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Theorem cauappcvgprlemladdrl 7195
Description: Lemma for cauappcvgprlemladd 7196. The forward subset relationship for the lower cut. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
cauappcvgprlemladd.s  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlemladdrl  |-  ( ph  ->  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) 
C_  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    F, l, u, p, q    S, l, q, u, p
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladdrl
Dummy variables  f  g  h  r  b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5641 . . . . . 6  |-  ( l  =  r  ->  (
l  +Q  q )  =  ( r  +Q  q ) )
21breq1d 3847 . . . . 5  |-  ( l  =  r  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) ) )
32rexbidv 2381 . . . 4  |-  ( l  =  r  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  E. q  e.  Q.  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) ) )
4 nqex 6901 . . . . . 6  |-  Q.  e.  _V
54rabex 3975 . . . . 5  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) }  e.  _V
64rabex 3975 . . . . 5  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u }  e.  _V
75, 6op1st 5899 . . . 4  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  S )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) }
83, 7elrab2 2772 . . 3  |-  ( r  e.  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  <-> 
( r  e.  Q.  /\ 
E. q  e.  Q.  ( r  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) ) )
9 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
109ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  F : Q.
--> Q. )
1110ffvelrnda 5418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  ( F `  b )  e.  Q. )
12 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  q  e.  Q. )
13 addclnq 6913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( q  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( q  +Q  b
)  e.  Q. )
1412, 13sylan 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
q  +Q  b )  e.  Q. )
15 addclnq 6913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  b
)  e.  Q.  /\  ( q  +Q  b
)  e.  Q. )  ->  ( ( F `  b )  +Q  (
q  +Q  b ) )  e.  Q. )
1611, 14, 15syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( F `  b
)  +Q  ( q  +Q  b ) )  e.  Q. )
1710adantr 270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  F : Q. --> Q. )
18 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  q  e.  Q. )
1917, 18ffvelrnd 5419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  ( F `  q )  e.  Q. )
20 ltsonq 6936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <Q  Or  Q.
21 so2nr 4139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 
<Q  Or  Q.  /\  (
( ( F `  b )  +Q  (
q  +Q  b ) )  e.  Q.  /\  ( F `  q )  e.  Q. ) )  ->  -.  ( (
( F `  b
)  +Q  ( q  +Q  b ) ) 
<Q  ( F `  q
)  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( q  +Q  b ) ) ) )
2220, 21mpan 415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  b )  +Q  (
q  +Q  b ) )  e.  Q.  /\  ( F `  q )  e.  Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) )  <Q  ( F `  q )  /\  ( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) ) ) )
2316, 19, 22syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) )  <Q  ( F `  q )  /\  ( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) ) ) )
24 addclnq 6913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( F `  b
)  e.  Q.  /\  b  e.  Q. )  ->  ( ( F `  b )  +Q  b
)  e.  Q. )
2511, 24sylancom 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( F `  b
)  +Q  b )  e.  Q. )
26 cauappcvgprlemladd.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  e.  Q. )
2726ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  S  e.  Q. )
2827adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  S  e.  Q. )
29 addassnqg 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  b )  +Q  b
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q.  /\  S  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  q
)  +Q  S )  =  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( q  +Q  S
) ) )
3025, 18, 28, 29syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  q
)  +Q  S )  =  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( q  +Q  S
) ) )
3130breq1d 3847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  <->  ( (
( F `  b
)  +Q  b )  +Q  ( q  +Q  S ) )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  S
) ) )
32 ltanqg 6938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
3332adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
r  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) )  /\  b  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f ) 
<Q  ( h  +Q  g
) ) )
34 addclnq 6913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  b )  +Q  b
)  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  q
)  e.  Q. )
3525, 18, 34syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  q )  e.  Q. )
36 addcomnqg 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
3736adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  (
r  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) )  /\  b  e.  Q. )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  +Q  g )  =  ( g  +Q  f ) )
3833, 35, 19, 28, 37caovord2d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  q )  +Q  S )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  S
) ) )
39 addcomnqg 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( S  +Q  q
)  =  ( q  +Q  S ) )
4028, 18, 39syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  ( S  +Q  q )  =  ( q  +Q  S
) )
4140oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  ( S  +Q  q ) )  =  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( q  +Q  S
) ) )
4241breq1d 3847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  <->  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( q  +Q  S
) )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) ) )
4331, 38, 423bitr4rd 219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  <->  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  q )  <Q  ( F `  q )
) )
44 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  b  e.  Q. )
45 addassnqg 6920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  b
)  e.  Q.  /\  b  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 b )  +Q  ( b  +Q  q
) ) )
4611, 44, 18, 45syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 b )  +Q  ( b  +Q  q
) ) )
47 addcomnqg 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( b  +Q  q
)  =  ( q  +Q  b ) )
4844, 18, 47syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
b  +Q  q )  =  ( q  +Q  b ) )
4948oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( F `  b
)  +Q  ( b  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) ) )
5046, 49eqtrd 2120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) ) )
5150breq1d 3847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( ( F `  b )  +Q  ( q  +Q  b
) )  <Q  ( F `  q )
) )
5243, 51bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  <->  ( ( F `
 b )  +Q  ( q  +Q  b
) )  <Q  ( F `  q )
) )
5352biimpd 142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  ->  ( ( F `  b )  +Q  ( q  +Q  b
) )  <Q  ( F `  q )
) )
54 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
5554ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
56 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  b  ->  ( F `  p )  =  ( F `  b ) )
57 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  =  b  ->  (
p  +Q  q )  =  ( b  +Q  q ) )
5857oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  b  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( b  +Q  q
) ) )
5956, 58breq12d 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  b  ->  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  b )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( b  +Q  q ) ) ) )
6056, 57oveq12d 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  =  b  ->  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 b )  +Q  ( b  +Q  q
) ) )
6160breq2d 3849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  b  ->  (
( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 p )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  q )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( b  +Q  q ) ) ) )
6259, 61anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  =  b  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  ( ( F `
 b )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
b  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) ) ) )
6362ralbidv 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  =  b  ->  ( A. q  e.  Q.  ( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  A. q  e.  Q.  ( ( F `  b )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( b  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( b  +Q  q ) ) ) ) )
6463rspcv 2718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  Q.  ->  ( A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 b )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
b  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) ) ) )
6555, 64mpan9 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 b )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
b  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) ) )
66 rsp 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. q  e.  Q.  (
( F `  b
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( b  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) )  ->  (
q  e.  Q.  ->  ( ( F `  b
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( b  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) ) ) )
6765, 18, 66sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( F `  b
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( b  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) ) )
6867simprd 112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  b )  +Q  (
b  +Q  q ) ) )
6968, 49breqtrd 3861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  b )  +Q  (
q  +Q  b ) ) )
7053, 69jctird 310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  ->  ( (
( F `  b
)  +Q  ( q  +Q  b ) ) 
<Q  ( F `  q
)  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( q  +Q  b ) ) ) ) )
7123, 70mtod 624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  /\  b  e. 
Q. )  ->  -.  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) )
7271nrexdv 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  -.  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q
) )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )
7372intnand 878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  -.  (
( ( F `  q )  +Q  S
)  e.  Q.  /\  E. b  e.  Q.  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) ) )
74 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  q  ->  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )
75 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  q  ->  (
p  +Q  b )  =  ( p  +Q  q ) )
7674, 75oveq12d 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  q  ->  (
( F `  b
)  +Q  ( p  +Q  b ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )
7776breq2d 3849 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  q  ->  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 b )  +Q  ( p  +Q  b
) )  <->  ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
7875oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  q  ->  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  b ) )  =  ( ( F `
 p )  +Q  ( p  +Q  q
) ) )
7974, 78breq12d 3850 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  q  ->  (
( F `  b
)  <Q  ( ( F `
 p )  +Q  ( p  +Q  b
) )  <->  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) ) )
8077, 79anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  q  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( p  +Q  b ) )  /\  ( F `  b )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  b ) ) )  <->  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) ) )
8180cbvralv 2590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. b  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 b )  +Q  ( p  +Q  b
) )  /\  ( F `  b )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  b ) ) )  <->  A. q  e.  Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
8281ralbii 2384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. p  e.  Q.  A. b  e.  Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  b )  +Q  (
p  +Q  b ) )  /\  ( F `
 b )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  b ) ) )  <->  A. p  e.  Q.  A. q  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  (
p  +Q  q ) )  /\  ( F `
 q )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
8355, 82sylibr 132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. b  e. 
Q.  ( ( F `
 p )  <Q 
( ( F `  b )  +Q  (
p  +Q  b ) )  /\  ( F `
 b )  <Q 
( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  b ) ) ) )
84 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
8584ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p )
)
86 cauappcvgpr.lim . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
87 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  b  ->  (
l  +Q  q )  =  ( l  +Q  b ) )
88 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  b  ->  ( F `  q )  =  ( F `  b ) )
8987, 88breq12d 3850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  b  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  ( l  +Q  b )  <Q  ( F `  b )
) )
9089cbvrexv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
)  <->  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b
)  <Q  ( F `  b ) )
9190a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( l  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q )  <->  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b )  <Q  ( F `  b )
) )
9291rabbiia 2604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) }  =  {
l  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b
)  <Q  ( F `  b ) }
93 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( q  =  b  ->  q  =  b )
9488, 93oveq12d 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  b  ->  (
( F `  q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 b )  +Q  b ) )
9594breq1d 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  b  ->  (
( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  ( ( F `  b )  +Q  b )  <Q  u
) )
9695cbvrexv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. q  e.  Q.  (
( F `  q
)  +Q  q ) 
<Q  u  <->  E. b  e.  Q.  ( ( F `  b )  +Q  b
)  <Q  u )
9796a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  Q.  ->  ( E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u  <->  E. b  e.  Q.  ( ( F `
 b )  +Q  b )  <Q  u
) )
9897rabbiia 2604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 q )  +Q  q )  <Q  u }  =  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( F `
 b )  +Q  b )  <Q  u }
9992, 98opeq12i 3622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( F `  q
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b
)  <Q  ( F `  b ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( F `  b )  +Q  b
)  <Q  u } >.
10086, 99eqtri 2108 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b
)  <Q  ( F `  b ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( F `  b )  +Q  b
)  <Q  u } >.
101 addclnq 6913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  Q.  /\  q  e.  Q. )  ->  ( S  +Q  q
)  e.  Q. )
10227, 12, 101syl2anc 403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( S  +Q  q )  e.  Q. )
10310, 83, 85, 100, 102cauappcvgprlemladdfu 7192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  C_  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  (
l  +Q  b ) 
<Q  ( ( F `  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q
) )  <Q  u } >. ) )
104103sseld 3022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( (
( F `  q
)  +Q  S )  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  -> 
( ( F `  q )  +Q  S
)  e.  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( S  +Q  q ) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q
) )  <Q  u } >. ) ) )
105 breq2 3841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( ( F `
 q )  +Q  S )  ->  (
( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  u  <->  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q
) )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) ) )
106105rexbidv 2381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ( F `
 q )  +Q  S )  ->  ( E. b  e.  Q.  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  u  <->  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) ) )
1074rabex 3975 . . . . . . . . . . . 12  |-  { l  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  (
l  +Q  b ) 
<Q  ( ( F `  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) }  e.  _V
1084rabex 3975 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q
) )  <Q  u }  e.  _V
109107, 108op2nd 5900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  <. { l  e. 
Q.  |  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b )  <Q  (
( F `  b
)  +Q  ( S  +Q  q ) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `  b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q
) )  <Q  u } >. )  =  {
u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  u }
110106, 109elrab2 2772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  q
)  +Q  S )  e.  ( 2nd `  <. { l  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( l  +Q  b
)  <Q  ( ( F `
 b )  +Q  ( S  +Q  q
) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. b  e.  Q.  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  u } >. )  <->  ( ( ( F `  q )  +Q  S
)  e.  Q.  /\  E. b  e.  Q.  (
( ( F `  b )  +Q  b
)  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) ) )
111104, 110syl6ib 159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( (
( F `  q
)  +Q  S )  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  -> 
( ( ( F `
 q )  +Q  S )  e.  Q.  /\ 
E. b  e.  Q.  ( ( ( F `
 b )  +Q  b )  +Q  ( S  +Q  q ) ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) ) ) )
11273, 111mtod 624 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  -.  (
( F `  q
)  +Q  S )  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) )
1139, 54, 84, 86cauappcvgprlemcl 7191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  P. )
114113ad3antrrr 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  L  e.  P. )
115 nqprlu 7085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  +Q  q )  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q
)  <Q  u } >.  e. 
P. )
116102, 115syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q
)  <Q  u } >.  e. 
P. )
117 addclpr 7075 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  P.  /\  <. { l  |  l 
<Q  ( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  ( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. )  e.  P. )
118114, 116, 117syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. )  e.  P. )
119 prop 7013 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q
)  <Q  u } >. )  e.  P.  ->  <. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  ( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) >.  e.  P. )
120 prloc 7029 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) ,  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) >.  e.  P.  /\  ( r  +Q  q )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  S
) )  ->  (
( r  +Q  q
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  \/  ( ( F `  q )  +Q  S
)  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) ) )
121119, 120sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. )  e.  P.  /\  ( r  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) )  -> 
( ( r  +Q  q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  \/  ( ( F `  q )  +Q  S
)  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) ) )
122118, 121sylancom 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( (
r  +Q  q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  \/  ( ( F `  q )  +Q  S
)  e.  ( 2nd `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( S  +Q  q
) } ,  {
u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) ) )
123112, 122ecased 1285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( r  +Q  q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) ) )
124 simpllr 501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  r  e.  Q. )
125114, 27, 124, 12caucvgprlemcanl 7182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  ( (
r  +Q  q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( S  +Q  q ) } ,  { u  |  ( S  +Q  q )  <Q  u } >. ) )  <->  r  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
126123, 125mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  /\  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  r  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
127126ex 113 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  Q. )  /\  q  e.  Q. )  ->  (
( r  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S )  ->  r  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
128127rexlimdva 2489 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  Q. )  ->  ( E. q  e.  Q.  (
r  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
)  ->  r  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
129128expimpd 355 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( r  e. 
Q.  /\  E. q  e.  Q.  ( r  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  S ) )  ->  r  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
1308, 129syl5bi 150 . 2  |-  ( ph  ->  ( r  e.  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  S
) } ,  {
u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. )  ->  r  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) ) )
131130ssrdv 3029 1  |-  ( ph  ->  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  S ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  S
)  <Q  u } >. ) 
C_  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  S } ,  { u  |  S  <Q  u } >. )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   {crab 2363    C_ wss 2997   <.cop 3444   class class class wbr 3837    Or wor 4113   -->wf 4998   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   1stc1st 5891   2ndc2nd 5892   Q.cnq 6818    +Q cplq 6820    <Q cltq 6823   P.cnp 6829    +P. cpp 6831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-0nq0 6964  df-plq0 6965  df-mq0 6966  df-inp 7004  df-iplp 7006  df-iltp 7008
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemladd  7196
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