Theorem psrelbasfi 14683

Description: Simpler form of psrelbas 14682 when the index set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrelbasfi.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrelbasfi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrelbasfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrelbasfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrelbasfi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrelbasfi	⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾)

Proof of Theorem psrelbasfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbasfi.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrelbasfi.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2229	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		psrelbasfi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psrelbasfi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	psrelbas 14682	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
7		psrelbasfi.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8	3	psrbagfi 14680	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
10	9	feq2d 5467	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾 ↔ 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾))
11	6, 10	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  ^◡ccnv 4722   “ cima 4726  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ↑_𝑚 cmap 6812  Fincfn 6904  ℕcn 9136  ℕ₀cn0 9395  Basecbs 13075   mPwSer cmps 14668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-tp 3675  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-1o 6577  df-er 6697  df-map 6814  df-ixp 6863  df-en 6905  df-fin 6907  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-5 9198  df-6 9199  df-7 9200  df-8 9201  df-9 9202  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-fz 10237  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-plusg 13166  df-mulr 13167  df-sca 13169  df-vsca 13170  df-tset 13172  df-rest 13317  df-topn 13318  df-topgen 13336  df-pt 13337  df-psr 14670

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemcl  14706  mplsubgfileminv  14707