Theorem ovexg 5805

Description: Evaluating a set operation at two sets gives a set. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem ovexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5777	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		simp2 982	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝑊)
3		opexg 4150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
4	3	3adant2 1000	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
5		fvexg 5440	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑊 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
6	2, 4, 5	syl2anc 408	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrid 2226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686  ⟨cop 3530  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777

This theorem is referenced by:  mapxpen  6742  metrest  12675