Theorem nqprm 7572

Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 7577. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprm	⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprm

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnqq 7442	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 <Q 𝐴)
2		vex 2755	. . . . 5 ⊢ 𝑞 ∈ V
3		breq1 4021	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
4	2, 3	elab 2896	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
5	4	rexbii 2497	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 <Q 𝐴)
6	1, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
7		archnqq 7447	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑛 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )
8		df-rex 2474	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
9	7, 8	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
10		1pi 7345	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ N
11		opelxpi 4676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝑛, 1o⟩ ∈ (N × N))
12		enqex 7390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ~Q ∈ V
13	12	ecelqsi 6616	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑛, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
14	11, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
15	10, 14	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ N → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
16		df-nqqs 7378	. . . . . . 7 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
17	15, 16	eleqtrrdi 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ N → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ Q)
18		breq2 4022	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q → (𝐴 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
19	18	rspcev 2856	. . . . . 6 ⊢ (([⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
20	17, 19	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
21	20	exlimiv 1609	. . . 4 ⊢ (∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
22	9, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
23		vex 2755	. . . . 5 ⊢ 𝑟 ∈ V
24		breq2 4022	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
25	23, 24	elab 2896	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
26	25	rexbii 2497	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
27	22, 26	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})
28	6, 27	jca 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1503   ∈ wcel 2160  {cab 2175  ∃wrex 2469  ⟨cop 3610   class class class wbr 4018   × cxp 4642  1_oc1o 6435  [cec 6558   / cqs 6559  Ncnpi 7302   ~_Q ceq 7309  Qcnq 7310   <_Q cltq 7315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-1o 6442  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-pli 7335  df-mi 7336  df-lti 7337  df-plpq 7374  df-mpq 7375  df-enq 7377  df-nqqs 7378  df-plqqs 7379  df-mqqs 7380  df-1nqqs 7381  df-rq 7382  df-ltnqqs 7383

This theorem is referenced by:  nqprxx  7576