Theorem cauappcvgprlemladdrl 7619

Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7620. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	|- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app	|- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd	|- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim	|- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
cauappcvgprlemladd.s	|- ( ph -> S e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemladdrl	|- ( ph -> ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) C_ ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   F, l, u, p, q   S, l, q, u, p

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, q, l)   L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdrl

Dummy variables f g h r b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5860	. . . . . 6 |- ( l = r -> ( l +Q q ) = ( r +Q q ) )
2	1	breq1d 3999	. . . . 5 |- ( l = r -> ( ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) )
3	2	rexbidv 2471	. . . 4 |- ( l = r -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> E. q e. Q. ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) )
4		nqex 7325	. . . . . 6 |- Q. e. _V
5	4	rabex 4133	. . . . 5 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } e. _V
6	4	rabex 4133	. . . . 5 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } e. _V
7	5, 6	op1st 6125	. . . 4 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) }
8	3, 7	elrab2 2889	. . 3 |- ( r e. ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) <-> ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) )
9		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
10	9	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> F : Q. --> Q. )
11	10	ffvelrnda 5631	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( F ` b ) e. Q. )
12		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> q e. Q. )
13		addclnq 7337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( q e. Q. /\ b e. Q. ) -> ( q +Q b ) e. Q. )
14	12, 13	sylan 281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( q +Q b ) e. Q. )
15		addclnq 7337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F ` b ) e. Q. /\ ( q +Q b ) e. Q. ) -> ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) e. Q. )
16	11, 14, 15	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) e. Q. )
17	10	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> F : Q. --> Q. )
18		simpllr 529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> q e. Q. )
19	17, 18	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( F ` q ) e. Q. )
20		ltsonq 7360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- <Q Or Q.
21		so2nr 4306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <Q Or Q. /\ ( ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) e. Q. /\ ( F ` q ) e. Q. ) ) -> -. ( ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) <Q ( F ` q ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) ) )
22	20, 21	mpan 422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) e. Q. /\ ( F ` q ) e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) <Q ( F ` q ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) ) )
23	16, 19, 22	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) <Q ( F ` q ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) ) )
24		addclnq 7337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F ` b ) e. Q. /\ b e. Q. ) -> ( ( F ` b ) +Q b ) e. Q. )
25	11, 24	sylancom 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( F ` b ) +Q b ) e. Q. )
26		cauappcvgprlemladd.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> S e. Q. )
27	26	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> S e. Q. )
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> S e. Q. )
29		addassnqg 7344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) e. Q. /\ q e. Q. /\ S e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q q ) +Q S ) = ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( q +Q S ) ) )
30	25, 18, 28, 29	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q q ) +Q S ) = ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( q +Q S ) ) )
31	30	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q q ) +Q S ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( q +Q S ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) )
32		ltanqg 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
33	32	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
34		addclnq 7337	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q q ) e. Q. )
35	25, 18, 34	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q q ) e. Q. )
36		addcomnqg 7343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
37	36	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
38	33, 35, 19, 28, 37	caovord2d 6022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q q ) +Q S ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) )
39		addcomnqg 7343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( S +Q q ) = ( q +Q S ) )
40	28, 18, 39	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( S +Q q ) = ( q +Q S ) )
41	40	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) = ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( q +Q S ) ) )
42	41	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( q +Q S ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) )
43	31, 38, 42	3bitr4rd 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q q ) <Q ( F ` q ) ) )
44		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> b e. Q. )
45		addassnqg 7344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` b ) e. Q. /\ b e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q q ) = ( ( F ` b ) +Q ( b +Q q ) ) )
46	11, 44, 18, 45	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q q ) = ( ( F ` b ) +Q ( b +Q q ) ) )
47		addcomnqg 7343	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( b e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( b +Q q ) = ( q +Q b ) )
48	44, 18, 47	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( b +Q q ) = ( q +Q b ) )
49	48	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( F ` b ) +Q ( b +Q q ) ) = ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) )
50	46, 49	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q q ) = ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) )
51	50	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) <Q ( F ` q ) ) )
52	43, 51	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) <-> ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) <Q ( F ` q ) ) )
53	52	biimpd 143	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) -> ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) <Q ( F ` q ) ) )
54		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
55	54	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
56		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = b -> ( F ` p ) = ( F ` b ) )
57		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( p = b -> ( p +Q q ) = ( b +Q q ) )
58	57	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = b -> ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` q ) +Q ( b +Q q ) ) )
59	56, 58	breq12d 4002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = b -> ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` b ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( b +Q q ) ) ) )
60	56, 57	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = b -> ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` b ) +Q ( b +Q q ) ) )
61	60	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = b -> ( ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( b +Q q ) ) ) )
62	59, 61	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = b -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) <-> ( ( F ` b ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( b +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( b +Q q ) ) ) ) )
63	62	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = b -> ( A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) <-> A. q e. Q. ( ( F ` b ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( b +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( b +Q q ) ) ) ) )
64	63	rspcv 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. Q. -> ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> A. q e. Q. ( ( F ` b ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( b +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( b +Q q ) ) ) ) )
65	55, 64	mpan9 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> A. q e. Q. ( ( F ` b ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( b +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( b +Q q ) ) ) )
66		rsp 2517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. q e. Q. ( ( F ` b ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( b +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( b +Q q ) ) ) -> ( q e. Q. -> ( ( F ` b ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( b +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( b +Q q ) ) ) ) )
67	65, 18, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( F ` b ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( b +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( b +Q q ) ) ) )
68	67	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( b +Q q ) ) )
69	68, 49	breqtrd 4015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) )
70	53, 69	jctird 315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) -> ( ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) <Q ( F ` q ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( q +Q b ) ) ) ) )
71	23, 70	mtod 658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) /\ b e. Q. ) -> -. ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) )
72	71	nrexdv 2563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> -. E. b e. Q. ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) )
73	72	intnand 926	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> -. ( ( ( F ` q ) +Q S ) e. Q. /\ E. b e. Q. ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) )
74		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = q -> ( F ` b ) = ( F ` q ) )
75		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = q -> ( p +Q b ) = ( p +Q q ) )
76	74, 75	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = q -> ( ( F ` b ) +Q ( p +Q b ) ) = ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) )
77	76	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = q -> ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( p +Q b ) ) <-> ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
78	75	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = q -> ( ( F ` p ) +Q ( p +Q b ) ) = ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) )
79	74, 78	breq12d 4002	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = q -> ( ( F ` b ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q b ) ) <-> ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
80	77, 79	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = q -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( p +Q b ) ) /\ ( F ` b ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q b ) ) ) <-> ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) ) )
81	80	cbvralv 2696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. b e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( p +Q b ) ) /\ ( F ` b ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q b ) ) ) <-> A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
82	81	ralbii 2476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. p e. Q. A. b e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( p +Q b ) ) /\ ( F ` b ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q b ) ) ) <-> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
83	55, 82	sylibr 133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> A. p e. Q. A. b e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( p +Q b ) ) /\ ( F ` b ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q b ) ) ) )
84		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
85	84	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
86		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . . . . . . 13 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
87		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = b -> ( l +Q q ) = ( l +Q b ) )
88		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = b -> ( F ` q ) = ( F ` b ) )
89	87, 88	breq12d 4002	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = b -> ( ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> ( l +Q b ) <Q ( F ` b ) ) )
90	89	cbvrexv 2697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> E. b e. Q. ( l +Q b ) <Q ( F ` b ) )
91	90	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( l e. Q. -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) <-> E. b e. Q. ( l +Q b ) <Q ( F ` b ) ) )
92	91	rabbiia 2715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } = { l e. Q. | E. b e. Q. ( l +Q b ) <Q ( F ` b ) }
93		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q = b -> q = b )
94	88, 93	oveq12d 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( q = b -> ( ( F ` q ) +Q q ) = ( ( F ` b ) +Q b ) )
95	94	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( q = b -> ( ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> ( ( F ` b ) +Q b ) <Q u ) )
96	95	cbvrexv 2697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> E. b e. Q. ( ( F ` b ) +Q b ) <Q u )
97	96	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. Q. -> ( E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u <-> E. b e. Q. ( ( F ` b ) +Q b ) <Q u ) )
98	97	rabbiia 2715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } = { u e. Q. | E. b e. Q. ( ( F ` b ) +Q b ) <Q u }
99	92, 98	opeq12i 3770	. . . . . . . . . . . . 13 |- <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >. = <. { l e. Q. | E. b e. Q. ( l +Q b ) <Q ( F ` b ) } , { u e. Q. | E. b e. Q. ( ( F ` b ) +Q b ) <Q u } >.
100	86, 99	eqtri 2191	. . . . . . . . . . . 12 |- L = <. { l e. Q. | E. b e. Q. ( l +Q b ) <Q ( F ` b ) } , { u e. Q. | E. b e. Q. ( ( F ` b ) +Q b ) <Q u } >.
101		addclnq 7337	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. Q. /\ q e. Q. ) -> ( S +Q q ) e. Q. )
102	27, 12, 101	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> ( S +Q q ) e. Q. )
103	10, 83, 85, 100, 102	cauappcvgprlemladdfu 7616	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) C_ ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. b e. Q. ( l +Q b ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( S +Q q ) ) } , { u e. Q. | E. b e. Q. ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q u } >. ) )
104	103	sseld 3146	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> ( ( ( F ` q ) +Q S ) e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) -> ( ( F ` q ) +Q S ) e. ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. b e. Q. ( l +Q b ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( S +Q q ) ) } , { u e. Q. | E. b e. Q. ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q u } >. ) ) )
105		breq2 3993	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( ( F ` q ) +Q S ) -> ( ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q u <-> ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) )
106	105	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( ( F ` q ) +Q S ) -> ( E. b e. Q. ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q u <-> E. b e. Q. ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) )
107	4	rabex 4133	. . . . . . . . . . . 12 |- { l e. Q. | E. b e. Q. ( l +Q b ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( S +Q q ) ) } e. _V
108	4	rabex 4133	. . . . . . . . . . . 12 |- { u e. Q. | E. b e. Q. ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q u } e. _V
109	107, 108	op2nd 6126	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. b e. Q. ( l +Q b ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( S +Q q ) ) } , { u e. Q. | E. b e. Q. ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q u } >. ) = { u e. Q. | E. b e. Q. ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q u }
110	106, 109	elrab2 2889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` q ) +Q S ) e. ( 2nd ` <. { l e. Q. | E. b e. Q. ( l +Q b ) <Q ( ( F ` b ) +Q ( S +Q q ) ) } , { u e. Q. | E. b e. Q. ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q u } >. ) <-> ( ( ( F ` q ) +Q S ) e. Q. /\ E. b e. Q. ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) )
111	104, 110	syl6ib 160	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> ( ( ( F ` q ) +Q S ) e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) -> ( ( ( F ` q ) +Q S ) e. Q. /\ E. b e. Q. ( ( ( F ` b ) +Q b ) +Q ( S +Q q ) ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) ) )
112	73, 111	mtod 658	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> -. ( ( F ` q ) +Q S ) e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) )
113	9, 54, 84, 86	cauappcvgprlemcl 7615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. P. )
114	113	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> L e. P. )
115		nqprlu 7509	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S +Q q ) e. Q. -> <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. e. P. )
116	102, 115	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. e. P. )
117		addclpr 7499	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. P. /\ <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. e. P. ) -> ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) e. P. )
118	114, 116, 117	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) e. P. )
119		prop 7437	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) e. P. -> <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) >. e. P. )
120		prloc 7453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) , ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) >. e. P. /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> ( ( r +Q q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) \/ ( ( F ` q ) +Q S ) e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) ) )
121	119, 120	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) e. P. /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> ( ( r +Q q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) \/ ( ( F ` q ) +Q S ) e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) ) )
122	118, 121	sylancom 418	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> ( ( r +Q q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) \/ ( ( F ` q ) +Q S ) e. ( 2nd ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) ) )
123	112, 122	ecased 1344	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> ( r +Q q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) )
124		simpllr 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> r e. Q. )
125	114, 27, 124, 12	caucvgprlemcanl 7606	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> ( ( r +Q q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( S +Q q ) } , { u | ( S +Q q ) <Q u } >. ) ) <-> r e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
126	123, 125	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) /\ ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> r e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )
127	126	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. Q. ) /\ q e. Q. ) -> ( ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) -> r e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
128	127	rexlimdva 2587	. . . 4 |- ( ( ph /\ r e. Q. ) -> ( E. q e. Q. ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) -> r e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
129	128	expimpd 361	. . 3 |- ( ph -> ( ( r e. Q. /\ E. q e. Q. ( r +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) ) -> r e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
130	8, 129	syl5bi 151	. 2 |- ( ph -> ( r e. ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) -> r e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) ) )
131	130	ssrdv 3153	1 |- ( ph -> ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q S ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q S ) <Q u } >. ) C_ ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q S } , { u | S <Q u } >. ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989   Or wor 4280   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   1stc1st 6117   2ndc2nd 6118   Q.cnq 7242   +Q cplq 7244   <Q cltq 7247   P.cnp 7253   +P. cpp 7255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-iplp 7430  df-iltp 7432

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  7620