Theorem ovexg 6047

Description: Evaluating a set operation at two sets gives a set. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
ovexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem ovexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6016	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		simp2 1022	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐹 ∈ 𝑊)
3		opexg 4318	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
4	3	3adant2 1040	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
5		fvexg 5654	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑊 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ V)
7	1, 6	eqeltrid 2316	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑊 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐹𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800  ⟨cop 3670  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-cnv 4731  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016

This theorem is referenced by:  mapxpen  7029  seq1g  10715  seqp1g  10718  seqclg  10724  seqm1g  10726  seqfeq4g  10783  prdsplusgfval  13357  prdsmulrfval  13359  imasex  13378  imasival  13379  imasbas  13380  imasplusg  13381  imasmulr  13382  imasaddfnlemg  13387  imasaddvallemg  13388  plusfvalg  13436  plusffng  13438  gsumsplit1r  13471  gsumprval  13472  gsumfzz  13568  gsumwsubmcl  13569  gsumfzcl  13572  grpsubval  13619  mulgval  13699  mulgfng  13701  mulgnngsum  13704  mulg1  13706  mulgnnp1  13707  mulgnndir  13728  subgintm  13775  subrngintm  14216  scafvalg  14311  scaffng  14313  rmodislmodlem  14354  rmodislmod  14355  lsssn0  14374  lss1d  14387  lssintclm  14388  ellspsn  14421  crngridl  14534  metrest  15220