Theorem cauappcvgprlemladdru 7971

Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7973. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	|- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app	|- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd	|- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim	|- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
cauappcvgprlemladd.s	|- ( ph -> S e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemladdru	|- ( ph -> ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) C_ ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   F, l, u, p, q   S, l, q, u

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, q, l)   S( p)   L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru

Dummy variables f g h r v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4113	. . . . 5 |- ( u = r -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) )
2	1	rexbidv 2543	. . . 4 |- ( u = r -> ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) )
3		nqex 7678	. . . . . 6 |- Q. e. _V
4	3	rabex 4256	. . . . 5 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } e. _V
5	3	rabex 4256	. . . . 5 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } e. _V
6	4, 5	op2nd 6341	. . . 4 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u }
7	2, 6	elrab2 2976	. . 3 |- ( r e. ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) <-> ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) )
8		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
9		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
10		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
11		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
12		cauappcvgprlemladd.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. Q. )
13	8, 9, 10, 11, 12	cauappcvgprlemladdfl 7970	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) C_ ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) )
14		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = v -> ( l +Q q ) = ( l +Q v ) )
15		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q = v -> ( F ` q ) = ( F ` v ) )
16	15	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = v -> ( ( F ` q ) +Q S ) = ( ( F ` v ) +Q S ) )
17	14, 16	breq12d 4122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = v -> ( ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
18	17	cbvrexv 2779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. Q. -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
20	19	rabbiia 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } = { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) }
21		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q = v -> q = v )
22	15, 21	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q = v -> ( ( F ` q ) +Q q ) = ( ( F ` v ) +Q v ) )
23	22	oveq1d 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = v -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) = ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) )
24	23	breq1d 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = v -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u ) )
25	24	cbvrexv 2779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u )
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. Q. -> ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u ) )
27	26	rabbiia 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } = { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u }
28	20, 27	opeq12i 3888	. . . . . . . . . . . . 13 |- <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. = <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >.
29	28	fveq2i 5673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. )
30	13, 29	sseqtrdi 3286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) C_ ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) C_ ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) )
32	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> F : Q. --> Q. )
33		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> q e. Q. )
34	32, 33	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` q ) e. Q. )
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> v e. Q. )
36		addassnqg 7697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` q ) e. Q. /\ q e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) = ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
37	34, 33, 35, 36	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) = ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
38		addclnq 7690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` q ) e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
39	34, 33, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
40		addclnq 7690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) e. Q. )
41	39, 40	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) e. Q. )
42	37, 41	eqeltrrd 2310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) e. Q. )
43	32, 35	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` v ) e. Q. )
44		ltsonq 7713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <Q Or Q.
45		so2nr 4442	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <Q Or Q. /\ ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) e. Q. /\ ( F ` v ) e. Q. ) ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) )
46	44, 45	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) e. Q. /\ ( F ` v ) e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) )
47	42, 43, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) )
48	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> S e. Q. )
49		addcomnqg 7696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
51		addassnqg 7697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f +Q g ) +Q h ) = ( f +Q ( g +Q h ) ) )
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( ( f +Q g ) +Q h ) = ( f +Q ( g +Q h ) ) )
53	39, 48, 35, 50, 52	caov32d 6235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) = ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) +Q S ) )
54	53	breq1d 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) +Q S ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
55		ltanqg 7715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
57	56, 41, 43, 48, 50	caovord2d 6224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) <Q ( F ` v ) <-> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) +Q S ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
58	37	breq1d 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) <Q ( F ` v ) <-> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) ) )
59	54, 57, 58	3bitr2d 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) ) )
60	59	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) -> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) ) )
61	9	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
62		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = v -> ( F ` p ) = ( F ` v ) )
63		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p = v -> ( p +Q q ) = ( v +Q q ) )
64	63	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = v -> ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) )
65	62, 64	breq12d 4122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = v -> ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
66	62, 63	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = v -> ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) )
67	66	breq2d 4121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = v -> ( ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
68	65, 67	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = v -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) <-> ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
69	68	ralbidv 2542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = v -> ( A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) <-> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
70	69	rspcv 2917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. Q. -> ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
72	61, 71	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
73		rsp 2589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) -> ( q e. Q. -> ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
74	72, 33, 73	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
75	74	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) )
76		addcomnqg 7696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( v +Q q ) = ( q +Q v ) )
77	35, 33, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( v +Q q ) = ( q +Q v ) )
78	77	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) = ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
79	75, 78	breqtrd 4135	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
80	60, 79	jctird 317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) -> ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) ) )
81	47, 80	mtod 669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> -. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) )
82	81	nrexdv 2635	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) )
83	8	ffvelcdmda 5812	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( F ` q ) e. Q. )
84	83, 38	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
85	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> S e. Q. )
86		addclnq 7690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. /\ S e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. Q. )
87	84, 85, 86	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. Q. )
88		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) -> ( l +Q v ) = ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) )
89	88	breq1d 4119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) -> ( ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
90	89	rexbidv 2543	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) -> ( E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
91	90	elrab3 2974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. Q. -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } <-> E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
92	87, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } <-> E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
93	82, 92	mtbird 680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } )
94	3	rabex 4256	. . . . . . . . . . . . 13 |- { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } e. _V
95	3	rabex 4256	. . . . . . . . . . . . 13 |- { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } e. _V
96	94, 95	op1st 6340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) }
97	96	eleq2i 2299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) <-> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } )
98	93, 97	sylnibr 684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) )
99	31, 98	ssneldd 3241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
100	99	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
101	100	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
102	8, 9, 10, 11	cauappcvgprlemcl 7968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L e. P. )
103		nqprlu 7862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. Q. -> <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. e. P. )
104	12, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. e. P. )
105		addclpr 7852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. P. /\ <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. e. P. ) -> ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) e. P. )
106	102, 104, 105	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) e. P. )
107		prop 7790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) e. P. -> <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) >. e. P. )
108	106, 107	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) >. e. P. )
109		prloc 7806	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) >. e. P. /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
110	108, 109	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
111	110	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
112	111	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
113	112	orcomd 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
114	101, 113	ecased 1386	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
115	114	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
116	115	rexlimdva 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. Q. ) -> ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
117	116	expimpd 363	. . 3 |- ( ph -> ( ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
118	7, 117	biimtrid 152	. 2 |- ( ph -> ( r e. ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
119	118	ssrdv 3244	1 |- ( ph -> ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) C_ ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   C_ wss 3211   <.cop 3692   class class class wbr 4109   Or wor 4416   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1stc1st 6332   2ndc2nd 6333   Q.cnq 7595   +Q cplq 7597   <Q cltq 7600   P.cnp 7606   +P. cpp 7608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-iplp 7783

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  7973