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Theorem cauappcvgprlemladdru 7654
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7656. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
cauappcvgprlemladd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdru  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) 
C_  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    F, l, u, p, q    S, l, q, u
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    S( p)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru
Dummy variables  f  g  h  r  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4007 . . . . 5  |-  ( u  =  r  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  ( (
( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  <Q 
r ) )
21rexbidv 2478 . . . 4  |-  ( u  =  r  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
) )
3 nqex 7361 . . . . . 6  |-  Q.  e.  _V
43rabex 4147 . . . . 5  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) }  e.  _V
53rabex 4147 . . . . 5  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u }  e.  _V
64, 5op2nd 6147 . . . 4  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u }
72, 6elrab2 2896 . . 3  |-  ( r  e.  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  <-> 
( r  e.  Q.  /\ 
E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  r ) )
8 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
9 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
10 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
11 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
12 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
138, 9, 10, 11, 12cauappcvgprlemladdfl 7653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  C_  ( 1st ` 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) )
14 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  v  ->  (
l  +Q  q )  =  ( l  +Q  v ) )
15 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  =  v  ->  ( F `  q )  =  ( F `  v ) )
1615oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  v  ->  (
( F `  q
)  +Q  S )  =  ( ( F `
 v )  +Q  S ) )
1714, 16breq12d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  v  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
1817cbvrexv 2704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  <->  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) )
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
2019rabbiia 2722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) }  =  {
l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) }
21 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  =  v  ->  q  =  v )
2215, 21oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  =  v  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 v )  +Q  v ) )
2322oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  v  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  =  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S ) )
2423breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  v  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  ( (
( F `  v
)  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u ) )
2524cbvrexv 2704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S ) 
<Q  u  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u )
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u
) )
2726rabbiia 2722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u }  =  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u }
2820, 27opeq12i 3783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >.  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >.
2928fveq2i 5518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. )
3013, 29sseqtrdi 3203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  C_  ( 1st ` 
<. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) )
3130adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) )  C_  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u } >. ) )
328ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  F : Q. --> Q. )
33 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  q  e.  Q. )
3432, 33ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  q )  e.  Q. )
35 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  v  e.  Q. )
36 addassnqg 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) )
3734, 33, 35, 36syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) )
38 addclnq 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
3934, 33, 38syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  e.  Q. )
40 addclnq 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  v
)  e.  Q. )
4139, 40sylancom 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  e.  Q. )
4237, 41eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) )  e.  Q. )
4332, 35ffvelcdmd 5652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  v )  e.  Q. )
44 ltsonq 7396 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <Q  Or  Q.
45 so2nr 4321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) )  e.  Q.  /\  ( F `  v )  e.  Q. ) )  ->  -.  ( (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) ) 
<Q  ( F `  v
)  /\  ( F `  v )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) ) ) )
4644, 45mpan 424 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) )  e.  Q.  /\  ( F `  v )  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )  /\  ( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) ) )
4742, 43, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )  /\  ( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) ) )
4812ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  S  e.  Q. )
49 addcomnqg 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
5049adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e. 
Q.  /\  g  e.  Q. ) )  ->  (
f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
51 addassnqg 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
5251adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e. 
Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
5339, 48, 35, 50, 52caov32d 6054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  +Q  v )  =  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  v )  +Q  S ) )
5453breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  +Q  S )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  S
) ) )
55 ltanqg 7398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
5655adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e. 
Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
5756, 41, 43, 48, 50caovord2d 6043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  v
)  <Q  ( F `  v )  <->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  +Q  S )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  S
) ) )
5837breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  v
)  <Q  ( F `  v )  <->  ( ( F `  q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )
) )
5954, 57, 583bitr2d 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  ( ( F `  q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )
) )
6059biimpd 144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) ) 
<Q  ( F `  v
) ) )
619ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
62 fveq2 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  v  ->  ( F `  p )  =  ( F `  v ) )
63 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  =  v  ->  (
p  +Q  q )  =  ( v  +Q  q ) )
6463oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) ) )
6562, 64breq12d 4016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  v )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( v  +Q  q ) ) ) )
6662, 63oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 v )  +Q  ( v  +Q  q
) ) )
6766breq2d 4015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 p )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  q )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  ( v  +Q  q ) ) ) )
6865, 67anbi12d 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  v  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
6968ralbidv 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  v  ->  ( A. q  e.  Q.  ( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  A. q  e.  Q.  ( ( F `  v )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( v  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  ( v  +Q  q ) ) ) ) )
7069rspcv 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  Q.  ->  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
7170adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
7261, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) )
73 rsp 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. q  e.  Q.  (
( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) )  ->  (
q  e.  Q.  ->  ( ( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
7472, 33, 73sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) )
7574simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  v )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) ) )
76 addcomnqg 7379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( v  +Q  q
)  =  ( q  +Q  v ) )
7735, 33, 76syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
v  +Q  q )  =  ( q  +Q  v ) )
7877oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( v  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) )
7975, 78breqtrd 4029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  v )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) ) )
8060, 79jctird 317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) )  <Q  ( F `  v )  /\  ( F `  v )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) ) ) ) )
8147, 80mtod 663 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) )
8281nrexdv 2570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  E. v  e.  Q.  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) )
838ffvelcdmda 5651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `
 q )  e. 
Q. )
8483, 38sylancom 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  q )  e. 
Q. )
8512adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  S  e. 
Q. )
86 addclnq 7373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q.  /\  S  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  Q. )
8784, 85, 86syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  e. 
Q. )
88 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  ->  (
l  +Q  v )  =  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v ) )
8988breq1d 4013 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  ->  (
( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  +Q  v )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  S
) ) )
9089rexbidv 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  ->  ( E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
9190elrab3 2894 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  Q.  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) }  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
9287, 91syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) }  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) ) )
9382, 92mtbird 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) } )
943rabex 4147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) }  e.  _V
953rabex 4147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u }  e.  _V
9694, 95op1st 6146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) }
9796eleq2i 2244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  <-> 
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) } )
9893, 97sylnibr 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) )
9931, 98ssneldd 3158 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
10099adantlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) )
101100adantr 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
1028, 9, 10, 11cauappcvgprlemcl 7651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  P. )
103 nqprlu 7545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >.  e.  P. )
10412, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  S } ,  {
u  |  S  <Q  u } >.  e.  P. )
105 addclpr 7535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  P.  /\  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {
u  |  S  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {
u  |  S  <Q  u } >. )  e.  P. )
106102, 104, 105syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )  e.  P. )
107 prop 7473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )  e.  P.  ->  <. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) >.  e.  P. )
108106, 107syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
<. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) >.  e.  P. )
109 prloc 7489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) >.  e.  P.  /\  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  r )  -> 
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
110108, 109sylan 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  <Q 
r )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
111110adantlr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S ) 
<Q  r )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
112111adantlr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
113112orcomd 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  ( r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  \/  ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
114101, 113ecased 1349 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
115114ex 115 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  r  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
116115rexlimdva 2594 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  Q. )  ->  ( E. q  e.  Q.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S ) 
<Q  r  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
117116expimpd 363 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
1187, 117biimtrid 152 . 2  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
119118ssrdv 3161 1  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
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)  <Q  u } >. ) 
C_  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459    C_ wss 3129   <.cop 3595   class class class wbr 4003    Or wor 4295   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   1stc1st 6138   2ndc2nd 6139   Q.cnq 7278    +Q cplq 7280    <Q cltq 7283   P.cnp 7289    +P. cpp 7291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464  df-iplp 7466
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  7656
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