Theorem pfxccatin12lem2 11222

Description: Lemma 2 for pfxccatin12 11224. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	|- L = (♯ ` A )

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem2	|- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatin2.l	. . . . 5 |- L = (♯ ` A )
2	1	pfxccatin12lem2c 11221	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` ( A ++ B ) ) ) ) )
3		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( 0..^ ( N - M ) ) )
4		swrdfv 11144	. . . 4 |- ( ( ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` ( A ++ B ) ) ) ) /\ K e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
5	2, 3, 4	syl2an2r 595	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
6		elfzoelz 10304	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> K e. ZZ )
7		elfz2nn0 10269	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
8		nn0cn 9340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
9		nn0cn 9340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. NN0 -> L e. CC )
10	8, 9	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M e. CC /\ L e. CC ) )
11		zcn 9412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
12		subcl 8306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
13	12	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
14	13	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( K e. CC /\ ( L - M ) e. CC ) )
15		subcl 8306	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. CC /\ ( L - M ) e. CC ) -> ( K - ( L - M ) ) e. CC )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( K - ( L - M ) ) e. CC )
17	16	addridd 8256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) = ( K - ( L - M ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> K e. CC )
19		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> L e. CC )
20		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> M e. CC )
21	18, 19, 20	subsub3d 8448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( K - ( L - M ) ) = ( ( K + M ) - L ) )
22	17, 21	eqtr2d 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( ( K + M ) - L ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
23	10, 11, 22	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K + M ) - L ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
24		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K + M ) - L ) )
25	24	eqcoms 2210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K + M ) - L ) )
26	25	eqeq1d 2216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) <-> ( ( K + M ) - L ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
27	23, 26	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
28	1, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
30	29	3adant3 1020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
31	7, 30	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
32	31	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
33	6, 32	syl5com 29	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
34	33	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
35	34	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
36	35	fveq2d 5603	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( B ` ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) ) = ( B ` ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
37		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
38		pfxccatin12lem2a 11218	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
39	38	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
40	39	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
41		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( (♯ ` A ) = L -> (♯ ` A ) = L )
42		oveq1 5974	. . . . . . . . . . 11 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) = ( L + (♯ ` B ) ) )
43	41, 42	oveq12d 5985	. . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) = ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
44	43	eleq2d 2277	. . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
45	44	eqcoms 2210	. . . . . . . 8 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
46	1, 45	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
47	40, 46	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
48		df-3an 983	. . . . . 6 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) )
49	37, 47, 48	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) )
50		ccatval2 11092	. . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( B ` ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( B ` ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) ) )
52		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> B e. Word V )
53	52	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> B e. Word V )
54		lencl 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Word V -> (♯ ` B ) e. NN0 )
55		elfzel2 10180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> L e. ZZ )
56		zsubcl 9448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
57	56	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ L <_ N ) -> ( N - L ) e. ZZ )
59		zre 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
60		zre 9411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
61		subge0 8583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> L <_ N ) )
62	59, 60, 61	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> L <_ N ) )
63	62	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L <_ N -> 0 <_ ( N - L ) ) )
64	63	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ L <_ N ) -> 0 <_ ( N - L ) )
65		elnn0z 9420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N - L ) e. NN0 <-> ( ( N - L ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - L ) ) )
66	58, 64, 65	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ L <_ N ) -> ( N - L ) e. NN0 )
67	66	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( L <_ N -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
69	68	expcomd 1462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( N e. ZZ -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) ) )
70	69	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. ZZ -> ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) ) )
71	70	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) ) )
72	71	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) )
73	72	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( L e. ZZ -> ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
75	74	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( N - L ) e. NN0 )
76		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> (♯ ` B ) e. NN0 )
77	59	3ad2ant3 1023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. RR )
79	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> L e. RR )
80	79	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> L e. RR )
81		nn0re 9339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( (♯ ` B ) e. NN0 -> (♯ ` B ) e. RR )
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> (♯ ` B ) e. RR )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> (♯ ` B ) e. RR )
84		lesubadd2 8543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR /\ (♯ ` B ) e. RR ) -> ( ( N - L ) <_ (♯ ` B ) <-> N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
85	84	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR /\ (♯ ` B ) e. RR ) -> ( N <_ ( L + (♯ ` B ) ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
86	78, 80, 83, 85	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N <_ ( L + (♯ ` B ) ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
87	86	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ ( L + (♯ ` B ) ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) ) )
88	87	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N <_ ( L + (♯ ` B ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) ) )
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) ) )
90	89	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
91	90	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) )
92	75, 76, 91	3jca 1180	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( N - L ) e. NN0 /\ (♯ ` B ) e. NN0 /\ ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
93	92	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( N - L ) e. NN0 /\ (♯ ` B ) e. NN0 /\ ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) ) )
94		elfz2 10172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) <-> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
95		elfz2nn0 10269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) <-> ( ( N - L ) e. NN0 /\ (♯ ` B ) e. NN0 /\ ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
96	93, 94, 95	3imtr4g 205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) )
97	96	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. ZZ -> ( (♯ ` B ) e. NN0 -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) ) )
98	97	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ZZ -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` B ) e. NN0 -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) ) )
99	55, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` B ) e. NN0 -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) ) )
100	99	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( (♯ ` B ) e. NN0 -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) )
101	54, 100	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( B e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) )
102	101	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) )
103	102	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) )
104	103	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) )
105		pfxccatin12lem1 11219	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
106	105	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
107	106	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
108		pfxfv 11175	. . . . . 6 |- ( ( B e. Word V /\ ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) /\ ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( K - ( L - M ) ) ) )
109	53, 104, 107, 108	syl3anc 1250	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( K - ( L - M ) ) ) )
110	6	zcnd 9531	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> K e. CC )
111	110	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. CC )
112	55	zcnd 9531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> L e. CC )
113	112	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> L e. CC )
114	113	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> L e. CC )
115		elfzelz 10182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> M e. ZZ )
116	115	zcnd 9531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> M e. CC )
117	116	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> M e. CC )
118	117	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> M e. CC )
119	114, 118	subcld 8418	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( L - M ) e. CC )
120	111, 119	subcld 8418	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. CC )
121	120	addridd 8256	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) = ( K - ( L - M ) ) )
122	121	eqcomd 2213	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
123	122	fveq2d 5603	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( B ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
124	109, 123	eqtrd 2240	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
125	36, 51, 124	3eqtr4d 2250	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) )
126		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> A e. Word V )
127		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> M e. ( 0 ... L ) )
128		lencl 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
129		elnn0uz 9721	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 <-> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
130		eluzfz2 10189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> (♯ ` A ) e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
131	129, 130	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> (♯ ` A ) e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
132	1, 131	eqeltrid 2294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
133	128, 132	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Word V -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
134	133	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
135	134	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
136	126, 127, 135	3jca 1180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
137	136	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
138		swrdlen 11143	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) -> (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) = ( L - M ) )
139	137, 138	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) = ( L - M ) )
140	139	eqcomd 2213	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( L - M ) = (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) )
141	140	oveq2d 5983	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) = ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) )
142	141	fveq2d 5603	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) )
143	5, 125, 142	3eqtrd 2244	. 2 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) )
144	143	ex 115	1 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2178   <.cop 3646   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   CCcc 7958   RRcr 7959   0cc0 7960   + caddc 7963   <_ cle 8143   - cmin 8278   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   ...cfz 10165  ..^cfzo 10299  ♯chash 10957  Word cword 11031   ++ cconcat 11084   substr csubstr 11136   prefix cpfx 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-1o 6525  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-ihash 10958  df-word 11032  df-concat 11085  df-substr 11137  df-pfx 11164

This theorem is referenced by:  pfxccatin12  11224