Theorem psrelbasfi 14760

Description: Simpler form of psrelbas 14759 when the index set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrelbasfi.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrelbasfi.k	|- K = ( Base ` R )
psrelbasfi.f	|- ( ph -> I e. Fin )
psrelbasfi.b	|- B = ( Base ` S )
psrelbasfi.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrelbasfi	|- ( ph -> X : ( NN0 ^m I ) --> K )

Proof of Theorem psrelbasfi

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbasfi.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2		psrelbasfi.k	. . 3 |- K = ( Base ` R )
3		eqid 2231	. . 3 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
4		psrelbasfi.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
5		psrelbasfi.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
6	1, 2, 3, 4, 5	psrelbas 14759	. 2 |- ( ph -> X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> K )
7		psrelbasfi.f	. . . 4 |- ( ph -> I e. Fin )
8	3	psrbagfi 14753	. . . 4 |- ( I e. Fin -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
10	9	feq2d 5477	. 2 |- ( ph -> ( X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> K <-> X : ( NN0 ^m I ) --> K ) )
11	6, 10	mpbid 147	1 |- ( ph -> X : ( NN0 ^m I ) --> K )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   {crab 2515   `'ccnv 4730   "cima 4734   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   Fincfn 6952   NNcn 9185   NN0cn0 9444   Basecbs 13145   mPwSer cmps 14740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-ixp 6911  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-struct 13147  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-tset 13242  df-rest 13387  df-topn 13388  df-topgen 13406  df-pt 13407  df-psr 14742

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemcl  14783  mplsubgfileminv  14784