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Theorem cauappcvgprlemladdru 7194
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7196. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
cauappcvgprlemladd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdru  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) 
C_  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    F, l, u, p, q    S, l, q, u
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    S( p)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru
Dummy variables  f  g  h  r  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3841 . . . . 5  |-  ( u  =  r  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  ( (
( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  <Q 
r ) )
21rexbidv 2381 . . . 4  |-  ( u  =  r  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
) )
3 nqex 6901 . . . . . 6  |-  Q.  e.  _V
43rabex 3975 . . . . 5  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) }  e.  _V
53rabex 3975 . . . . 5  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u }  e.  _V
64, 5op2nd 5900 . . . 4  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u }
72, 6elrab2 2772 . . 3  |-  ( r  e.  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  <-> 
( r  e.  Q.  /\ 
E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  r ) )
8 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
9 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
10 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
11 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
12 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
138, 9, 10, 11, 12cauappcvgprlemladdfl 7193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  C_  ( 1st ` 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) )
14 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  v  ->  (
l  +Q  q )  =  ( l  +Q  v ) )
15 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  =  v  ->  ( F `  q )  =  ( F `  v ) )
1615oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  v  ->  (
( F `  q
)  +Q  S )  =  ( ( F `
 v )  +Q  S ) )
1714, 16breq12d 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  v  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
1817cbvrexv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  <->  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) )
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
2019rabbiia 2604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) }  =  {
l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) }
21 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( q  =  v  ->  q  =  v )
2215, 21oveq12d 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  =  v  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 v )  +Q  v ) )
2322oveq1d 5649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  v  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  =  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S ) )
2423breq1d 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  v  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  ( (
( F `  v
)  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u ) )
2524cbvrexv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S ) 
<Q  u  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u )
2625a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u
) )
2726rabbiia 2604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u }  =  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u }
2820, 27opeq12i 3622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >.  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >.
2928fveq2i 5292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. )
3013, 29syl6sseq 3070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  C_  ( 1st ` 
<. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) )
3130adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) )  C_  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u } >. ) )
328ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  F : Q. --> Q. )
33 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  q  e.  Q. )
3432, 33ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  q )  e.  Q. )
35 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  v  e.  Q. )
36 addassnqg 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) )
3734, 33, 35, 36syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) )
38 addclnq 6913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  q
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q. )
3934, 33, 38syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  e.  Q. )
40 addclnq 6913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q.  /\  v  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  v
)  e.  Q. )
4139, 40sylancom 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  e.  Q. )
4237, 41eqeltrrd 2165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) )  e.  Q. )
4332, 35ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  v )  e.  Q. )
44 ltsonq 6936 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <Q  Or  Q.
45 so2nr 4139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) )  e.  Q.  /\  ( F `  v )  e.  Q. ) )  ->  -.  ( (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) ) 
<Q  ( F `  v
)  /\  ( F `  v )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) ) ) )
4644, 45mpan 415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) )  e.  Q.  /\  ( F `  v )  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )  /\  ( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) ) )
4742, 43, 46syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )  /\  ( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) ) )
4812ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  S  e.  Q. )
49 addcomnqg 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
5049adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e. 
Q.  /\  g  e.  Q. ) )  ->  (
f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
51 addassnqg 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
5251adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e. 
Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  ->  (
( f  +Q  g
)  +Q  h )  =  ( f  +Q  ( g  +Q  h
) ) )
5339, 48, 35, 50, 52caov32d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  +Q  v )  =  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  v )  +Q  S ) )
5453breq1d 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  +Q  S )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  S
) ) )
55 ltanqg 6938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
5655adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  /\  ( f  e. 
Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
5756, 41, 43, 48, 50caovord2d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  v
)  <Q  ( F `  v )  <->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  v )  +Q  S )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  S
) ) )
5837breq1d 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  v
)  <Q  ( F `  v )  <->  ( ( F `  q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )
) )
5954, 57, 583bitr2d 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  ( ( F `  q )  +Q  ( q  +Q  v
) )  <Q  ( F `  v )
) )
6059biimpd 142 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( q  +Q  v ) ) 
<Q  ( F `  v
) ) )
619ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
62 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  v  ->  ( F `  p )  =  ( F `  v ) )
63 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  =  v  ->  (
p  +Q  q )  =  ( v  +Q  q ) )
6463oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) ) )
6562, 64breq12d 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  v )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( v  +Q  q ) ) ) )
6662, 63oveq12d 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 v )  +Q  ( v  +Q  q
) ) )
6766breq2d 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  v  ->  (
( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 p )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  q )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  ( v  +Q  q ) ) ) )
6865, 67anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  v  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
6968ralbidv 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  v  ->  ( A. q  e.  Q.  ( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  A. q  e.  Q.  ( ( F `  v )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( v  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  ( v  +Q  q ) ) ) ) )
7069rspcv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  Q.  ->  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
7170adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
7261, 71mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 v )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) )
73 rsp 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. q  e.  Q.  (
( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) )  ->  (
q  e.  Q.  ->  ( ( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) ) )
7472, 33, 73sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  v
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( v  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  v )  +Q  (
v  +Q  q ) ) ) )
7574simpld 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  v )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
v  +Q  q ) ) )
76 addcomnqg 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( v  +Q  q
)  =  ( q  +Q  v ) )
7735, 33, 76syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
v  +Q  q )  =  ( q  +Q  v ) )
7877oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( v  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( q  +Q  v
) ) )
7975, 78breqtrd 3861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  ( F `  v )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) ) )
8060, 79jctird 310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  ->  (
( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) )  <Q  ( F `  v )  /\  ( F `  v )  <Q  ( ( F `  q )  +Q  (
q  +Q  v ) ) ) ) )
8147, 80mtod 624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  Q. )  /\  v  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) )
8281nrexdv 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  E. v  e.  Q.  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) )
838ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( F `
 q )  e. 
Q. )
8483, 38sylancom 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  q )  +Q  q )  e. 
Q. )
8512adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  S  e. 
Q. )
86 addclnq 6913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  e.  Q.  /\  S  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  Q. )
8784, 85, 86syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  e. 
Q. )
88 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( l  =  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  ->  (
l  +Q  v )  =  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v ) )
8988breq1d 3847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  =  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  ->  (
( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  +Q  v )  <Q 
( ( F `  v )  +Q  S
) ) )
9089rexbidv 2381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( l  =  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  ->  ( E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S )  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
9190elrab3 2770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  Q.  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) }  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) ) )
9287, 91syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) }  <->  E. v  e.  Q.  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) ) )
9382, 92mtbird 633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) } )
943rabex 3975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) }  e.  _V
953rabex 3975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u }  e.  _V
9694, 95op1st 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v )  <Q  (
( F `  v
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `  v )  +Q  v )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) }
9796eleq2i 2154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  <-> 
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  (
l  +Q  v ) 
<Q  ( ( F `  v )  +Q  S
) } )
9893, 97sylnibr 637 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( l  +Q  v
)  <Q  ( ( F `
 v )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. v  e.  Q.  ( ( ( F `
 v )  +Q  v )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) )
9931, 98ssneldd 3026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
10099adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) )
101100adantr 270 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
1028, 9, 10, 11cauappcvgprlemcl 7191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  P. )
103 nqprlu 7085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >.  e.  P. )
10412, 103syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  S } ,  {
u  |  S  <Q  u } >.  e.  P. )
105 addclpr 7075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  P.  /\  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {
u  |  S  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  S } ,  {
u  |  S  <Q  u } >. )  e.  P. )
106102, 104, 105syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )  e.  P. )
107 prop 7013 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )  e.  P.  ->  <. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) >.  e.  P. )
108106, 107syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
<. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) >.  e.  P. )
109 prloc 7029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
<. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) ) >.  e.  P.  /\  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  r )  -> 
( ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
110108, 109sylan 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  <Q 
r )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
111110adantlr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S ) 
<Q  r )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. ) )  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
112111adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  ( (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  \/  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
113112orcomd 683 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  ( r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
)  \/  ( ( ( F `  q
)  +Q  q )  +Q  S )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
114101, 113ecased 1285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
115114ex 113 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  r  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
116115rexlimdva 2489 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  Q. )  ->  ( E. q  e.  Q.  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  +Q  S ) 
<Q  r  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
117116expimpd 355 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  r
)  ->  r  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
1187, 117syl5bi 150 . 2  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
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u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
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119118ssrdv 3029 1  |-  ( ph  ->  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
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C_  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   {crab 2363    C_ wss 2997   <.cop 3444   class class class wbr 3837    Or wor 4113   -->wf 4998   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   1stc1st 5891   2ndc2nd 5892   Q.cnq 6818    +Q cplq 6820    <Q cltq 6823   P.cnp 6829    +P. cpp 6831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-0nq0 6964  df-plq0 6965  df-mq0 6966  df-inp 7004  df-iplp 7006
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  7196
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