Theorem cauappcvgprlemladdru 7723

Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7725. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	|- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app	|- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd	|- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim	|- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
cauappcvgprlemladd.s	|- ( ph -> S e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemladdru	|- ( ph -> ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) C_ ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   F, l, u, p, q   S, l, q, u

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, q, l)   S( p)   L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru

Dummy variables f g h r v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4037	. . . . 5 |- ( u = r -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) )
2	1	rexbidv 2498	. . . 4 |- ( u = r -> ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) )
3		nqex 7430	. . . . . 6 |- Q. e. _V
4	3	rabex 4177	. . . . 5 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } e. _V
5	3	rabex 4177	. . . . 5 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } e. _V
6	4, 5	op2nd 6205	. . . 4 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u }
7	2, 6	elrab2 2923	. . 3 |- ( r e. ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) <-> ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) )
8		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
9		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
10		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
11		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
12		cauappcvgprlemladd.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. Q. )
13	8, 9, 10, 11, 12	cauappcvgprlemladdfl 7722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) C_ ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) )
14		oveq2 5930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = v -> ( l +Q q ) = ( l +Q v ) )
15		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q = v -> ( F ` q ) = ( F ` v ) )
16	15	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = v -> ( ( F ` q ) +Q S ) = ( ( F ` v ) +Q S ) )
17	14, 16	breq12d 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = v -> ( ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
18	17	cbvrexv 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. Q. -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
20	19	rabbiia 2748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } = { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) }
21		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q = v -> q = v )
22	15, 21	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q = v -> ( ( F ` q ) +Q q ) = ( ( F ` v ) +Q v ) )
23	22	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = v -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) = ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) )
24	23	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = v -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u ) )
25	24	cbvrexv 2730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u )
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. Q. -> ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u ) )
27	26	rabbiia 2748	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } = { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u }
28	20, 27	opeq12i 3813	. . . . . . . . . . . . 13 |- <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. = <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >.
29	28	fveq2i 5561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. )
30	13, 29	sseqtrdi 3231	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) C_ ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) C_ ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) )
32	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> F : Q. --> Q. )
33		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> q e. Q. )
34	32, 33	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` q ) e. Q. )
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> v e. Q. )
36		addassnqg 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` q ) e. Q. /\ q e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) = ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
37	34, 33, 35, 36	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) = ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
38		addclnq 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` q ) e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
39	34, 33, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
40		addclnq 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) e. Q. )
41	39, 40	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) e. Q. )
42	37, 41	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) e. Q. )
43	32, 35	ffvelcdmd 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` v ) e. Q. )
44		ltsonq 7465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <Q Or Q.
45		so2nr 4356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <Q Or Q. /\ ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) e. Q. /\ ( F ` v ) e. Q. ) ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) )
46	44, 45	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) e. Q. /\ ( F ` v ) e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) )
47	42, 43, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) )
48	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> S e. Q. )
49		addcomnqg 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
51		addassnqg 7449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f +Q g ) +Q h ) = ( f +Q ( g +Q h ) ) )
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( ( f +Q g ) +Q h ) = ( f +Q ( g +Q h ) ) )
53	39, 48, 35, 50, 52	caov32d 6104	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) = ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) +Q S ) )
54	53	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) +Q S ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
55		ltanqg 7467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
57	56, 41, 43, 48, 50	caovord2d 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) <Q ( F ` v ) <-> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) +Q S ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
58	37	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) <Q ( F ` v ) <-> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) ) )
59	54, 57, 58	3bitr2d 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) ) )
60	59	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) -> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) ) )
61	9	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
62		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = v -> ( F ` p ) = ( F ` v ) )
63		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p = v -> ( p +Q q ) = ( v +Q q ) )
64	63	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = v -> ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) )
65	62, 64	breq12d 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = v -> ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
66	62, 63	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = v -> ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) )
67	66	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = v -> ( ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
68	65, 67	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = v -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) <-> ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
69	68	ralbidv 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = v -> ( A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) <-> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
70	69	rspcv 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. Q. -> ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
72	61, 71	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
73		rsp 2544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) -> ( q e. Q. -> ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
74	72, 33, 73	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
75	74	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) )
76		addcomnqg 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( v +Q q ) = ( q +Q v ) )
77	35, 33, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( v +Q q ) = ( q +Q v ) )
78	77	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) = ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
79	75, 78	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
80	60, 79	jctird 317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) -> ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) ) )
81	47, 80	mtod 664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> -. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) )
82	81	nrexdv 2590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) )
83	8	ffvelcdmda 5697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( F ` q ) e. Q. )
84	83, 38	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
85	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> S e. Q. )
86		addclnq 7442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. /\ S e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. Q. )
87	84, 85, 86	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. Q. )
88		oveq1 5929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) -> ( l +Q v ) = ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) )
89	88	breq1d 4043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) -> ( ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
90	89	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) -> ( E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
91	90	elrab3 2921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. Q. -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } <-> E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
92	87, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } <-> E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
93	82, 92	mtbird 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } )
94	3	rabex 4177	. . . . . . . . . . . . 13 |- { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } e. _V
95	3	rabex 4177	. . . . . . . . . . . . 13 |- { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } e. _V
96	94, 95	op1st 6204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) }
97	96	eleq2i 2263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) <-> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } )
98	93, 97	sylnibr 678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) )
99	31, 98	ssneldd 3186	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
100	99	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
101	100	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
102	8, 9, 10, 11	cauappcvgprlemcl 7720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L e. P. )
103		nqprlu 7614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. Q. -> <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. e. P. )
104	12, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. e. P. )
105		addclpr 7604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. P. /\ <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. e. P. ) -> ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) e. P. )
106	102, 104, 105	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) e. P. )
107		prop 7542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) e. P. -> <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) >. e. P. )
108	106, 107	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) >. e. P. )
109		prloc 7558	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) >. e. P. /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
110	108, 109	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
111	110	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
112	111	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
113	112	orcomd 730	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
114	101, 113	ecased 1360	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
115	114	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
116	115	rexlimdva 2614	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. Q. ) -> ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
117	116	expimpd 363	. . 3 |- ( ph -> ( ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
118	7, 117	biimtrid 152	. 2 |- ( ph -> ( r e. ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
119	118	ssrdv 3189	1 |- ( ph -> ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) C_ ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   <.cop 3625   class class class wbr 4033   Or wor 4330   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   1stc1st 6196   2ndc2nd 6197   Q.cnq 7347   +Q cplq 7349   <Q cltq 7352   P.cnp 7358   +P. cpp 7360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-iplp 7535

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  7725