051	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
25	23, 24	elab 2918	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
26	25	rexbii 2514	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
27	22, 26	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})
28	6, 27	jca 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  {cab 2192  ∃wrex 2486  ⟨cop 3637   class class class wbr 4047   × cxp 4677  1_oc1o 6502  [cec 6625   / cqs 6626  Ncnpi 7392   ~_Q ceq 7399  Qcnq 7400   <_Q cltq 7405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-eprel 4340  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-1o 6509  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-ni 7424  df-pli 7425  df-mi 7426  df-lti 7427  df-plpq 7464  df-mpq 7465  df-enq 7467  df-nqqs 7468  df-plqqs 7469  df-mqqs 7470  df-1nqqs 7471  df-rq 7472  df-ltnqqs 7473

This theorem is referenced by:  nqprxx  7666