Theorem pfxccatin12lem2 11525

Description: Lemma 2 for pfxccatin12 11527. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	|- L = (♯ ` A )

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem2	|- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatin2.l	. . . . 5 |- L = (♯ ` A )
2	1	pfxccatin12lem2c 11524	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` ( A ++ B ) ) ) ) )
3		simprl 535	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( 0..^ ( N - M ) ) )
4		swrdfv 11447	. . . 4 |- ( ( ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` ( A ++ B ) ) ) ) /\ K e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
5	2, 3, 4	syl2an2r 603	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
6		elfzoelz 10571	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> K e. ZZ )
7		elfz2nn0 10536	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
8		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
9		nn0cn 9584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. NN0 -> L e. CC )
10	8, 9	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M e. CC /\ L e. CC ) )
11		zcn 9660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
12		subcl 8532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
13	12	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
14	13	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( K e. CC /\ ( L - M ) e. CC ) )
15		subcl 8532	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. CC /\ ( L - M ) e. CC ) -> ( K - ( L - M ) ) e. CC )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( K - ( L - M ) ) e. CC )
17	16	addridd 8482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) = ( K - ( L - M ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> K e. CC )
19		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> L e. CC )
20		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> M e. CC )
21	18, 19, 20	subsub3d 8674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( K - ( L - M ) ) = ( ( K + M ) - L ) )
22	17, 21	eqtr2d 2272	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( ( K + M ) - L ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
23	10, 11, 22	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K + M ) - L ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
24		oveq2 6096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K + M ) - L ) )
25	24	eqcoms 2241	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K + M ) - L ) )
26	25	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) <-> ( ( K + M ) - L ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
27	23, 26	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
28	1, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
30	29	3adant3 1048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
31	7, 30	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
32	31	ad2antrl 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
33	6, 32	syl5com 29	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
34	33	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
35	34	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
36	35	fveq2d 5702	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( B ` ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) ) = ( B ` ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
37		simpll 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
38		pfxccatin12lem2a 11521	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
39	38	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
40	39	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
41		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( (♯ ` A ) = L -> (♯ ` A ) = L )
42		oveq1 6095	. . . . . . . . . . 11 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) = ( L + (♯ ` B ) ) )
43	41, 42	oveq12d 6106	. . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) = ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
44	43	eleq2d 2308	. . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
45	44	eqcoms 2241	. . . . . . . 8 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
46	1, 45	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
47	40, 46	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
48		df-3an 1011	. . . . . 6 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) )
49	37, 47, 48	sylanbrc 421	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) )
50		ccatval2 11388	. . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( B ` ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( B ` ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) ) )
52		simplr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> B e. Word V )
53	52	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> B e. Word V )
54		lencl 11330	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Word V -> (♯ ` B ) e. NN0 )
55		elfzel2 10443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> L e. ZZ )
56		zsubcl 9696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
57	56	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ L <_ N ) -> ( N - L ) e. ZZ )
59		zre 9659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
60		zre 9659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
61		subge0 8810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> L <_ N ) )
62	59, 60, 61	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> L <_ N ) )
63	62	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L <_ N -> 0 <_ ( N - L ) ) )
64	63	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ L <_ N ) -> 0 <_ ( N - L ) )
65		elnn0z 9668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N - L ) e. NN0 <-> ( ( N - L ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - L ) ) )
66	58, 64, 65	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ L <_ N ) -> ( N - L ) e. NN0 )
67	66	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( L <_ N -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
69	68	expcomd 1491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( N e. ZZ -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) ) )
70	69	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. ZZ -> ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) ) )
71	70	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) ) )
72	71	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) )
73	72	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( L e. ZZ -> ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
75	74	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( N - L ) e. NN0 )
76		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> (♯ ` B ) e. NN0 )
77	59	3ad2ant3 1051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. RR )
79	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> L e. RR )
80	79	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> L e. RR )
81		nn0re 9583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( (♯ ` B ) e. NN0 -> (♯ ` B ) e. RR )
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> (♯ ` B ) e. RR )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> (♯ ` B ) e. RR )
84		lesubadd2 8770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR /\ (♯ ` B ) e. RR ) -> ( ( N - L ) <_ (♯ ` B ) <-> N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
85	84	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR /\ (♯ ` B ) e. RR ) -> ( N <_ ( L + (♯ ` B ) ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
86	78, 80, 83, 85	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N <_ ( L + (♯ ` B ) ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
87	86	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ ( L + (♯ ` B ) ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) ) )
88	87	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N <_ ( L + (♯ ` B ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) ) )
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) ) )
90	89	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
91	90	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) )
92	75, 76, 91	3jca 1208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( N - L ) e. NN0 /\ (♯ ` B ) e. NN0 /\ ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
93	92	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( N - L ) e. NN0 /\ (♯ ` B ) e. NN0 /\ ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) ) )
94		elfz2 10435	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) <-> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
95		elfz2nn0 10536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) <-> ( ( N - L ) e. NN0 /\ (♯ ` B ) e. NN0 /\ ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
96	93, 94, 95	3imtr4g 205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) )
97	96	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. ZZ -> ( (♯ ` B ) e. NN0 -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) ) )
98	97	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ZZ -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` B ) e. NN0 -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) ) )
99	55, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` B ) e. NN0 -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) ) )
100	99	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( (♯ ` B ) e. NN0 -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) )
101	54, 100	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( B e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) )
102	101	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) )
103	102	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) )
104	103	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) )
105		pfxccatin12lem1 11522	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
106	105	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
107	106	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
108		pfxfv 11478	. . . . . 6 |- ( ( B e. Word V /\ ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) /\ ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( K - ( L - M ) ) ) )
109	53, 104, 107, 108	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( K - ( L - M ) ) ) )
110	6	zcnd 9780	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> K e. CC )
111	110	ad2antrl 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. CC )
112	55	zcnd 9780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> L e. CC )
113	112	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> L e. CC )
114	113	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> L e. CC )
115		elfzelz 10445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> M e. ZZ )
116	115	zcnd 9780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> M e. CC )
117	116	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> M e. CC )
118	117	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> M e. CC )
119	114, 118	subcld 8644	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( L - M ) e. CC )
120	111, 119	subcld 8644	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. CC )
121	120	addridd 8482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) = ( K - ( L - M ) ) )
122	121	eqcomd 2244	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
123	122	fveq2d 5702	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( B ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
124	109, 123	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
125	36, 51, 124	3eqtr4d 2281	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) )
126		simpll 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> A e. Word V )
127		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> M e. ( 0 ... L ) )
128		lencl 11330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
129		elnn0uz 9976	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 <-> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
130		eluzfz2 10453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> (♯ ` A ) e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
131	129, 130	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> (♯ ` A ) e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
132	1, 131	eqeltrid 2325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
133	128, 132	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Word V -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
134	133	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
135	134	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
136	126, 127, 135	3jca 1208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
137	136	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
138		swrdlen 11446	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) -> (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) = ( L - M ) )
139	137, 138	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) = ( L - M ) )
140	139	eqcomd 2244	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( L - M ) = (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) )
141	140	oveq2d 6104	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) = ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) )
142	141	fveq2d 5702	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) )
143	5, 125, 142	3eqtrd 2275	. 2 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) )
144	143	ex 115	1 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   + caddc 8188   <_ cle 8367   - cmin 8504   NN0cn0 9574   ZZcz 9655   ZZ>=cuz 9937   ...cfz 10428  ..^cfzo 10566  ♯chash 11236  Word cword 11326   ++ cconcat 11380   substr csubstr 11439   prefix cpfx 11466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-ihash 11237  df-word 11327  df-concat 11381  df-substr 11440  df-pfx 11467

This theorem is used by:  pfxccatin12  11527