Theorem prloc 7674

Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem prloc

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 7657	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))
2		simpr3 1029	. . . 4 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
3	1, 2	sylbi 121	. . 3 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
5		simpr 110	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
6		ltrelnq 7548	. . . . . . 7 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4770	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
8	7	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐴 ∈ Q)
9	8	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → 𝐴 ∈ Q)
10		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → 𝑞 = 𝐴)
11	10	breq1d 4092	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (𝑞 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
12	10	eleq1d 2298	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
13	12	orbi1d 796	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
15	14	ralbidv 2530	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
16	9, 15	rspcdv 2910	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ∀𝑟 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
17	7	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
18	17	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ Q)
19		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → 𝑟 = 𝐵)
20	19	breq2d 4094	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → (𝐴 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q 𝐵))
21	19	eleq1d 2298	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
22	21	orbi2d 795	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈)))
23	20, 22	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → ((𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))))
24	18, 23	rspcdv 2910	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑟 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))))
25	16, 24	syld 45	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))))
26	4, 5, 25	mp2d 47	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082  Qcnq 7463   <_Q cltq 7468  Pcnp 7474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-qs 6684  df-ni 7487  df-nqqs 7531  df-ltnqqs 7536  df-inp 7649

This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7679  addnqprlemfl  7742  addnqprlemfu  7743  mullocprlem  7753  mulnqprlemfl  7758  mulnqprlemfu  7759  ltsopr  7779  ltexprlemloc  7790  addcanprleml  7797  addcanprlemu  7798  recexprlemloc  7814  cauappcvgprlemladdru  7839  cauappcvgprlemladdrl  7840  caucvgprlemladdrl  7861