Theorem pfxccatin12lem1 11500

Description: Lemma 1 for pfxccatin12 11505. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem1	|- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 10418	. . . . 5 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) )
2		zsubcl 9685	. . . . . . 7 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
3	2	3adant1 1046	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L - M ) e. ZZ )
4	3	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( 0 <_ M /\ M <_ L ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
5	1, 4	sylbi 121	. . . 4 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( L - M ) e. ZZ )
6	5	adantr 276	. . 3 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( L - M ) e. ZZ )
7		elfzonelfzo 10648	. . 3 |- ( ( L - M ) e. ZZ -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
8	6, 7	syl 14	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) )
9		elfz2nn0 10519	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
10		nn0cn 9573	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
11		nn0cn 9573	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. NN0 -> L e. CC )
12		elfzelz 10428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ( L ... X ) -> N e. ZZ )
13		zcn 9649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
14		subcl 8525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
15	14	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
16	15	addridd 8475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M ) + 0 ) = ( L - M ) )
17	16	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) = ( ( L - M ) + 0 ) )
18	17	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( L - M ) = ( ( L - M ) + 0 ) )
19		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> L e. CC )
20		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> M e. CC )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> M e. CC )
22		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> N e. CC )
23	19, 21, 22	npncan3d 8673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( ( L - M ) + ( N - L ) ) = ( N - M ) )
24	23	eqcomd 2244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( N - M ) = ( ( L - M ) + ( N - L ) ) )
25	18, 24	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ ( M e. CC /\ L e. CC ) ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
26	25	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. CC -> ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
27	12, 13, 26	3syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
28	27	com12 30	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
29	10, 11, 28	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
30	29	3adant3 1048	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
31	9, 30	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
32	31	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) = ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
33	32	eleq2d 2308	. . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) <-> K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) ) )
34	33	biimpa 296	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) )
35		0zd 9656	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> 0 e. ZZ )
36		elfz2 10418	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( L ... X ) <-> ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) )
37		zsubcl 9685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
38	37	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
39	38	3adant2 1047	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
40	39	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
41	36, 40	sylbi 121	. . . . . . 7 |- ( N e. ( L ... X ) -> ( N - L ) e. ZZ )
42	41	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( N - L ) e. ZZ )
43	6, 35, 42	3jca 1208	. . . . 5 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) )
44	43	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) )
45		fzosubel2 10613	. . . 4 |- ( ( K e. ( ( ( L - M ) + 0 )..^ ( ( L - M ) + ( N - L ) ) ) /\ ( ( L - M ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ /\ ( N - L ) e. ZZ ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
46	34, 44, 45	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) /\ K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
47	46	ex 115	. 2 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( K e. ( ( L - M )..^ ( N - M ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
48	8, 47	syld 45	1 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   + caddc 8182   <_ cle 8361   - cmin 8497   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ...cfz 10411  ..^cfzo 10549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550

This theorem is used by:  pfxccatin12lem2  11503