Theorem ovexg 5621

Description: Evaluating a set operation at two sets gives a set. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem ovexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5597	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		simp2 942	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝑊)
3		opexg 4022	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
4	3	3adant2 960	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
5		fvexg 5272	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑊 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
6	2, 4, 5	syl2anc 403	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
7	1, 6	syl5eqel 2171	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 922   ∈ wcel 1436  Vcvv 2614  ⟨cop 3428  ‘cfv 4972  (class class class)co 5594

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-cnv 4412  df-dm 4414  df-rn 4415  df-iota 4937  df-fv 4980  df-ov 5597

This theorem is referenced by:  mapxpen  6497