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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulnqprlemfl | Unicode version |
Description: Lemma for mulnqpr 7057. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jul-2021.) |
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mulnqprlemfl |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | mulnqprlemru 7054 |
. . . . . 6
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2 | ltsonq 6878 |
. . . . . . . . 9
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3 | mulclnq 6856 |
. . . . . . . . 9
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4 | sonr 4111 |
. . . . . . . . 9
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5 | 2, 3, 4 | sylancr 405 |
. . . . . . . 8
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6 | ltrelnq 6845 |
. . . . . . . . . . . 12
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7 | 6 | brel 4451 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | 7 | simpld 110 |
. . . . . . . . . 10
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9 | elex 2623 |
. . . . . . . . . 10
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10 | 8, 9 | syl 14 |
. . . . . . . . 9
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11 | breq2 3818 |
. . . . . . . . 9
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12 | 10, 11 | elab3 2757 |
. . . . . . . 8
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13 | 5, 12 | sylnibr 635 |
. . . . . . 7
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14 | ltnqex 7029 |
. . . . . . . . 9
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15 | gtnqex 7030 |
. . . . . . . . 9
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16 | 14, 15 | op2nd 5856 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | eleq2i 2151 |
. . . . . . 7
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18 | 13, 17 | sylnibr 635 |
. . . . . 6
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19 | 1, 18 | ssneldd 3015 |
. . . . 5
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20 | 19 | adantr 270 |
. . . 4
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21 | nqprlu 7027 |
. . . . . . 7
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22 | nqprlu 7027 |
. . . . . . 7
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23 | mulclpr 7052 |
. . . . . . 7
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24 | 21, 22, 23 | syl2an 283 |
. . . . . 6
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25 | prop 6955 |
. . . . . 6
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26 | 24, 25 | syl 14 |
. . . . 5
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27 | vex 2617 |
. . . . . . 7
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28 | breq1 3817 |
. . . . . . 7
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29 | 14, 15 | op1st 5855 |
. . . . . . 7
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30 | 27, 28, 29 | elab2 2753 |
. . . . . 6
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31 | 30 | biimpi 118 |
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32 | prloc 6971 |
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33 | 26, 31, 32 | syl2an 283 |
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34 | 20, 33 | ecased 1283 |
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35 | 34 | ex 113 |
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36 | 35 | ssrdv 3018 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 577 ax-in2 578 ax-io 663 ax-5 1379 ax-7 1380 ax-gen 1381 ax-ie1 1425 ax-ie2 1426 ax-8 1438 ax-10 1439 ax-11 1440 ax-i12 1441 ax-bndl 1442 ax-4 1443 ax-13 1447 ax-14 1448 ax-17 1462 ax-i9 1466 ax-ial 1470 ax-i5r 1471 ax-ext 2067 ax-coll 3922 ax-sep 3925 ax-nul 3933 ax-pow 3977 ax-pr 4003 ax-un 4227 ax-setind 4319 ax-iinf 4369 |
This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 779 df-3or 923 df-3an 924 df-tru 1290 df-fal 1293 df-nf 1393 df-sb 1690 df-eu 1948 df-mo 1949 df-clab 2072 df-cleq 2078 df-clel 2081 df-nfc 2214 df-ne 2252 df-ral 2360 df-rex 2361 df-reu 2362 df-rab 2364 df-v 2616 df-sbc 2829 df-csb 2922 df-dif 2988 df-un 2990 df-in 2992 df-ss 2999 df-nul 3273 df-pw 3411 df-sn 3431 df-pr 3432 df-op 3434 df-uni 3631 df-int 3666 df-iun 3709 df-br 3815 df-opab 3869 df-mpt 3870 df-tr 3905 df-eprel 4083 df-id 4087 df-po 4090 df-iso 4091 df-iord 4160 df-on 4162 df-suc 4165 df-iom 4372 df-xp 4410 df-rel 4411 df-cnv 4412 df-co 4413 df-dm 4414 df-rn 4415 df-res 4416 df-ima 4417 df-iota 4937 df-fun 4974 df-fn 4975 df-f 4976 df-f1 4977 df-fo 4978 df-f1o 4979 df-fv 4980 df-ov 5597 df-oprab 5598 df-mpt2 5599 df-1st 5849 df-2nd 5850 df-recs 6005 df-irdg 6070 df-1o 6116 df-2o 6117 df-oadd 6120 df-omul 6121 df-er 6225 df-ec 6227 df-qs 6231 df-ni 6784 df-pli 6785 df-mi 6786 df-lti 6787 df-plpq 6824 df-mpq 6825 df-enq 6827 df-nqqs 6828 df-plqqs 6829 df-mqqs 6830 df-1nqqs 6831 df-rq 6832 df-ltnqqs 6833 df-enq0 6904 df-nq0 6905 df-0nq0 6906 df-plq0 6907 df-mq0 6908 df-inp 6946 df-imp 6949 |
This theorem is referenced by: mulnqpr 7057 |
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