Theorem pfxccatin12lem2 11448

Description: Lemma 2 for pfxccatin12 11450. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 9-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin2.l	|- L = (♯ ` A )

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem2	|- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccatin12lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatin2.l	. . . . 5 |- L = (♯ ` A )
2	1	pfxccatin12lem2c 11447	. . . 4 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` ( A ++ B ) ) ) ) )
3		simprl 531	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. ( 0..^ ( N - M ) ) )
4		swrdfv 11370	. . . 4 |- ( ( ( ( A ++ B ) e. Word V /\ M e. ( 0 ... N ) /\ N e. ( 0 ... (♯ ` ( A ++ B ) ) ) ) /\ K e. ( 0..^ ( N - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
5	2, 3, 4	syl2an2r 599	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) )
6		elfzoelz 10503	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> K e. ZZ )
7		elfz2nn0 10468	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) )
8		nn0cn 9523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN0 -> M e. CC )
9		nn0cn 9523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( L e. NN0 -> L e. CC )
10	8, 9	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M e. CC /\ L e. CC ) )
11		zcn 9599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
12		subcl 8488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L e. CC /\ M e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
13	12	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M e. CC /\ L e. CC ) -> ( L - M ) e. CC )
14	13	anim1ci 341	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( K e. CC /\ ( L - M ) e. CC ) )
15		subcl 8488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. CC /\ ( L - M ) e. CC ) -> ( K - ( L - M ) ) e. CC )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( K - ( L - M ) ) e. CC )
17	16	addridd 8438	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) = ( K - ( L - M ) ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> K e. CC )
19		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> L e. CC )
20		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> M e. CC )
21	18, 19, 20	subsub3d 8630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( K - ( L - M ) ) = ( ( K + M ) - L ) )
22	17, 21	eqtr2d 2268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. CC /\ L e. CC ) /\ K e. CC ) -> ( ( K + M ) - L ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
23	10, 11, 22	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K + M ) - L ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
24		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K + M ) - L ) )
25	24	eqcoms 2237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K + M ) - L ) )
26	25	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) <-> ( ( K + M ) - L ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
27	23, 26	imbitrrid 156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
28	1, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ K e. ZZ ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
30	29	3adant3 1044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
31	7, 30	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
32	31	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( K e. ZZ -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
33	6, 32	syl5com 29	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
34	33	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
35	34	impcom 125	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
36	35	fveq2d 5679	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( B ` ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) ) = ( B ` ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
37		simpll 527	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
38		pfxccatin12lem2a 11444	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
39	38	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
40	39	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
41		id 19	. . . . . . . . . . 11 |- ( (♯ ` A ) = L -> (♯ ` A ) = L )
42		oveq1 6065	. . . . . . . . . . 11 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) = ( L + (♯ ` B ) ) )
43	41, 42	oveq12d 6076	. . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) = ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
44	43	eleq2d 2304	. . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` A ) = L -> ( ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
45	44	eqcoms 2237	. . . . . . . 8 |- ( L = (♯ ` A ) -> ( ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
46	1, 45	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) <-> ( K + M ) e. ( L..^ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
47	40, 46	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) )
48		df-3an 1007	. . . . . 6 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) )
49	37, 47, 48	sylanbrc 417	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) )
50		ccatval2 11311	. . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ ( K + M ) e. ( (♯ ` A )..^ ( (♯ ` A ) + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( B ` ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) ) )
51	49, 50	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( B ` ( ( K + M ) - (♯ ` A ) ) ) )
52		simplr 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> B e. Word V )
53	52	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> B e. Word V )
54		lencl 11253	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. Word V -> (♯ ` B ) e. NN0 )
55		elfzel2 10376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> L e. ZZ )
56		zsubcl 9635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( N e. ZZ /\ L e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
57	56	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. ZZ )
58	57	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ L <_ N ) -> ( N - L ) e. ZZ )
59		zre 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
60		zre 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( L e. ZZ -> L e. RR )
61		subge0 8766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> L <_ N ) )
62	59, 60, 61	syl2anr 290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( N - L ) <-> L <_ N ) )
63	62	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( L <_ N -> 0 <_ ( N - L ) ) )
64	63	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ L <_ N ) -> 0 <_ ( N - L ) )
65		elnn0z 9607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( N - L ) e. NN0 <-> ( ( N - L ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - L ) ) )
66	58, 64, 65	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ L <_ N ) -> ( N - L ) e. NN0 )
67	66	expcom 116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( L <_ N -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
69	68	expcomd 1487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( N e. ZZ -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) ) )
70	69	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( N e. ZZ -> ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) ) )
71	70	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) ) )
72	71	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( L e. ZZ -> ( N - L ) e. NN0 ) )
73	72	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( L e. ZZ -> ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
74	73	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. NN0 ) )
75	74	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( N - L ) e. NN0 )
76		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> (♯ ` B ) e. NN0 )
77	59	3ad2ant3 1047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
78	77	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> N e. RR )
79	60	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> L e. RR )
80	79	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> L e. RR )
81		nn0re 9522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( (♯ ` B ) e. NN0 -> (♯ ` B ) e. RR )
82	81	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> (♯ ` B ) e. RR )
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> (♯ ` B ) e. RR )
84		lesubadd2 8726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR /\ (♯ ` B ) e. RR ) -> ( ( N - L ) <_ (♯ ` B ) <-> N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) )
85	84	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( N e. RR /\ L e. RR /\ (♯ ` B ) e. RR ) -> ( N <_ ( L + (♯ ` B ) ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
86	78, 80, 83, 85	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) ) -> ( N <_ ( L + (♯ ` B ) ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
87	86	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N <_ ( L + (♯ ` B ) ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) ) )
88	87	com13 80	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N <_ ( L + (♯ ` B ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) ) )
89	88	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) ) )
90	89	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
91	90	impcom 125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( N - L ) <_ (♯ ` B ) )
92	75, 76, 91	3jca 1204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) /\ ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( N - L ) e. NN0 /\ (♯ ` B ) e. NN0 /\ ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
93	92	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( N - L ) e. NN0 /\ (♯ ` B ) e. NN0 /\ ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) ) )
94		elfz2 10368	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) <-> ( ( L e. ZZ /\ ( L + (♯ ` B ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ ( L + (♯ ` B ) ) ) ) )
95		elfz2nn0 10468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) <-> ( ( N - L ) e. NN0 /\ (♯ ` B ) e. NN0 /\ ( N - L ) <_ (♯ ` B ) ) )
96	93, 94, 95	3imtr4g 205	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ (♯ ` B ) e. NN0 ) -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) )
97	96	ex 115	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. ZZ -> ( (♯ ` B ) e. NN0 -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) ) )
98	97	com23 78	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. ZZ -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` B ) e. NN0 -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) ) )
99	55, 98	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) -> ( (♯ ` B ) e. NN0 -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) ) )
100	99	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( (♯ ` B ) e. NN0 -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) )
101	54, 100	syl5com 29	. . . . . . . . 9 |- ( B e. Word V -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) )
102	101	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) ) )
103	102	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) )
104	103	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) )
105		pfxccatin12lem1 11445	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
106	105	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) )
107	106	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) )
108		pfxfv 11401	. . . . . 6 |- ( ( B e. Word V /\ ( N - L ) e. ( 0 ... (♯ ` B ) ) /\ ( K - ( L - M ) ) e. ( 0..^ ( N - L ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( K - ( L - M ) ) ) )
109	53, 104, 107, 108	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( K - ( L - M ) ) ) )
110	6	zcnd 9719	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) -> K e. CC )
111	110	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> K e. CC )
112	55	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> L e. CC )
113	112	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> L e. CC )
114	113	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> L e. CC )
115		elfzelz 10378	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> M e. ZZ )
116	115	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ( 0 ... L ) -> M e. CC )
117	116	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> M e. CC )
118	117	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> M e. CC )
119	114, 118	subcld 8600	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( L - M ) e. CC )
120	111, 119	subcld 8600	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) e. CC )
121	120	addridd 8438	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) = ( K - ( L - M ) ) )
122	121	eqcomd 2240	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) = ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) )
123	122	fveq2d 5679	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( B ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
124	109, 123	eqtrd 2267	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( B ` ( ( K - ( L - M ) ) + 0 ) ) )
125	36, 51, 124	3eqtr4d 2277	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) ` ( K + M ) ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) )
126		simpll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> A e. Word V )
127		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> M e. ( 0 ... L ) )
128		lencl 11253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Word V -> (♯ ` A ) e. NN0 )
129		elnn0uz 9910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 <-> (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
130		eluzfz2 10386	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (♯ ` A ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> (♯ ` A ) e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
131	129, 130	sylbi 121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> (♯ ` A ) e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
132	1, 131	eqeltrid 2321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (♯ ` A ) e. NN0 -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
133	128, 132	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Word V -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
134	133	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
135	134	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) )
136	126, 127, 135	3jca 1204	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
137	136	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) )
138		swrdlen 11369	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Word V /\ M e. ( 0 ... L ) /\ L e. ( 0 ... (♯ ` A ) ) ) -> (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) = ( L - M ) )
139	137, 138	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) = ( L - M ) )
140	139	eqcomd 2240	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( L - M ) = (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) )
141	140	oveq2d 6074	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( K - ( L - M ) ) = ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) )
142	141	fveq2d 5679	. . 3 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - ( L - M ) ) ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) )
143	5, 125, 142	3eqtrd 2271	. 2 |- ( ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) /\ ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) )
144	143	ex 115	1 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... ( L + (♯ ` B ) ) ) ) ) -> ( ( K e. ( 0..^ ( N - M ) ) /\ -. K e. ( 0..^ ( L - M ) ) ) -> ( ( ( A ++ B ) substr <. M , N >. ) ` K ) = ( ( B prefix ( N - L ) ) ` ( K - (♯ ` ( A substr <. M , L >. ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   <.cop 3697   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   + caddc 8146   <_ cle 8325   - cmin 8460   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361  ..^cfzo 10498  ♯chash 11163  Word cword 11249   ++ cconcat 11303   substr csubstr 11362   prefix cpfx 11389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-ihash 11164  df-word 11250  df-concat 11304  df-substr 11363  df-pfx 11390

This theorem is referenced by:  pfxccatin12  11450