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Theorem cauappcvgprlemladdru 7457
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7459. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
cauappcvgprlemladd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdru  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) 
C_  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    F, l, u, p, q    S, l, q, u
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    S( p)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru
Dummy variables  f  g  h  r  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3928 . . . . 5  |-  ( u  =  r  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  ( (
( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  <Q 
r ) )
21rexbidv 2436 . . . 4  |-  ( u  =  r  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
) )
3 nqex 7164 . . . . . 6  |-  Q.  e.  _V
43rabex 4067 . . . . 5  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) }  e.  _V
53rabex 4067 . . . . 5  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u }  e.  _V
64, 5op2nd 6038 . . . 4  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u }
72, 6elrab2 2838 . . 3  |-  ( r  e.  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  <-> 
( r  e.  Q.  /\ 
E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  r ) )
8 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
9 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
10 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
11 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
12 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
138, 9, 10, 11, 12cauappcvgprlemladdfl 7456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  C_  ( 1st ` 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) )
14 oveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  v  ->  (
l  +Q  q )  =  ( l  +Q  v ) )
15 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  =  v  ->  ( F `  q )  =  ( F `  v ) )
1615oveq1d 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  v  ->  (
( F `  q
)  +Q  S )  =  ( ( F `
 v )  +Q  S ) )
1714, 16breq12d 3937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  v  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
1817cbvrexv 2653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  <->  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) )
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
2019rabbiia 2666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) }  =  {
l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) }
21 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  =  v  ->  q  =  v )
2215, 21oveq12d 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  =  v  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 v )  +Q  v ) )
2322oveq1d 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  v  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  =  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S ) )
2423breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  v  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  ( (
( F `  v
)  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u ) )
2524cbvrexv 2653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S ) 
<Q  u  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u )
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u
) )
2726rabbiia 2666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u }  =  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u }
2820, 27opeq12i 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >.  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >.
2928fveq2i 5417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. )
3013, 29sseqtrdi 3140 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  C_  ( 1st ` 
<. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) )
3130adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) )  C_  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u } >. ) )
328ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  F : Q. --> Q. )
33 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  q  e.  Q. )
3432, 33ffvelrnd 5549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  q )  e.  Q. )
35 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  v  e.  Q. )
36 addassnqg 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) )
3734, 33, 35, 36syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) )
38 addclnq 7176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
3934, 33, 38syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  e.  Q. )
40 addclnq 7176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  v
)  e.  Q. )
4139, 40sylancom 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  e.  Q. )
4237, 41eqeltrrd 2215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) )  e.  Q. )
4332, 35ffvelrnd 5549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  v )  e.  Q. )
44 ltsonq 7199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <Q  Or  Q.
45 so2nr 4238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) )  e.  Q.  /\  ( F `  v )  e.  Q. ) )  ->  -.  ( (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) ) 
<Q  ( F `  v
)  /\  ( F `  v )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) ) ) )
4644, 45mpan 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) )  e.  Q.  /\  ( F `  v )  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )  /\  ( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) ) )
4742, 43, 46syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )  /\  ( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) ) )
4812ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  S  e.  Q. )
49 addcomnqg 7182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
5049adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e. 
Q.  /\  g  e.  Q. ) )  ->  (
f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
51 addassnqg 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
5251adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e. 
Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
5339, 48, 35, 50, 52caov32d 5944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  +Q  v )  =  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  v )  +Q  S ) )
5453breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  +Q  S )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  S
) ) )
55 ltanqg 7201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
5655adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e. 
Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
5756, 41, 43, 48, 50caovord2d 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  v
)  <Q  ( F `  v )  <->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  +Q  S )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  S
) ) )
5837breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  v
)  <Q  ( F `  v )  <->  ( ( F `  q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )
) )
5954, 57, 583bitr2d 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  ( ( F `  q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )
) )
6059biimpd 143 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) ) 
<Q  ( F `  v
) ) )
619ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
62 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  v  ->  ( F `  p )  =  ( F `  v ) )
63 oveq1 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  =  v  ->  (
p  +Q  q )  =  ( v  +Q  q ) )
6463oveq2d 5783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) ) )
6562, 64breq12d 3937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  v )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( v  +Q  q ) ) ) )
6662, 63oveq12d 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 v )  +Q  ( v  +Q  q
) ) )
6766breq2d 3936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 p )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  q )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  ( v  +Q  q ) ) ) )
6865, 67anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  v  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
6968ralbidv 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  v  ->  ( A. q  e.  Q.  ( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  A. q  e.  Q.  ( ( F `  v )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( v  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  ( v  +Q  q ) ) ) ) )
7069rspcv 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  Q.  ->  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
7170adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
7261, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) )
73 rsp 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. q  e.  Q.  (
( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) )  ->  (
q  e.  Q.  ->  ( ( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
7472, 33, 73sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) )
7574simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  v )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) ) )
76 addcomnqg 7182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( v  +Q  q
)  =  ( q  +Q  v ) )
7735, 33, 76syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
v  +Q  q )  =  ( q  +Q  v ) )
7877oveq2d 5783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( v  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) )
7975, 78breqtrd 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  v )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) ) )
8060, 79jctird 315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) )  <Q  ( F `  v )  /\  ( F `  v )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) ) ) ) )
8147, 80mtod 652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) )
8281nrexdv 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  E. v  e.  Q.  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) )
838ffvelrnda 5548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `
 q )  e. 
Q. )
8483, 38sylancom 416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  q )  e. 
Q. )
8512adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  S  e. 
Q. )
86 addclnq 7176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q.  /\  S  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  Q. )
8784, 85, 86syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  e. 
Q. )
88 oveq1 5774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  ->  (
l  +Q  v )  =  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v ) )
8988breq1d 3934 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  ->  (
( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  +Q  v )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  S
) ) )
9089rexbidv 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  ->  ( E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
9190elrab3 2836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  Q.  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) }  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
9287, 91syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) }  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) ) )
9382, 92mtbird 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) } )
943rabex 4067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) }  e.  _V
953rabex 4067 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u }  e.  _V
9694, 95op1st 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) }
9796eleq2i 2204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  <-> 
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) } )
9893, 97sylnibr 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) )
9931, 98ssneldd 3095 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
10099adantlr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) )
101100adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
1028, 9, 10, 11cauappcvgprlemcl 7454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  P. )
103 nqprlu 7348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >.  e.  P. )
10412, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  S } ,  {
u  |  S  <Q  u } >.  e.  P. )
105 addclpr 7338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  P.  /\  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {
u  |  S  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {
u  |  S  <Q  u } >. )  e.  P. )
106102, 104, 105syl2anc 408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )  e.  P. )
107 prop 7276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )  e.  P.  ->  <. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) >.  e.  P. )
108106, 107syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
<. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) >.  e.  P. )
109 prloc 7292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) >.  e.  P.  /\  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  r )  -> 
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
110108, 109sylan 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  <Q 
r )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
111110adantlr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S ) 
<Q  r )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
112111adantlr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
113112orcomd 718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  ( r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  \/  ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
114101, 113ecased 1327 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
115114ex 114 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  r  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
116115rexlimdva 2547 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  Q. )  ->  ( E. q  e.  Q.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S ) 
<Q  r  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
117116expimpd 360 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
1187, 117syl5bi 151 . 2  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
119118ssrdv 3098 1  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
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C_  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   {cab 2123   A.wral 2414   E.wrex 2415   {crab 2418    C_ wss 3066   <.cop 3525   class class class wbr 3924    Or wor 4212   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   1stc1st 6029   2ndc2nd 6030   Q.cnq 7081    +Q cplq 7083    <Q cltq 7086   P.cnp 7092    +P. cpp 7094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-0nq0 7227  df-plq0 7228  df-mq0 7229  df-inp 7267  df-iplp 7269
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  7459
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