Theorem nqprm 7737

Description: A cut produced from a rational is inhabited. Lemma for nqprlu 7742. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqprm	⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑟,𝑞

Proof of Theorem nqprm

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnqq 7607	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 <Q 𝐴)
2		vex 2802	. . . . 5 ⊢ 𝑞 ∈ V
3		breq1 4086	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑞 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑞 <Q 𝐴))
4	2, 3	elab 2947	. . . 4 ⊢ (𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑞 <Q 𝐴)
5	4	rexbii 2537	. . 3 ⊢ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 <Q 𝐴)
6	1, 5	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
7		archnqq 7612	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑛 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q )
8		df-rex 2514	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ N 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ↔ ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
9	7, 8	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
10		1pi 7510	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ N
11		opelxpi 4751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → ⟨𝑛, 1o⟩ ∈ (N × N))
12		enqex 7555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ~Q ∈ V
13	12	ecelqsi 6744	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨𝑛, 1o⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
14	11, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 1o ∈ N) → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
15	10, 14	mpan2 425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ N → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
16		df-nqqs 7543	. . . . . . 7 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
17	15, 16	eleqtrrdi 2323	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ N → [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ Q)
18		breq2 4087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q → (𝐴 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ))
19	18	rspcev 2907	. . . . . 6 ⊢ (([⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ∈ Q ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
20	17, 19	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
21	20	exlimiv 1644	. . . 4 ⊢ (∃𝑛(𝑛 ∈ N ∧ 𝐴 <Q [⟨𝑛, 1o⟩] ~Q ) → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
22	9, 21	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
23		vex 2802	. . . . 5 ⊢ 𝑟 ∈ V
24		breq2 4087	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑟 → (𝐴 <Q 𝑥 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
25	23, 24	elab 2947	. . . 4 ⊢ (𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ 𝐴 <Q 𝑟)
26	25	rexbii 2537	. . 3 ⊢ (∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥} ↔ ∃𝑟 ∈ Q 𝐴 <Q 𝑟)
27	22, 26	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥})
28	6, 27	jca 306	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ {𝑥 ∣ 𝐴 <Q 𝑥}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  {cab 2215  ∃wrex 2509  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083   × cxp 4717  1_oc1o 6561  [cec 6686   / cqs 6687  Ncnpi 7467   ~_Q ceq 7474  Qcnq 7475   <_Q cltq 7480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7499  df-pli 7500  df-mi 7501  df-lti 7502  df-plpq 7539  df-mpq 7540  df-enq 7542  df-nqqs 7543  df-plqqs 7544  df-mqqs 7545  df-1nqqs 7546  df-rq 7547  df-ltnqqs 7548

This theorem is referenced by:  nqprxx  7741