Theorem prodrbdc 12198

Description: Rebase the starting point of a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodmo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodrb.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
prodrb.5	|- ( ph -> N e. ZZ )
prodrb.6	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
prodrb.7	|- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` N ) )
prodrbdc.mdc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
prodrbdc.ndc	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> DECID k e. A )

Assertion

Ref	Expression
prodrbdc	|- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, F   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem prodrbdc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prodmo.1	. . 3 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
2		prodmo.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3		prodrb.4	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
4		prodrb.5	. . 3 |- ( ph -> N e. ZZ )
5		prodrb.6	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
6		prodrb.7	. . 3 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` N ) )
7		prodrbdc.mdc	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID k e. A )
8		prodrbdc.ndc	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` N ) ) -> DECID k e. A )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	prodrbdclem2 12197	. 2 |- ( ( ph /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )
10	1, 2, 4, 3, 6, 5, 8, 7	prodrbdclem2 12197	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq N ( x. , F ) ~~> C <-> seq M ( x. , F ) ~~> C ) )
11	10	bicomd 141	. 2 |- ( ( ph /\ M e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )
12		uztric 9822	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) )
13	3, 4, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) \/ M e. ( ZZ>= ` N ) ) )
14	9, 11, 13	mpjaodan 806	1 |- ( ph -> ( seq M ( x. , F ) ~~> C <-> seq N ( x. , F ) ~~> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   C_ wss 3201   ifcif 3607   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   ` cfv 5333   CCcc 8073   1c1 8076   x. cmul 8080   ZZcz 9523   ZZ>=cuz 9799   seqcseq 10755   ~~> cli 11901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-clim 11902

This theorem is referenced by:  prodmodc  12202  zproddc  12203