Theorem psrelbasfi 14831

Description: Simpler form of psrelbas 14830 when the index set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrelbasfi.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrelbasfi.k	|- K = ( Base ` R )
psrelbasfi.f	|- ( ph -> I e. Fin )
psrelbasfi.b	|- B = ( Base ` S )
psrelbasfi.x	|- ( ph -> X e. B )

Assertion

Ref	Expression
psrelbasfi	|- ( ph -> X : ( NN0 ^m I ) --> K )

Proof of Theorem psrelbasfi

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbasfi.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
2		psrelbasfi.k	. . 3 |- K = ( Base ` R )
3		eqid 2232	. . 3 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
4		psrelbasfi.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
5		psrelbasfi.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
6	1, 2, 3, 4, 5	psrelbas 14830	. 2 |- ( ph -> X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> K )
7		psrelbasfi.f	. . . 4 |- ( ph -> I e. Fin )
8	3	psrbagfi 14823	. . . 4 |- ( I e. Fin -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = ( NN0 ^m I ) )
10	9	feq2d 5496	. 2 |- ( ph -> ( X : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> K <-> X : ( NN0 ^m I ) --> K ) )
11	6, 10	mpbid 147	1 |- ( ph -> X : ( NN0 ^m I ) --> K )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   `'ccnv 4748   "cima 4752   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   ^m cmap 6882   Fincfn 6975   NNcn 9237   NN0cn0 9496   Basecbs 13212   mPwSer cmps 14809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-tp 3697  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-of 6266  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-1o 6647  df-er 6767  df-map 6884  df-ixp 6934  df-en 6976  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-struct 13214  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sca 13306  df-vsca 13307  df-tset 13309  df-rest 13454  df-topn 13455  df-topgen 13473  df-pt 13474  df-psr 14811

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemcl  14854  mplsubgfileminv  14855