Theorem prloc 7558

Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem prloc

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 7541	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))
2		simpr3 1007	. . . 4 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
3	1, 2	sylbi 121	. . 3 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
5		simpr 110	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
6		ltrelnq 7432	. . . . . . 7 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4715	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
8	7	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐴 ∈ Q)
9	8	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → 𝐴 ∈ Q)
10		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → 𝑞 = 𝐴)
11	10	breq1d 4043	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (𝑞 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
12	10	eleq1d 2265	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
13	12	orbi1d 792	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
15	14	ralbidv 2497	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
16	9, 15	rspcdv 2871	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ∀𝑟 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
17	7	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
18	17	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ Q)
19		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → 𝑟 = 𝐵)
20	19	breq2d 4045	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → (𝐴 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q 𝐵))
21	19	eleq1d 2265	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
22	21	orbi2d 791	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈)))
23	20, 22	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → ((𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))))
24	18, 23	rspcdv 2871	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑟 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))))
25	16, 24	syld 45	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))))
26	4, 5, 25	mp2d 47	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ⊆ wss 3157  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033  Qcnq 7347   <_Q cltq 7352  Pcnp 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-qs 6598  df-ni 7371  df-nqqs 7415  df-ltnqqs 7420  df-inp 7533

This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7563  addnqprlemfl  7626  addnqprlemfu  7627  mullocprlem  7637  mulnqprlemfl  7642  mulnqprlemfu  7643  ltsopr  7663  ltexprlemloc  7674  addcanprleml  7681  addcanprlemu  7682  recexprlemloc  7698  cauappcvgprlemladdru  7723  cauappcvgprlemladdrl  7724  caucvgprlemladdrl  7745