Theorem prloc 7822

Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prloc	⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))

Proof of Theorem prloc

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elinp 7805	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))
2		simpr3 1032	. . . 4 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))) → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
3	1, 2	sylbi 121	. . 3 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
4	3	adantr 276	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
5		simpr 110	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
6		ltrelnq 7696	. . . . . . 7 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 4807	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q))
8	7	simpld 112	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐴 ∈ Q)
9	8	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → 𝐴 ∈ Q)
10		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → 𝑞 = 𝐴)
11	10	breq1d 4124	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (𝑞 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q 𝑟))
12	10	eleq1d 2303	. . . . . . 7 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ 𝐴 ∈ 𝐿))
13	12	orbi1d 799	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
14	11, 13	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
15	14	ralbidv 2544	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ ∀𝑟 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
16	9, 15	rspcdv 2926	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) → ∀𝑟 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
17	7	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 <Q 𝐵 → 𝐵 ∈ Q)
18	17	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → 𝐵 ∈ Q)
19		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → 𝑟 = 𝐵)
20	19	breq2d 4126	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → (𝐴 <Q 𝑟 ↔ 𝐴 <Q 𝐵))
21	19	eleq1d 2303	. . . . . 6 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ 𝐵 ∈ 𝑈))
22	21	orbi2d 798	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → ((𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈) ↔ (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈)))
23	20, 22	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → ((𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) ↔ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))))
24	18, 23	rspcdv 2926	. . 3 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑟 ∈ Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))))
25	16, 24	syld 45	. 2 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)) → (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))))
26	4, 5, 25	mp2d 47	1 ⊢ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ∧ 𝐴 <Q 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐿 ∨ 𝐵 ∈ 𝑈))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ⊆ wss 3214  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114  Qcnq 7611   <_Q cltq 7616  Pcnp 7622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-qs 6786  df-ni 7635  df-nqqs 7679  df-ltnqqs 7684  df-inp 7797

This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7827  addnqprlemfl  7890  addnqprlemfu  7891  mullocprlem  7901  mulnqprlemfl  7906  mulnqprlemfu  7907  ltsopr  7927  ltexprlemloc  7938  addcanprleml  7945  addcanprlemu  7946  recexprlemloc  7962  cauappcvgprlemladdru  7987  cauappcvgprlemladdrl  7988  caucvgprlemladdrl  8009