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Theorem prmuloclemcalc 7395
Description: Calculations for prmuloc 7396. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
prmuloclemcalc.ru (𝜑𝑅 <Q 𝑈)
prmuloclemcalc.udp (𝜑𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
prmuloclemcalc.axb (𝜑 → (𝐴 +Q 𝑋) = 𝐵)
prmuloclemcalc.pbrx (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
prmuloclemcalc.a (𝜑𝐴Q)
prmuloclemcalc.b (𝜑𝐵Q)
prmuloclemcalc.d (𝜑𝐷Q)
prmuloclemcalc.p (𝜑𝑃Q)
prmuloclemcalc.x (𝜑𝑋Q)
Assertion
Ref Expression
prmuloclemcalc (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐷 ·Q 𝐵))

Proof of Theorem prmuloclemcalc
StepHypRef Expression
1 prmuloclemcalc.axb . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 +Q 𝑋) = 𝐵)
21oveq2d 5796 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = (𝑈 ·Q 𝐵))
3 prmuloclemcalc.ru . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 <Q 𝑈)
4 ltrelnq 7195 . . . . . . . . . 10 <Q ⊆ (Q × Q)
54brel 4597 . . . . . . . . 9 (𝑅 <Q 𝑈 → (𝑅Q𝑈Q))
63, 5syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅Q𝑈Q))
76simprd 113 . . . . . . 7 (𝜑𝑈Q)
8 prmuloclemcalc.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴Q)
9 prmuloclemcalc.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋Q)
10 distrnqg 7217 . . . . . . 7 ((𝑈Q𝐴Q𝑋Q) → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
117, 8, 9, 10syl3anc 1217 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 ·Q (𝐴 +Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
122, 11eqtr3d 2175 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐵) = ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
13 prmuloclemcalc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵Q)
14 mulcomnqg 7213 . . . . . . 7 ((𝐵Q𝑈Q) → (𝐵 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝐵))
1513, 7, 14syl2anc 409 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝐵))
16 prmuloclemcalc.udp . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃))
17 ltmnqi 7233 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 <Q (𝐷 +Q 𝑃) ∧ 𝐵Q) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)))
1816, 13, 17syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)))
19 prmuloclemcalc.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷Q)
20 prmuloclemcalc.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃Q)
21 distrnqg 7217 . . . . . . . . . 10 ((𝐵Q𝐷Q𝑃Q) → (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)) = ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
2213, 19, 20, 21syl3anc 1217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ·Q (𝐷 +Q 𝑃)) = ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
2318, 22breqtrd 3960 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)))
24 mulcomnqg 7213 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃Q𝐵Q) → (𝑃 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝑃))
2520, 13, 24syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) = (𝐵 ·Q 𝑃))
26 prmuloclemcalc.pbrx . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 ·Q 𝐵) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
2725, 26eqbrtrrd 3958 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑃) <Q (𝑅 ·Q 𝑋))
28 mulclnq 7206 . . . . . . . . . 10 ((𝐵Q𝐷Q) → (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q)
2913, 19, 28syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q)
30 ltanqi 7232 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ·Q 𝑃) <Q (𝑅 ·Q 𝑋) ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
3127, 29, 30syl2anc 409 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
32 ltsonq 7228 . . . . . . . . 9 <Q Or Q
3332, 4sotri 4940 . . . . . . . 8 (((𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) ∧ ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝐵 ·Q 𝑃)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋))) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
3423, 31, 33syl2anc 409 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)))
35 ltmnqi 7233 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 <Q 𝑈𝑋Q) → (𝑋 ·Q 𝑅) <Q (𝑋 ·Q 𝑈))
363, 9, 35syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑅) <Q (𝑋 ·Q 𝑈))
376simpld 111 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅Q)
38 mulcomnqg 7213 . . . . . . . . . 10 ((𝑋Q𝑅Q) → (𝑋 ·Q 𝑅) = (𝑅 ·Q 𝑋))
399, 37, 38syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑅) = (𝑅 ·Q 𝑋))
40 mulcomnqg 7213 . . . . . . . . . 10 ((𝑋Q𝑈Q) → (𝑋 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝑋))
419, 7, 40syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ·Q 𝑈) = (𝑈 ·Q 𝑋))
4236, 39, 413brtr3d 3965 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 ·Q 𝑋) <Q (𝑈 ·Q 𝑋))
43 ltanqi 7232 . . . . . . . 8 (((𝑅 ·Q 𝑋) <Q (𝑈 ·Q 𝑋) ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4442, 29, 43syl2anc 409 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4532, 4sotri 4940 . . . . . . 7 (((𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) ∧ ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑅 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋))) → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4634, 44, 45syl2anc 409 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝑈) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4715, 46eqbrtrrd 3958 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐵) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
4812, 47eqbrtrrd 3958 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) <Q ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)))
49 mulclnq 7206 . . . . . 6 ((𝑈Q𝐴Q) → (𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q)
507, 8, 49syl2anc 409 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q)
51 mulclnq 7206 . . . . . 6 ((𝑈Q𝑋Q) → (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q)
527, 9, 51syl2anc 409 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q)
53 addcomnqg 7211 . . . . 5 (((𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)))
5450, 52, 53syl2anc 409 . . . 4 (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)))
55 addcomnqg 7211 . . . . 5 (((𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
5629, 52, 55syl2anc 409 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 ·Q 𝐷) +Q (𝑈 ·Q 𝑋)) = ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
5748, 54, 563brtr3d 3965 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷)))
58 ltanqg 7230 . . . 4 (((𝑈 ·Q 𝐴) ∈ Q ∧ (𝐵 ·Q 𝐷) ∈ Q ∧ (𝑈 ·Q 𝑋) ∈ Q) → ((𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷) ↔ ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
5950, 29, 52, 58syl3anc 1217 . . 3 (𝜑 → ((𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷) ↔ ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝑈 ·Q 𝐴)) <Q ((𝑈 ·Q 𝑋) +Q (𝐵 ·Q 𝐷))))
6057, 59mpbird 166 . 2 (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐵 ·Q 𝐷))
61 mulcomnqg 7213 . . 3 ((𝐵Q𝐷Q) → (𝐵 ·Q 𝐷) = (𝐷 ·Q 𝐵))
6213, 19, 61syl2anc 409 . 2 (𝜑 → (𝐵 ·Q 𝐷) = (𝐷 ·Q 𝐵))
6360, 62breqtrd 3960 1 (𝜑 → (𝑈 ·Q 𝐴) <Q (𝐷 ·Q 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3935  (class class class)co 5780  Qcnq 7110   +Q cplq 7112   ·Q cmq 7113   <Q cltq 7115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4049  ax-sep 4052  ax-nul 4060  ax-pow 4104  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-setind 4458  ax-iinf 4508
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-uni 3743  df-int 3778  df-iun 3821  df-br 3936  df-opab 3996  df-mpt 3997  df-tr 4033  df-eprel 4217  df-id 4221  df-po 4224  df-iso 4225  df-iord 4294  df-on 4296  df-suc 4299  df-iom 4511  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-co 4554  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-ima 4558  df-iota 5094  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133  df-f1 5134  df-fo 5135  df-f1o 5136  df-fv 5137  df-ov 5783  df-oprab 5784  df-mpo 5785  df-1st 6044  df-2nd 6045  df-recs 6208  df-irdg 6273  df-oadd 6323  df-omul 6324  df-er 6435  df-ec 6437  df-qs 6441  df-ni 7134  df-pli 7135  df-mi 7136  df-lti 7137  df-plpq 7174  df-mpq 7175  df-enq 7177  df-nqqs 7178  df-plqqs 7179  df-mqqs 7180  df-ltnqqs 7183
This theorem is referenced by:  prmuloc  7396
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