ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqprm GIF version

Theorem nqprm 7251
Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 7256. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqprm (𝐴Q → (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprm
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nsmallnqq 7121 . . 3 (𝐴Q → ∃𝑞Q 𝑞 <Q 𝐴)
2 vex 2644 . . . . 5 𝑞 ∈ V
3 breq1 3878 . . . . 5 (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴𝑞 <Q 𝐴))
42, 3elab 2782 . . . 4 (𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
54rexbii 2401 . . 3 (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑞Q 𝑞 <Q 𝐴)
61, 5sylibr 133 . 2 (𝐴Q → ∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴})
7 archnqq 7126 . . . . 5 (𝐴Q → ∃𝑛N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )
8 df-rex 2381 . . . . 5 (∃𝑛N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ↔ ∃𝑛(𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
97, 8sylib 121 . . . 4 (𝐴Q → ∃𝑛(𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
10 1pi 7024 . . . . . . . 8 1oN
11 opelxpi 4509 . . . . . . . . 9 ((𝑛N ∧ 1oN) → ⟨𝑛, 1o⟩ ∈ (N × N))
12 enqex 7069 . . . . . . . . . 10 ~Q ∈ V
1312ecelqsi 6413 . . . . . . . . 9 (⟨𝑛, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
1411, 13syl 14 . . . . . . . 8 ((𝑛N ∧ 1oN) → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
1510, 14mpan2 419 . . . . . . 7 (𝑛N → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
16 df-nqqs 7057 . . . . . . 7 Q = ((N × N) / ~Q )
1715, 16syl6eleqr 2193 . . . . . 6 (𝑛N → [⟨𝑛, 1o⟩] ~QQ)
18 breq2 3879 . . . . . . 7 (𝑟 = [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q → (𝐴 <Q 𝑟𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
1918rspcev 2744 . . . . . 6 (([⟨𝑛, 1o⟩] ~QQ𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
2017, 19sylan 279 . . . . 5 ((𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
2120exlimiv 1545 . . . 4 (∃𝑛(𝑛N𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
229, 21syl 14 . . 3 (𝐴Q → ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
23 vex 2644 . . . . 5 𝑟 ∈ V
24 breq2 3879 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥𝐴 <Q 𝑟))
2523, 24elab 2782 . . . 4 (𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
2625rexbii 2401 . . 3 (∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑟Q 𝐴 <Q 𝑟)
2722, 26sylibr 133 . 2 (𝐴Q → ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥})
286, 27jca 302 1 (𝐴Q → (∃𝑞Q 𝑞 ∈ {𝑥𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟Q 𝑟 ∈ {𝑥𝐴 <Q 𝑥}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wex 1436  wcel 1448  {cab 2086  wrex 2376  cop 3477   class class class wbr 3875   × cxp 4475  1oc1o 6236  [cec 6357   / cqs 6358  Ncnpi 6981   ~Q ceq 6988  Qcnq 6989   <Q cltq 6994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-eprel 4149  df-id 4153  df-iord 4226  df-on 4228  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-1o 6243  df-oadd 6247  df-omul 6248  df-er 6359  df-ec 6361  df-qs 6365  df-ni 7013  df-pli 7014  df-mi 7015  df-lti 7016  df-plpq 7053  df-mpq 7054  df-enq 7056  df-nqqs 7057  df-plqqs 7058  df-mqqs 7059  df-1nqqs 7060  df-rq 7061  df-ltnqqs 7062
This theorem is referenced by:  nqprxx  7255
  Copyright terms: Public domain W3C validator