Theorem prodrbdc 11584

Description: Rebase the starting point of a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodrb.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
prodrb.5	|- ( ph -> N e. ZZ )
prodrb.6	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
prodrb.7	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` N ) )
prodrbdc.mdc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodrbdc.ndc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> DECID k e. A )

Assertion

Ref	Expression
prodrbdc	|- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem prodrbdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodmo.1	. . 3 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
2		prodmo.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3		prodrb.4	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		prodrb.5	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		prodrb.6	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
6		prodrb.7	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` N ) )
7		prodrbdc.mdc	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
8		prodrbdc.ndc	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> DECID k e. A )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	prodrbdclem2 11583	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )
10	1, 2, 4, 3, 6, 5, 8, 7	prodrbdclem2 11583	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq N ( x. , F ) ~~> C <-> seq M ( x. , F ) ~~> C ) )
11	10	bicomd 141	. 2 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )
12		uztric 9551	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) )
13	3, 4, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) )
14	9, 11, 13	mpjaodan 798	1 |- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3131   ifcif 3536   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   ` cfv 5218   CCcc 7811   1c1 7814   x. cmul 7818   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   seqcseq 10447   ~~> cli 11288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-clim 11289

This theorem is referenced by:  prodmodc  11588  zproddc  11589