ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pfxccatin12lem1 Unicode version
Theorem pfxccatin12lem1 11478
Description: Lemma 1 for pfxccatin12 11483. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
pfxccatin12lem1 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
Proof of Theorem pfxccatin12lem1
StepHypRef Expression
1 elfz2 10397 . . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) )
2 zsubcl 9664 . . . . . . 7 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
323adant1 1046 . . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
43adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
51, 4sylbi 121 . . . 4 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( L - M ) e. ZZ )
65adantr 276 . . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
7 elfzonelfzo 10626 . . 3 |- ( ( L - M ) e. ZZ -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
86, 7syl 14 . 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
9 elfz2nn0 10497 . . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
10 nn0cn 9552 . . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
11 nn0cn 9552 . . . . . . . . . 10 |- ( L e. NN0 -> L e. CC )
12 elfzelz 10407 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( L ... X ) -> N e. ZZ )
13 zcn 9628 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
14 subcl 8515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
1514ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
1615addridd 8465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M ) + 0 ) = ( L - M ) )
1716eqcomd 2244 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) = ( ( L - M ) + 0 ) )
1817adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( L - M ) = ( ( L - M ) + 0 ) )
19 simprr 537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> L e. CC )
20 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> M e. CC )
2120adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> M e. CC )
22 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> N e. CC )
2319, 21, 22npncan3d 8663 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( ( L - M ) + ( N - L ) ) = ( N - M ) )
2423eqcomd 2244 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( N - M ) = ( ( L - M ) + ( N - L ) ) )
2518, 24oveq12d 6093 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
2625ex 115 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. CC -> ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
2712, 13, 263syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
2827com12 30 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
2910, 11, 28syl2an 289 . . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
30293adant3 1048 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
319, 30sylbi 121 . . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
3231imp 124 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
3332eleq2d 2308 . . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) <-> K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
3433biimpa 296 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
35 0zd 9635 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> 0 e. ZZ )
36 elfz2 10397 . . . . . . . 8 |- ( N e. ( L ... X ) <-> ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) )
37 zsubcl 9664 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
3837ancoms 268 . . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
39383adant2 1047 . . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
4039adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
4136, 40sylbi 121 . . . . . . 7 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( N - L ) e. ZZ )
4241adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
436, 35, 423jca 1208 . . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) )
4443adantr 276 . . . 4 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) )
45 fzosubel2 10591 . . . 4 |- ( ( K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) /\ ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
4634, 44, 45syl2anc 415 . . 3 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
4746ex 115 . 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
488, 47syld 45 1 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   + caddc 8172   <_ cle 8351   - cmin 8487   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   ...cfz 10390  ..^cfzo 10527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-fzo 10528
This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  11481
  Copyright terms: Public domain W3C validator