Theorem pfxccatin12lem1 11358

Description: Lemma 1 for pfxccatin12 11363. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem1	|- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10295	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) )
2		zsubcl 9564	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
3	2	3adant1 1042	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
5	1, 4	sylbi 121	. . . 4 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( L - M ) e. ZZ )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
7		elfzonelfzo 10521	. . 3 |- ( ( L - M ) e. ZZ -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
9		elfz2nn0 10392	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
10		nn0cn 9454	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
11		nn0cn 9454	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. NN0 -> L e. CC )
12		elfzelz 10305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( L ... X ) -> N e. ZZ )
13		zcn 9528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
14		subcl 8420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
15	14	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
16	15	addridd 8370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M ) + 0 ) = ( L - M ) )
17	16	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) = ( ( L - M ) + 0 ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( L - M ) = ( ( L - M ) + 0 ) )
19		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> L e. CC )
20		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> M e. CC )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> M e. CC )
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> N e. CC )
23	19, 21, 22	npncan3d 8568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( ( L - M ) + ( N - L ) ) = ( N - M ) )
24	23	eqcomd 2237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( N - M ) = ( ( L - M ) + ( N - L ) ) )
25	18, 24	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
26	25	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. CC -> ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
27	12, 13, 26	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
28	27	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
29	10, 11, 28	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
30	29	3adant3 1044	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
31	9, 30	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
32	31	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
33	32	eleq2d 2301	. . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) <-> K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
34	33	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
35		0zd 9535	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> 0 e. ZZ )
36		elfz2 10295	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( L ... X ) <-> ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) )
37		zsubcl 9564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
38	37	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
39	38	3adant2 1043	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
40	39	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
41	36, 40	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( N - L ) e. ZZ )
42	41	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
43	6, 35, 42	3jca 1204	. . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) )
44	43	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) )
45		fzosubel2 10486	. . . 4 |- ( ( K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) /\ ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
46	34, 44, 45	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
47	46	ex 115	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
48	8, 47	syld 45	1 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   CCcc 8073   0cc0 8075   + caddc 8078   <_ cle 8257   - cmin 8392   NN0cn0 9444   ZZcz 9523   ...cfz 10288  ..^cfzo 10422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  11361