Theorem mullocprlem 7402

Description: Calculations for mullocpr 7403. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mullocprlem.ab	|- ( ph -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
mullocprlem.uqedu	|- ( ph -> ( U .Q Q ) <Q ( E .Q ( D .Q U ) ) )
mullocprlem.edutdu	|- ( ph -> ( E .Q ( D .Q U ) ) <Q ( T .Q ( D .Q U ) ) )
mullocprlem.tdudr	|- ( ph -> ( T .Q ( D .Q U ) ) <Q ( D .Q R ) )
mullocprlem.qr	|- ( ph -> ( Q e. Q. /\ R e. Q. ) )
mullocprlem.duq	|- ( ph -> ( D e. Q. /\ U e. Q. ) )
mullocprlem.du	|- ( ph -> ( D e. ( 1st ` A ) /\ U e. ( 2nd ` A ) ) )
mullocprlem.et	|- ( ph -> ( E e. Q. /\ T e. Q. ) )

Assertion

Ref	Expression
mullocprlem	|- ( ph -> ( Q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ R e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )

Proof of Theorem mullocprlem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullocprlem.uqedu	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U .Q Q ) <Q ( E .Q ( D .Q U ) ) )
2		mullocprlem.et	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E e. Q. /\ T e. Q. ) )
3	2	simpld 111	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. Q. )
4		mullocprlem.duq	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D e. Q. /\ U e. Q. ) )
5	4	simpld 111	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. Q. )
6	4	simprd 113	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. Q. )
7		mulcomnqg 7215	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( x .Q y ) = ( y .Q x ) )
8	7	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. ) ) -> ( x .Q y ) = ( y .Q x ) )
9		mulassnqg 7216	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( ( x .Q y ) .Q z ) = ( x .Q ( y .Q z ) ) )
10	9	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ y e. Q. /\ z e. Q. ) ) -> ( ( x .Q y ) .Q z ) = ( x .Q ( y .Q z ) ) )
11	3, 5, 6, 8, 10	caov13d 5962	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E .Q ( D .Q U ) ) = ( U .Q ( D .Q E ) ) )
12	1, 11	breqtrd 3962	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U .Q Q ) <Q ( U .Q ( D .Q E ) ) )
13		mullocprlem.qr	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q e. Q. /\ R e. Q. ) )
14	13	simpld 111	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. Q. )
15		mulclnq 7208	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. Q. /\ E e. Q. ) -> ( D .Q E ) e. Q. )
16	5, 3, 15	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D .Q E ) e. Q. )
17		ltmnqg 7233	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. Q. /\ ( D .Q E ) e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( Q <Q ( D .Q E ) <-> ( U .Q Q ) <Q ( U .Q ( D .Q E ) ) ) )
18	14, 16, 6, 17	syl3anc 1217	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Q <Q ( D .Q E ) <-> ( U .Q Q ) <Q ( U .Q ( D .Q E ) ) ) )
19	12, 18	mpbird 166	. . . . 5 |- ( ph -> Q <Q ( D .Q E ) )
20	19	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ E e. ( 1st ` B ) ) -> Q <Q ( D .Q E ) )
21		mullocprlem.ab	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
22	21	simpld 111	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. P. )
23		mullocprlem.du	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( D e. ( 1st ` A ) /\ U e. ( 2nd ` A ) ) )
24	23	simpld 111	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( 1st ` A ) )
25	22, 24	jca 304	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. P. /\ D e. ( 1st ` A ) ) )
26	25	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E e. ( 1st ` B ) ) -> ( A e. P. /\ D e. ( 1st ` A ) ) )
27	21	simprd 113	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. P. )
28	27	anim1i 338	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E e. ( 1st ` B ) ) -> ( B e. P. /\ E e. ( 1st ` B ) ) )
29	14	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E e. ( 1st ` B ) ) -> Q e. Q. )
30		mulnqprl 7400	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ D e. ( 1st ` A ) ) /\ ( B e. P. /\ E e. ( 1st ` B ) ) ) /\ Q e. Q. ) -> ( Q <Q ( D .Q E ) -> Q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) ) )
31	26, 28, 29, 30	syl21anc 1216	. . . 4 |- ( ( ph /\ E e. ( 1st ` B ) ) -> ( Q <Q ( D .Q E ) -> Q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) ) )
32	20, 31	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ E e. ( 1st ` B ) ) -> Q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) )
33	32	orcd 723	. 2 |- ( ( ph /\ E e. ( 1st ` B ) ) -> ( Q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ R e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
34	2	simprd 113	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. Q. )
35		mulcomnqg 7215	. . . . . . 7 |- ( ( T e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( T .Q U ) = ( U .Q T ) )
36	34, 6, 35	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T .Q U ) = ( U .Q T ) )
37		mullocprlem.tdudr	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( T .Q ( D .Q U ) ) <Q ( D .Q R ) )
38		mulclnq 7208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( T .Q U ) e. Q. )
39	34, 6, 38	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T .Q U ) e. Q. )
40	13	simprd 113	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R e. Q. )
41		ltmnqg 7233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T .Q U ) e. Q. /\ R e. Q. /\ D e. Q. ) -> ( ( T .Q U ) <Q R <-> ( D .Q ( T .Q U ) ) <Q ( D .Q R ) ) )
42	39, 40, 5, 41	syl3anc 1217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T .Q U ) <Q R <-> ( D .Q ( T .Q U ) ) <Q ( D .Q R ) ) )
43	34, 5, 6, 8, 10	caov12d 5960	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( T .Q ( D .Q U ) ) = ( D .Q ( T .Q U ) ) )
44	43	breq1d 3947	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( T .Q ( D .Q U ) ) <Q ( D .Q R ) <-> ( D .Q ( T .Q U ) ) <Q ( D .Q R ) ) )
45	42, 44	bitr4d 190	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T .Q U ) <Q R <-> ( T .Q ( D .Q U ) ) <Q ( D .Q R ) ) )
46	37, 45	mpbird 166	. . . . . 6 |- ( ph -> ( T .Q U ) <Q R )
47	36, 46	eqbrtrrd 3960	. . . . 5 |- ( ph -> ( U .Q T ) <Q R )
48	47	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ph /\ T e. ( 2nd ` B ) ) -> ( U .Q T ) <Q R )
49	23	simprd 113	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. ( 2nd ` A ) )
50	22, 49	jca 304	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. P. /\ U e. ( 2nd ` A ) ) )
51	50	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ T e. ( 2nd ` B ) ) -> ( A e. P. /\ U e. ( 2nd ` A ) ) )
52	27	anim1i 338	. . . . 5 |- ( ( ph /\ T e. ( 2nd ` B ) ) -> ( B e. P. /\ T e. ( 2nd ` B ) ) )
53	40	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ph /\ T e. ( 2nd ` B ) ) -> R e. Q. )
54		mulnqpru 7401	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ U e. ( 2nd ` A ) ) /\ ( B e. P. /\ T e. ( 2nd ` B ) ) ) /\ R e. Q. ) -> ( ( U .Q T ) <Q R -> R e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
55	51, 52, 53, 54	syl21anc 1216	. . . 4 |- ( ( ph /\ T e. ( 2nd ` B ) ) -> ( ( U .Q T ) <Q R -> R e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
56	48, 55	mpd 13	. . 3 |- ( ( ph /\ T e. ( 2nd ` B ) ) -> R e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) )
57	56	olcd 724	. 2 |- ( ( ph /\ T e. ( 2nd ` B ) ) -> ( Q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ R e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )
58		mullocprlem.edutdu	. . . 4 |- ( ph -> ( E .Q ( D .Q U ) ) <Q ( T .Q ( D .Q U ) ) )
59		mulclnq 7208	. . . . . . 7 |- ( ( D e. Q. /\ U e. Q. ) -> ( D .Q U ) e. Q. )
60	4, 59	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D .Q U ) e. Q. )
61		ltmnqg 7233	. . . . . 6 |- ( ( E e. Q. /\ T e. Q. /\ ( D .Q U ) e. Q. ) -> ( E <Q T <-> ( ( D .Q U ) .Q E ) <Q ( ( D .Q U ) .Q T ) ) )
62	3, 34, 60, 61	syl3anc 1217	. . . . 5 |- ( ph -> ( E <Q T <-> ( ( D .Q U ) .Q E ) <Q ( ( D .Q U ) .Q T ) ) )
63		mulcomnqg 7215	. . . . . . 7 |- ( ( ( D .Q U ) e. Q. /\ E e. Q. ) -> ( ( D .Q U ) .Q E ) = ( E .Q ( D .Q U ) ) )
64	60, 3, 63	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( D .Q U ) .Q E ) = ( E .Q ( D .Q U ) ) )
65		mulcomnqg 7215	. . . . . . 7 |- ( ( ( D .Q U ) e. Q. /\ T e. Q. ) -> ( ( D .Q U ) .Q T ) = ( T .Q ( D .Q U ) ) )
66	60, 34, 65	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( D .Q U ) .Q T ) = ( T .Q ( D .Q U ) ) )
67	64, 66	breq12d 3950	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( D .Q U ) .Q E ) <Q ( ( D .Q U ) .Q T ) <-> ( E .Q ( D .Q U ) ) <Q ( T .Q ( D .Q U ) ) ) )
68	62, 67	bitrd 187	. . . 4 |- ( ph -> ( E <Q T <-> ( E .Q ( D .Q U ) ) <Q ( T .Q ( D .Q U ) ) ) )
69	58, 68	mpbird 166	. . 3 |- ( ph -> E <Q T )
70		prop 7307	. . . 4 |- ( B e. P. -> <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. )
71		prloc 7323	. . . 4 |- ( ( <. ( 1st ` B ) , ( 2nd ` B ) >. e. P. /\ E <Q T ) -> ( E e. ( 1st ` B ) \/ T e. ( 2nd ` B ) ) )
72	70, 71	sylan 281	. . 3 |- ( ( B e. P. /\ E <Q T ) -> ( E e. ( 1st ` B ) \/ T e. ( 2nd ` B ) ) )
73	27, 69, 72	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( E e. ( 1st ` B ) \/ T e. ( 2nd ` B ) ) )
74	33, 57, 73	mpjaodan 788	1 |- ( ph -> ( Q e. ( 1st ` ( A .P. B ) ) \/ R e. ( 2nd ` ( A .P. B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   <.cop 3535   class class class wbr 3937   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   1stc1st 6044   2ndc2nd 6045   Q.cnq 7112   .Q cmq 7115   <Q cltq 7117   P.cnp 7123   .P. cmp 7126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-eprel 4219  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7136  df-mi 7138  df-lti 7139  df-mpq 7177  df-enq 7179  df-nqqs 7180  df-mqqs 7182  df-1nqqs 7183  df-rq 7184  df-ltnqqs 7185  df-inp 7298  df-imp 7301

This theorem is referenced by:  mullocpr  7403