ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prloc GIF version

Theorem prloc 7453
Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prloc ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵𝑈))

Proof of Theorem prloc
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinp 7436 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
2 simpr3 1000 . . . 4 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))) → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
31, 2sylbi 120 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
43adantr 274 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
5 simpr 109 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
6 ltrelnq 7327 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
76brel 4663 . . . . . 6 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
87simpld 111 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵𝐴Q)
98adantl 275 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → 𝐴Q)
10 simpr 109 . . . . . . 7 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → 𝑞 = 𝐴)
1110breq1d 3999 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑟))
1210eleq1d 2239 . . . . . . 7 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (𝑞𝐿𝐴𝐿))
1312orbi1d 786 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → ((𝑞𝐿𝑟𝑈) ↔ (𝐴𝐿𝑟𝑈)))
1411, 13imbi12d 233 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) ↔ (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈))))
1514ralbidv 2470 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (∀𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) ↔ ∀𝑟Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈))))
169, 15rspcdv 2837 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) → ∀𝑟Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈))))
177simprd 113 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵𝐵Q)
1817adantl 275 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → 𝐵Q)
19 simpr 109 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → 𝑟 = 𝐵)
2019breq2d 4001 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → (𝐴 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝐵))
2119eleq1d 2239 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → (𝑟𝑈𝐵𝑈))
2221orbi2d 785 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → ((𝐴𝐿𝑟𝑈) ↔ (𝐴𝐿𝐵𝑈)))
2320, 22imbi12d 233 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → ((𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈)) ↔ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴𝐿𝐵𝑈))))
2418, 23rspcdv 2837 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑟Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈)) → (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴𝐿𝐵𝑈))))
2516, 24syld 45 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) → (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴𝐿𝐵𝑈))))
264, 5, 25mp2d 47 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 703  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449  wss 3121  cop 3586   class class class wbr 3989  Qcnq 7242   <Q cltq 7247  Pcnp 7253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-qs 6519  df-ni 7266  df-nqqs 7310  df-ltnqqs 7315  df-inp 7428
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  7458  addnqprlemfl  7521  addnqprlemfu  7522  mullocprlem  7532  mulnqprlemfl  7537  mulnqprlemfu  7538  ltsopr  7558  ltexprlemloc  7569  addcanprleml  7576  addcanprlemu  7577  recexprlemloc  7593  cauappcvgprlemladdru  7618  cauappcvgprlemladdrl  7619  caucvgprlemladdrl  7640
  Copyright terms: Public domain W3C validator