ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprm GIF version

Theorem nqprm 7373
Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 7378. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprm (𝐴Q → (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprm
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnqq 7243 . . 3 (𝐴Q → ∃𝑞Q 𝑞 <Q 𝐴)
2 vex 2692 . . . . 5 𝑞 ∈ V
3 breq1 3939 . . . . 5 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴𝑞 <Q 𝐴))
42, 3elab 2831 . . . 4 (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
54rexbii 2445 . . 3 (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑞Q 𝑞 <Q 𝐴)
61, 5sylibr 133 . 2 (𝐴Q → ∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
7 archnqq 7248 . . . . 5 (𝐴Q → ∃𝑛N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )
8 df-rex 2423 . . . . 5 (∃𝑛N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ↔ ∃𝑛(𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
97, 8sylib 121 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑛(𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
10 1pi 7146 . . . . . . . 8 1oN
11 opelxpi 4578 . . . . . . . . 9 ((𝑛N ∧ 1oN) → ⟨𝑛, 1o⟩ ∈ (N × N))
12 enqex 7191 . . . . . . . . . 10 ~Q ∈ V
1312ecelqsi 6490 . . . . . . . . 9 (⟨𝑛, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
1411, 13syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑛N ∧ 1oN) → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
1510, 14mpan2 422 . . . . . . 7 (𝑛N → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
16 df-nqqs 7179 . . . . . . 7 Q = ((N × N) / ~Q )
1715, 16eleqtrrdi 2234 . . . . . 6 (𝑛N → [⟨𝑛, 1o⟩] ~QQ)
18 breq2 3940 . . . . . . 7 (𝑟 = [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q → (𝐴 <Q 𝑟𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
1918rspcev 2792 . . . . . 6 (([⟨𝑛, 1o⟩] ~QQ𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
2017, 19sylan 281 . . . . 5 ((𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
2120exlimiv 1578 . . . 4 (∃𝑛(𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
229, 21syl 14 . . 3 (𝐴Q → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
23 vex 2692 . . . . 5 𝑟 ∈ V
24 breq2 3940 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q 𝑟))
2523, 24elab 2831 . . . 4 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
2625rexbii 2445 . . 3 (∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
2722, 26sylibr 133 . 2 (𝐴Q → ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})
286, 27jca 304 1 (𝐴Q → (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wex 1469  wcel 1481  {cab 2126  wrex 2418  cop 3534   class class class wbr 3936   × cxp 4544  1oc1o 6313  [cec 6434   / cqs 6435  Ncnpi 7103   ~Q ceq 7110  Qcnq 7111   <Q cltq 7116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-eprel 4218  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-omul 6325  df-er 6436  df-ec 6438  df-qs 6442  df-ni 7135  df-pli 7136  df-mi 7137  df-lti 7138  df-plpq 7175  df-mpq 7176  df-enq 7178  df-nqqs 7179  df-plqqs 7180  df-mqqs 7181  df-1nqqs 7182  df-rq 7183  df-ltnqqs 7184
This theorem is referenced by:  nqprxx  7377
  Copyright terms: Public domain W3C validator