Theorem pfxccatin12lem1 11219

Description: Lemma 1 for pfxccatin12 11224. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem1	|- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10172	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) )
2		zsubcl 9448	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
3	2	3adant1 1018	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
5	1, 4	sylbi 121	. . . 4 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( L - M ) e. ZZ )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
7		elfzonelfzo 10396	. . 3 |- ( ( L - M ) e. ZZ -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
9		elfz2nn0 10269	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
10		nn0cn 9340	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
11		nn0cn 9340	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. NN0 -> L e. CC )
12		elfzelz 10182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( L ... X ) -> N e. ZZ )
13		zcn 9412	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
14		subcl 8306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
15	14	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
16	15	addridd 8256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M ) + 0 ) = ( L - M ) )
17	16	eqcomd 2213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) = ( ( L - M ) + 0 ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( L - M ) = ( ( L - M ) + 0 ) )
19		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> L e. CC )
20		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> M e. CC )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> M e. CC )
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> N e. CC )
23	19, 21, 22	npncan3d 8454	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( ( L - M ) + ( N - L ) ) = ( N - M ) )
24	23	eqcomd 2213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( N - M ) = ( ( L - M ) + ( N - L ) ) )
25	18, 24	oveq12d 5985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
26	25	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. CC -> ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
27	12, 13, 26	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
28	27	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
29	10, 11, 28	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
30	29	3adant3 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
31	9, 30	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
32	31	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
33	32	eleq2d 2277	. . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) <-> K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
34	33	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
35		0zd 9419	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> 0 e. ZZ )
36		elfz2 10172	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( L ... X ) <-> ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) )
37		zsubcl 9448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
38	37	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
39	38	3adant2 1019	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
40	39	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
41	36, 40	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( N - L ) e. ZZ )
42	41	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
43	6, 35, 42	3jca 1180	. . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) )
44	43	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) )
45		fzosubel2 10361	. . . 4 |- ( ( K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) /\ ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
46	34, 44, 45	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
47	46	ex 115	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
48	8, 47	syld 45	1 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   CCcc 7958   0cc0 7960   + caddc 7963   <_ cle 8143   - cmin 8278   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   ...cfz 10165  ..^cfzo 10299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  11222