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Theorem cauappcvgprlemladdrl 7406
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7407. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
cauappcvgprlemladd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdrl  |-  ( ph  ->  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) 
C_  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    F, l, u, p, q    S, l, q, u, p
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdrl
Dummy variables  f  g  h  r  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5733 . . . . . 6  |-  ( l  =  r  ->  (
l  +Q  q )  =  ( r  +Q  q ) )
21breq1d 3903 . . . . 5  |-  ( l  =  r  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) ) )
32rexbidv 2410 . . . 4  |-  ( l  =  r  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  E. q  e.  Q.  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) ) )
4 nqex 7112 . . . . . 6  |-  Q.  e.  _V
54rabex 4030 . . . . 5  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) }  e.  _V
64rabex 4030 . . . . 5  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u }  e.  _V
75, 6op1st 5995 . . . 4  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) }
83, 7elrab2 2810 . . 3  |-  ( r  e.  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  <-> 
( r  e.  Q.  /\ 
E. q  e.  Q.  ( r  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) ) )
9 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
109ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  F : Q.
--> Q. )
1110ffvelrnda 5507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  ( F `  b )  e.  Q. )
12 simplr 502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  q  e.  Q. )
13 addclnq 7124 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( q  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( q  +Q  b
)  e.  Q. )
1412, 13sylan 279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
q  +Q  b )  e.  Q. )
15 addclnq 7124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  b
)  e.  Q.  /\  ( q  +Q  b
)  e.  Q. )  ->  ( ( F `  b )  +Q  (
q  +Q  b ) )  e.  Q. )
1611, 14, 15syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( F `  b
)  +Q  ( q  +Q  b ) )  e.  Q. )
1710adantr 272 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  F : Q. --> Q. )
18 simpllr 506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  q  e.  Q. )
1917, 18ffvelrnd 5508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  ( F `  q )  e.  Q. )
20 ltsonq 7147 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <Q  Or  Q.
21 so2nr 4201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( ( F `  b )  +Q  (
q  +Q  b ) )  e.  Q.  /\  ( F `  q )  e.  Q. ) )  ->  -.  ( (
( F `  b
)  +Q  ( q  +Q  b ) ) 
<Q  ( F `  q
)  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( q  +Q  b ) ) ) )
2220, 21mpan 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  b )  +Q  (
q  +Q  b ) )  e.  Q.  /\  ( F `  q )  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) )  <Q  ( F `  q )  /\  ( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) ) ) )
2316, 19, 22syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) )  <Q  ( F `  q )  /\  ( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) ) ) )
24 addclnq 7124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  b
)  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( F `  b )  +Q  b
)  e.  Q. )
2511, 24sylancom 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( F `  b
)  +Q  b )  e.  Q. )
26 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
2726ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  S  e.  Q. )
2827adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  S  e.  Q. )
29 addassnqg 7131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  b )  +Q  b
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  S  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  q
)  +Q  S )  =  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( q  +Q  S
) ) )
3025, 18, 28, 29syl3anc 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  q
)  +Q  S )  =  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( q  +Q  S
) ) )
3130breq1d 3903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  ( (
( F `  b
)  +Q  b )  +Q  ( q  +Q  S ) )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  S
) ) )
32 ltanqg 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
3332adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
r  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) )  /\  b  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f ) 
<Q  ( h  +Q  g
) ) )
34 addclnq 7124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  b )  +Q  b
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  q
)  e.  Q. )
3525, 18, 34syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  q )  e.  Q. )
36 addcomnqg 7130 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
3736adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
r  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) )  /\  b  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
3833, 35, 19, 28, 37caovord2d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  q )  +Q  S )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  S
) ) )
39 addcomnqg 7130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( S  +Q  q
)  =  ( q  +Q  S ) )
4028, 18, 39syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  ( S  +Q  q )  =  ( q  +Q  S
) )
4140oveq2d 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  ( S  +Q  q ) )  =  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( q  +Q  S
) ) )
4241breq1d 3903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  <->  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( q  +Q  S
) )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) ) )
4331, 38, 423bitr4rd 220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  <->  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
44 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  b  e.  Q. )
45 addassnqg 7131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  b
)  e.  Q.  /\  b  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 b )  +Q  ( b  +Q  q
) ) )
4611, 44, 18, 45syl3anc 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 b )  +Q  ( b  +Q  q
) ) )
47 addcomnqg 7130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( b  +Q  q
)  =  ( q  +Q  b ) )
4844, 18, 47syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
b  +Q  q )  =  ( q  +Q  b ) )
4948oveq2d 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( F `  b
)  +Q  ( b  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) ) )
5046, 49eqtrd 2145 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) ) )
5150breq1d 3903 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( ( F `  b )  +Q  ( q  +Q  b
) )  <Q  ( F `  q )
) )
5243, 51bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  <->  ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) )  <Q  ( F `  q )
) )
5352biimpd 143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  ->  ( ( F `  b )  +Q  ( q  +Q  b
) )  <Q  ( F `  q )
) )
54 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
5554ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
56 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  b  ->  ( F `  p )  =  ( F `  b ) )
57 oveq1 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  b  ->  (
p  +Q  q )  =  ( b  +Q  q ) )
5857oveq2d 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  b  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( b  +Q  q
) ) )
5956, 58breq12d 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  b  ->  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  b )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( b  +Q  q ) ) ) )
6056, 57oveq12d 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  b  ->  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 b )  +Q  ( b  +Q  q
) ) )
6160breq2d 3905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  b  ->  (
( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 p )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  q )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( b  +Q  q ) ) ) )
6259, 61anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  b  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  ( ( F `
 b )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
b  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) ) ) )
6362ralbidv 2409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  b  ->  ( A. q  e.  Q.  ( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  A. q  e.  Q.  ( ( F `  b )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( b  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( b  +Q  q ) ) ) ) )
6463rspcv 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  Q.  ->  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 b )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
b  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) ) ) )
6555, 64mpan9 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 b )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
b  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) ) )
66 rsp 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. q  e.  Q.  (
( F `  b
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( b  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) )  ->  (
q  e.  Q.  ->  ( ( F `  b
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( b  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) ) ) )
6765, 18, 66sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( F `  b
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( b  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) ) )
6867simprd 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) )
6968, 49breqtrd 3917 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  b )  +Q  (
q  +Q  b ) ) )
7053, 69jctird 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  ->  ( (
( F `  b
)  +Q  ( q  +Q  b ) ) 
<Q  ( F `  q
)  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( q  +Q  b ) ) ) ) )
7123, 70mtod 635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) )
7271nrexdv 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  -.  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q
) )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )
7372intnand 897 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  S
)  e.  Q.  /\  E. b  e.  Q.  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) ) )
74 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  q  ->  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )
75 oveq2 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  q  ->  (
p  +Q  b )  =  ( p  +Q  q ) )
7674, 75oveq12d 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  q  ->  (
( F `  b
)  +Q  ( p  +Q  b ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )
7776breq2d 3905 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  q  ->  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 b )  +Q  ( p  +Q  b
) )  <->  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
7875oveq2d 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  q  ->  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  b ) )  =  ( ( F `
 p )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )
7974, 78breq12d 3906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  q  ->  (
( F `  b
)  <Q  ( ( F `
 p )  +Q  ( p  +Q  b
) )  <->  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
8077, 79anbi12d 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  q  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( p  +Q  b ) )  /\  ( F `  b )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  b ) ) )  <->  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) ) )
8180cbvralv 2626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. b  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 b )  +Q  ( p  +Q  b
) )  /\  ( F `  b )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  b ) ) )  <->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
8281ralbii 2413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. p  e.  Q.  A. b  e.  Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  b )  +Q  (
p  +Q  b ) )  /\  ( F `
 b )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  b ) ) )  <->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
8355, 82sylibr 133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. b  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  b )  +Q  (
p  +Q  b ) )  /\  ( F `
 b )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  b ) ) ) )
84 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
8584ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p )
)
86 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
87 oveq2 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  b  ->  (
l  +Q  q )  =  ( l  +Q  b ) )
88 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  b  ->  ( F `  q )  =  ( F `  b ) )
8987, 88breq12d 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  b  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( l  +Q  b )  <Q  ( F `  b )
) )
9089cbvrexv 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
)  <->  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b
)  <Q  ( F `  b ) )
9190a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b )  <Q  ( F `  b )
) )
9291rabbiia 2640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  =  {
l  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b
)  <Q  ( F `  b ) }
93 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  =  b  ->  q  =  b )
9488, 93oveq12d 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  b  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 b )  +Q  b ) )
9594breq1d 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  b  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  b )  +Q  b )  <Q  u
) )
9695cbvrexv 2627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  u  <->  E. b  e.  Q.  ( ( F `  b )  +Q  b
)  <Q  u )
9796a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. b  e.  Q.  ( ( F `
 b )  +Q  b )  <Q  u
) )
9897rabbiia 2640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  =  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( F `
 b )  +Q  b )  <Q  u }
9992, 98opeq12i 3674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b
)  <Q  ( F `  b ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( F `  b )  +Q  b
)  <Q  u } >.
10086, 99eqtri 2133 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b
)  <Q  ( F `  b ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( F `  b )  +Q  b
)  <Q  u } >.
101 addclnq 7124 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( S  +Q  q
)  e.  Q. )
10227, 12, 101syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( S  +Q  q )  e.  Q. )
10310, 83, 85, 100, 102cauappcvgprlemladdfu 7403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  C_  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  (
l  +Q  b ) 
<Q  ( ( F `  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q
) )  <Q  u } >. ) )
104103sseld 3060 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( (
( F `  q
)  +Q  S )  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  -> 
( ( F `  q )  +Q  S
)  e.  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( S  +Q  q ) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q
) )  <Q  u } >. ) ) )
105 breq2 3897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( ( F `
 q )  +Q  S )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  u  <->  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q
) )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) ) )
106105rexbidv 2410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ( F `
 q )  +Q  S )  ->  ( E. b  e.  Q.  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  u  <->  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) ) )
1074rabex 4030 . . . . . . . . . . . 12  |-  { l  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  (
l  +Q  b ) 
<Q  ( ( F `  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) }  e.  _V
1084rabex 4030 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q
) )  <Q  u }  e.  _V
109107, 108op2nd 5996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( S  +Q  q ) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q
) )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  u }
110106, 109elrab2 2810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  q
)  +Q  S )  e.  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b
)  <Q  ( ( F `
 b )  +Q  ( S  +Q  q
) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  u } >. )  <->  ( ( ( F `  q )  +Q  S
)  e.  Q.  /\  E. b  e.  Q.  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) ) )
111104, 110syl6ib 160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( (
( F `  q
)  +Q  S )  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  -> 
( ( ( F `
 q )  +Q  S )  e.  Q.  /\ 
E. b  e.  Q.  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) ) ) )
11273, 111mtod 635 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  -.  (
( F `  q
)  +Q  S )  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) )
1139, 54, 84, 86cauappcvgprlemcl 7402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  P. )
114113ad3antrrr 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  L  e.  P. )
115 nqprlu 7296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  +Q  q )  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q
)  <Q  u } >.  e. 
P. )
116102, 115syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q
)  <Q  u } >.  e. 
P. )
117 addclpr 7286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  P.  /\  <. { l  |  l 
<Q  ( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  ( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. )  e.  P. )
118114, 116, 117syl2anc 406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. )  e.  P. )
119 prop 7224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q
)  <Q  u } >. )  e.  P.  ->  <. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  ( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) >.  e.  P. )
120 prloc 7240 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) >.  e.  P.  /\  ( r  +Q  q )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  S
) )  ->  (
( r  +Q  q
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  \/  ( ( F `  q )  +Q  S
)  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) ) )
121119, 120sylan 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. )  e.  P.  /\  ( r  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) )  -> 
( ( r  +Q  q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  \/  ( ( F `  q )  +Q  S
)  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) ) )
122118, 121sylancom 414 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( (
r  +Q  q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  \/  ( ( F `  q )  +Q  S
)  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) ) )
123112, 122ecased 1308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( r  +Q  q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) )
124 simpllr 506 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  r  e.  Q. )
125114, 27, 124, 12caucvgprlemcanl 7393 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( (
r  +Q  q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  <->  r  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
126123, 125mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  r  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
127126ex 114 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( r  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  ->  r  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
128127rexlimdva 2521 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  Q. )  ->  ( E. q  e.  Q.  (
r  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  ->  r  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
129128expimpd 358 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  r  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
1308, 129syl5bi 151 . 2  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  ->  r  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
131130ssrdv 3067 1  |-  ( ph  ->  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) 
C_  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    /\ w3a 943    = wceq 1312    e. wcel 1461   {cab 2099   A.wral 2388   E.wrex 2389   {crab 2392    C_ wss 3035   <.cop 3494   class class class wbr 3893    Or wor 4175   -->wf 5075   ` cfv 5079  (class class class)co 5726   1stc1st 5987   2ndc2nd 5988   Q.cnq 7029    +Q cplq 7031    <Q cltq 7034   P.cnp 7040    +P. cpp 7042
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-eprel 4169  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5989  df-2nd 5990  df-recs 6153  df-irdg 6218  df-1o 6264  df-2o 6265  df-oadd 6268  df-omul 6269  df-er 6380  df-ec 6382  df-qs 6386  df-ni 7053  df-pli 7054  df-mi 7055  df-lti 7056  df-plpq 7093  df-mpq 7094  df-enq 7096  df-nqqs 7097  df-plqqs 7098  df-mqqs 7099  df-1nqqs 7100  df-rq 7101  df-ltnqqs 7102  df-enq0 7173  df-nq0 7174  df-0nq0 7175  df-plq0 7176  df-mq0 7177  df-inp 7215  df-iplp 7217  df-iltp 7219
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  7407
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