Theorem prmuloclemcalc 7373

Description: Calculations for prmuloc 7374. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmuloclemcalc.ru	⊢ (𝜑 → 𝑅 <Q 𝑈)
prmuloclemcalc.udp	⊢ (𝜑 → 𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
prmuloclemcalc.axb	⊢ (𝜑 → (𝐴 +Q 𝑋) = 𝐵)
prmuloclemcalc.pbrx	⊢ (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
prmuloclemcalc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Q)
prmuloclemcalc.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Q)
prmuloclemcalc.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Q)
prmuloclemcalc.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Q)
prmuloclemcalc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
prmuloclemcalc	⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐷 ·Q 𝐵))

Proof of Theorem prmuloclemcalc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmuloclemcalc.axb	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +Q 𝑋) = 𝐵)
2	1	oveq2d 5790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = (𝑈 ·Q 𝐵))
3		prmuloclemcalc.ru	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 <Q 𝑈)
4		ltrelnq 7173	. . . . . . . . . 10 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
5	4	brel 4591	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 <Q 𝑈 → (𝑅 ∈ Q ∧ 𝑈 ∈ Q))
6	3, 5	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ Q ∧ 𝑈 ∈ Q))
7	6	simprd 113	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Q)
8		prmuloclemcalc.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Q)
9		prmuloclemcalc.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Q)
10		distrnqg 7195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1216	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
12	2, 11	eqtr3d 2174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐵) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
13		prmuloclemcalc.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Q)
14		mulcomnqg 7191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝑈 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝐵))
15	13, 7, 14	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝐵))
16		prmuloclemcalc.udp	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
17		ltmnqi 7211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃) ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)))
18	16, 13, 17	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)))
19		prmuloclemcalc.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Q)
20		prmuloclemcalc.p	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Q)
21		distrnqg 7195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q ∧ 𝑃 ∈ Q) → (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)) = ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
22	13, 19, 20, 21	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)) = ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
23	18, 22	breqtrd 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
24		mulcomnqg 7191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝑃 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝑃))
25	20, 13, 24	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝑃))
26		prmuloclemcalc.pbrx	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
27	25, 26	eqbrtrrd 3952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑃) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
28		mulclnq 7184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q)
29	13, 19, 28	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q)
30		ltanqi 7210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ·Q 𝑃) <Q (𝑅 ·Q 𝑋) ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
31	27, 29, 30	syl2anc 408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
32		ltsonq 7206	. . . . . . . . 9 ⊢ <Q Or Q
33	32, 4	sotri 4934	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) ∧ ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋))) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
34	23, 31, 33	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
35		ltmnqi 7211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 <Q 𝑈 ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑋 ·Q 𝑅) <Q (𝑋 ·Q 𝑈))
36	3, 9, 35	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑅) <Q (𝑋 ·Q 𝑈))
37	6	simpld 111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Q)
38		mulcomnqg 7191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ 𝑅 ∈ Q) → (𝑋 ·Q 𝑅) = (𝑅 ·Q 𝑋))
39	9, 37, 38	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑅) = (𝑅 ·Q 𝑋))
40		mulcomnqg 7191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ Q ∧ 𝑈 ∈ Q) → (𝑋 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝑋))
41	9, 7, 40	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝑋))
42	36, 39, 41	3brtr3d 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ·Q 𝑋) <Q (𝑈 ·Q 𝑋))
43		ltanqi 7210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ·Q 𝑋) <Q (𝑈 ·Q 𝑋) ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
44	42, 29, 43	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
45	32, 4	sotri 4934	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) ∧ ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋))) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
46	34, 44, 45	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
47	15, 46	eqbrtrrd 3952	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐵) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
48	12, 47	eqbrtrrd 3952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
49		mulclnq 7184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q) → (𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q)
50	7, 8, 49	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q)
51		mulclnq 7184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ Q ∧ 𝑋 ∈ Q) → (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q)
52	7, 9, 51	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q)
53		addcomnqg 7189	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)))
54	50, 52, 53	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)))
55		addcomnqg 7189	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
56	29, 52, 55	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
57	48, 54, 56	3brtr3d 3959	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
58		ltanqg 7208	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷) ↔ ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
59	50, 29, 52, 58	syl3anc 1216	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷) ↔ ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
60	57, 59	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷))
61		mulcomnqg 7191	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Q ∧ 𝐷 ∈ Q) → (𝐵 ·Q 𝐷) = (𝐷 ·Q 𝐵))
62	13, 19, 61	syl2anc 408	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝐷) = (𝐷 ·Q 𝐵))
63	60, 62	breqtrd 3954	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐷 ·Q 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  Qcnq 7088   +_Q cplq 7090   ·_Q cmq 7091   <_Q cltq 7093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-ltnqqs 7161

This theorem is referenced by:  prmuloc  7374