Theorem psrelbasfi 14661

Description: Simpler form of psrelbas 14660 when the index set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrelbasfi.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrelbasfi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrelbasfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrelbasfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrelbasfi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrelbasfi	⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾)

Proof of Theorem psrelbasfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbasfi.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrelbasfi.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2229	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		psrelbasfi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psrelbasfi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	psrelbas 14660	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
7		psrelbasfi.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8	3	psrbagfi 14658	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
10	9	feq2d 5464	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾 ↔ 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾))
11	6, 10	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  ^◡ccnv 4719   “ cima 4723  ⟶wf 5317  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010   ↑_𝑚 cmap 6808  Fincfn 6900  ℕcn 9126  ℕ₀cn0 9385  Basecbs 13053   mPwSer cmps 14646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-1o 6573  df-er 6693  df-map 6810  df-ixp 6859  df-en 6901  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-struct 13055  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-plusg 13144  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-tset 13150  df-rest 13295  df-topn 13296  df-topgen 13314  df-pt 13315  df-psr 14648

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemcl  14684  mplsubgfileminv  14685