Theorem cauappcvgprlemladdru 8023

Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 8025. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	|- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app	|- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd	|- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim	|- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
cauappcvgprlemladd.s	|- ( ph -> S e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemladdru	|- ( ph -> ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) C_ ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   F, l, u, p, q   S, l, q, u

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, q, l)   S( p)   L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru

Dummy variables f g h r v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4134	. . . . 5 |- ( u = r -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) )
2	1	rexbidv 2551	. . . 4 |- ( u = r -> ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) )
3		nqex 7730	. . . . . 6 |- Q. e. _V
4	3	rabex 4280	. . . . 5 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } e. _V
5	3	rabex 4280	. . . . 5 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } e. _V
6	4, 5	op2nd 6381	. . . 4 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u }
7	2, 6	elrab2 2985	. . 3 |- ( r e. ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) <-> ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) )
8		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
9		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
10		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
11		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
12		cauappcvgprlemladd.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. Q. )
13	8, 9, 10, 11, 12	cauappcvgprlemladdfl 8022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) C_ ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) )
14		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = v -> ( l +Q q ) = ( l +Q v ) )
15		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q = v -> ( F ` q ) = ( F ` v ) )
16	15	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = v -> ( ( F ` q ) +Q S ) = ( ( F ` v ) +Q S ) )
17	14, 16	breq12d 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = v -> ( ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
18	17	cbvrexv 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. Q. -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
20	19	rabbiia 2807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } = { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) }
21		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q = v -> q = v )
22	15, 21	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q = v -> ( ( F ` q ) +Q q ) = ( ( F ` v ) +Q v ) )
23	22	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = v -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) = ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) )
24	23	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = v -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u ) )
25	24	cbvrexv 2787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u )
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. Q. -> ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u ) )
27	26	rabbiia 2807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } = { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u }
28	20, 27	opeq12i 3909	. . . . . . . . . . . . 13 |- <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. = <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >.
29	28	fveq2i 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. )
30	13, 29	sseqtrdi 3296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) C_ ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) C_ ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) )
32	8	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> F : Q. --> Q. )
33		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> q e. Q. )
34	32, 33	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` q ) e. Q. )
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> v e. Q. )
36		addassnqg 7749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` q ) e. Q. /\ q e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) = ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
37	34, 33, 35, 36	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) = ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
38		addclnq 7742	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` q ) e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
39	34, 33, 38	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
40		addclnq 7742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) e. Q. )
41	39, 40	sylancom 424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) e. Q. )
42	37, 41	eqeltrrd 2316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) e. Q. )
43	32, 35	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` v ) e. Q. )
44		ltsonq 7765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <Q Or Q.
45		so2nr 4466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <Q Or Q. /\ ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) e. Q. /\ ( F ` v ) e. Q. ) ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) )
46	44, 45	mpan 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) e. Q. /\ ( F ` v ) e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) )
47	42, 43, 46	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) )
48	12	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> S e. Q. )
49		addcomnqg 7748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
51		addassnqg 7749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f +Q g ) +Q h ) = ( f +Q ( g +Q h ) ) )
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( ( f +Q g ) +Q h ) = ( f +Q ( g +Q h ) ) )
53	39, 48, 35, 50, 52	caov32d 6270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) = ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) +Q S ) )
54	53	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) +Q S ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
55		ltanqg 7767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
57	56, 41, 43, 48, 50	caovord2d 6259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) <Q ( F ` v ) <-> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) +Q S ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
58	37	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) <Q ( F ` v ) <-> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) ) )
59	54, 57, 58	3bitr2d 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) ) )
60	59	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) -> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) ) )
61	9	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
62		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = v -> ( F ` p ) = ( F ` v ) )
63		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p = v -> ( p +Q q ) = ( v +Q q ) )
64	63	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = v -> ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) )
65	62, 64	breq12d 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = v -> ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
66	62, 63	oveq12d 6103	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = v -> ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) )
67	66	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = v -> ( ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
68	65, 67	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = v -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) <-> ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
69	68	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = v -> ( A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) <-> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
70	69	rspcv 2925	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. Q. -> ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
72	61, 71	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
73		rsp 2597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) -> ( q e. Q. -> ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
74	72, 33, 73	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
75	74	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) )
76		addcomnqg 7748	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( v +Q q ) = ( q +Q v ) )
77	35, 33, 76	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( v +Q q ) = ( q +Q v ) )
78	77	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) = ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
79	75, 78	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
80	60, 79	jctird 317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) -> ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) ) )
81	47, 80	mtod 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> -. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) )
82	81	nrexdv 2643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) )
83	8	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( F ` q ) e. Q. )
84	83, 38	sylancom 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
85	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> S e. Q. )
86		addclnq 7742	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. /\ S e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. Q. )
87	84, 85, 86	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. Q. )
88		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) -> ( l +Q v ) = ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) )
89	88	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) -> ( ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
90	89	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) -> ( E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
91	90	elrab3 2983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. Q. -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } <-> E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
92	87, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } <-> E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
93	82, 92	mtbird 684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } )
94	3	rabex 4280	. . . . . . . . . . . . 13 |- { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } e. _V
95	3	rabex 4280	. . . . . . . . . . . . 13 |- { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } e. _V
96	94, 95	op1st 6380	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) }
97	96	eleq2i 2305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) <-> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } )
98	93, 97	sylnibr 688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) )
99	31, 98	ssneldd 3251	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
100	99	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
101	100	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
102	8, 9, 10, 11	cauappcvgprlemcl 8020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L e. P. )
103		nqprlu 7914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. Q. -> <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. e. P. )
104	12, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. e. P. )
105		addclpr 7904	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. P. /\ <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. e. P. ) -> ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) e. P. )
106	102, 104, 105	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) e. P. )
107		prop 7842	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) e. P. -> <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) >. e. P. )
108	106, 107	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) >. e. P. )
109		prloc 7858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) >. e. P. /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
110	108, 109	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
111	110	adantlr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
112	111	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
113	112	orcomd 741	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
114	101, 113	ecased 1390	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
115	114	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
116	115	rexlimdva 2668	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. Q. ) -> ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
117	116	expimpd 363	. . 3 |- ( ph -> ( ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
118	7, 117	biimtrid 152	. 2 |- ( ph -> ( r e. ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
119	118	ssrdv 3254	1 |- ( ph -> ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) C_ ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220   <.cop 3712   class class class wbr 4130   Or wor 4440   -->wf 5373   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1stc1st 6372   2ndc2nd 6373   Q.cnq 7647   +Q cplq 7649   <Q cltq 7652   P.cnp 7658   +P. cpp 7660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-plpq 7711  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-plqqs 7716  df-mqqs 7717  df-1nqqs 7718  df-rq 7719  df-ltnqqs 7720  df-enq0 7791  df-nq0 7792  df-0nq0 7793  df-plq0 7794  df-mq0 7795  df-inp 7833  df-iplp 7835

This theorem is used by:  cauappcvgprlemladd  8025