Theorem cauappcvgprlemladdru 7657

Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7659. The reverse subset relationship for the upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	|- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app	|- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd	|- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim	|- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
cauappcvgprlemladd.s	|- ( ph -> S e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemladdru	|- ( ph -> ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) C_ ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   F, l, u, p, q   S, l, q, u

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, q, l)   S( p)   L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdru

Dummy variables f g h r v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4009	. . . . 5 |- ( u = r -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) )
2	1	rexbidv 2478	. . . 4 |- ( u = r -> ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) )
3		nqex 7364	. . . . . 6 |- Q. e. _V
4	3	rabex 4149	. . . . 5 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } e. _V
5	3	rabex 4149	. . . . 5 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } e. _V
6	4, 5	op2nd 6150	. . . 4 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u }
7	2, 6	elrab2 2898	. . 3 |- ( r e. ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) <-> ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) )
8		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
9		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
10		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
11		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
12		cauappcvgprlemladd.s	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. Q. )
13	8, 9, 10, 11, 12	cauappcvgprlemladdfl 7656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) C_ ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) )
14		oveq2 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = v -> ( l +Q q ) = ( l +Q v ) )
15		fveq2 5517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q = v -> ( F ` q ) = ( F ` v ) )
16	15	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = v -> ( ( F ` q ) +Q S ) = ( ( F ` v ) +Q S ) )
17	14, 16	breq12d 4018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = v -> ( ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
18	17	cbvrexv 2706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. Q. -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
20	19	rabbiia 2724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } = { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) }
21		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q = v -> q = v )
22	15, 21	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q = v -> ( ( F ` q ) +Q q ) = ( ( F ` v ) +Q v ) )
23	22	oveq1d 5892	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = v -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) = ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) )
24	23	breq1d 4015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = v -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u ) )
25	24	cbvrexv 2706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u )
26	25	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. Q. -> ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u <-> E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u ) )
27	26	rabbiia 2724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } = { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u }
28	20, 27	opeq12i 3785	. . . . . . . . . . . . 13 |- <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. = <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >.
29	28	fveq2i 5520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. )
30	13, 29	sseqtrdi 3205	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) C_ ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) )
31	30	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) C_ ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) )
32	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> F : Q. --> Q. )
33		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> q e. Q. )
34	32, 33	ffvelcdmd 5654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` q ) e. Q. )
35		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> v e. Q. )
36		addassnqg 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` q ) e. Q. /\ q e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) = ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
37	34, 33, 35, 36	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) = ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
38		addclnq 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` q ) e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
39	34, 33, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
40		addclnq 7376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) e. Q. )
41	39, 40	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) e. Q. )
42	37, 41	eqeltrrd 2255	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) e. Q. )
43	32, 35	ffvelcdmd 5654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` v ) e. Q. )
44		ltsonq 7399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- <Q Or Q.
45		so2nr 4323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( <Q Or Q. /\ ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) e. Q. /\ ( F ` v ) e. Q. ) ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) )
46	44, 45	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) e. Q. /\ ( F ` v ) e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) )
47	42, 43, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) )
48	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> S e. Q. )
49		addcomnqg 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
51		addassnqg 7383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( f +Q g ) +Q h ) = ( f +Q ( g +Q h ) ) )
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( ( f +Q g ) +Q h ) = ( f +Q ( g +Q h ) ) )
53	39, 48, 35, 50, 52	caov32d 6057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) = ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) +Q S ) )
54	53	breq1d 4015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) +Q S ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
55		ltanqg 7401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
57	56, 41, 43, 48, 50	caovord2d 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) <Q ( F ` v ) <-> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) +Q S ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
58	37	breq1d 4015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q v ) <Q ( F ` v ) <-> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) ) )
59	54, 57, 58	3bitr2d 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) ) )
60	59	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) -> ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) ) )
61	9	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
62		fveq2 5517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = v -> ( F ` p ) = ( F ` v ) )
63		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p = v -> ( p +Q q ) = ( v +Q q ) )
64	63	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = v -> ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) )
65	62, 64	breq12d 4018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = v -> ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
66	62, 63	oveq12d 5895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p = v -> ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) )
67	66	breq2d 4017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p = v -> ( ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
68	65, 67	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = v -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) <-> ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
69	68	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = v -> ( A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) <-> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
70	69	rspcv 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( v e. Q. -> ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
71	70	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
72	61, 71	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
73		rsp 2524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. q e. Q. ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) -> ( q e. Q. -> ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) ) )
74	72, 33, 73	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` v ) +Q ( v +Q q ) ) ) )
75	74	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) )
76		addcomnqg 7382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( v e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( v +Q q ) = ( q +Q v ) )
77	35, 33, 76	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( v +Q q ) = ( q +Q v ) )
78	77	oveq2d 5893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q ( v +Q q ) ) = ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
79	75, 78	breqtrd 4031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) )
80	60, 79	jctird 317	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) -> ( ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) <Q ( F ` v ) /\ ( F ` v ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( q +Q v ) ) ) ) )
81	47, 80	mtod 663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ q e. Q. ) /\ v e. Q. ) -> -. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) )
82	81	nrexdv 2570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) )
83	8	ffvelcdmda 5653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( F ` q ) e. Q. )
84	83, 38	sylancom 420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. )
85	12	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> S e. Q. )
86		addclnq 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) e. Q. /\ S e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. Q. )
87	84, 85, 86	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. Q. )
88		oveq1 5884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l = ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) -> ( l +Q v ) = ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) )
89	88	breq1d 4015	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l = ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) -> ( ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
90	89	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( l = ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) -> ( E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) <-> E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
91	90	elrab3 2896	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. Q. -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } <-> E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
92	87, 91	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } <-> E. v e. Q. ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) ) )
93	82, 92	mtbird 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } )
94	3	rabex 4149	. . . . . . . . . . . . 13 |- { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } e. _V
95	3	rabex 4149	. . . . . . . . . . . . 13 |- { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } e. _V
96	94, 95	op1st 6149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) }
97	96	eleq2i 2244	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) <-> ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } )
98	93, 97	sylnibr 677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` <. { l e. Q. | E. v e. Q. ( l +Q v ) <Q ( ( F ` v ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. v e. Q. ( ( ( F ` v ) +Q v ) +Q S ) <Q u } >. ) )
99	31, 98	ssneldd 3160	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
100	99	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
101	100	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
102	8, 9, 10, 11	cauappcvgprlemcl 7654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L e. P. )
103		nqprlu 7548	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. Q. -> <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. e. P. )
104	12, 103	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. e. P. )
105		addclpr 7538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. P. /\ <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. e. P. ) -> ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) e. P. )
106	102, 104, 105	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) e. P. )
107		prop 7476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) e. P. -> <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) >. e. P. )
108	106, 107	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) >. e. P. )
109		prloc 7492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) >. e. P. /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
110	108, 109	sylan 283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
111	110	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
112	111	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
113	112	orcomd 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> ( r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) \/ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
114	101, 113	ecased 1349	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
115	114	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
116	115	rexlimdva 2594	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. Q. ) -> ( E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
117	116	expimpd 363	. . 3 |- ( ph -> ( ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q r ) -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
118	7, 117	biimtrid 152	. 2 |- ( ph -> ( r e. ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) -> r e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
119	118	ssrdv 3163	1 |- ( ph -> ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) C_ ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   C_ wss 3131   <.cop 3597   class class class wbr 4005   Or wor 4297   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   1stc1st 6141   2ndc2nd 6142   Q.cnq 7281   +Q cplq 7283   <Q cltq 7286   P.cnp 7292   +P. cpp 7294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-iplp 7469

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  7659