Theorem psrelbasfi 14689

Description: Simpler form of psrelbas 14688 when the index set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrelbasfi.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrelbasfi.k	|- K = ( Base ` R )
psrelbasfi.f	|- ( ph -> I e. Fin )
psrelbasfi.b	|- B = ( Base ` S )
psrelbasfi.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrelbasfi	|- ( ph -> X : ( NN0 ^m I ) --> K )

Proof of Theorem psrelbasfi

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbasfi.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2		psrelbasfi.k	. . 3 |- K = ( Base ` R )
3		eqid 2231	. . 3 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
4		psrelbasfi.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
5		psrelbasfi.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
6	1, 2, 3, 4, 5	psrelbas 14688	. 2 |- ( ph -> X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> K )
7		psrelbasfi.f	. . . 4 |- ( ph -> I e. Fin )
8	3	psrbagfi 14686	. . . 4 |- ( I e. Fin -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
10	9	feq2d 5470	. 2 |- ( ph -> ( X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> K <-> X : ( NN0 ^m I ) --> K ) )
11	6, 10	mpbid 147	1 |- ( ph -> X : ( NN0 ^m I ) --> K )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   `'ccnv 4724   "cima 4728   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   ^m cmap 6816   Fincfn 6908   NNcn 9142   NN0cn0 9401   Basecbs 13081   mPwSer cmps 14674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-of 6234  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-1o 6581  df-er 6701  df-map 6818  df-ixp 6867  df-en 6909  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-tset 13178  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13342  df-pt 13343  df-psr 14676

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemcl  14712  mplsubgfileminv  14713