Theorem psrelbasfi 14310

Description: Simpler form of psrelbas 14309 when the index set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrelbasfi.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrelbasfi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrelbasfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrelbasfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrelbasfi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrelbasfi	⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾)

Proof of Theorem psrelbasfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbasfi.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrelbasfi.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2196	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		psrelbasfi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psrelbasfi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	psrelbas 14309	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
7		psrelbasfi.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8	3	psrbagfi 14307	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
10	9	feq2d 5398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾 ↔ 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾))
11	6, 10	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {crab 2479  ^◡ccnv 4663   “ cima 4667  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925   ↑_𝑚 cmap 6716  Fincfn 6808  ℕcn 9009  ℕ₀cn0 9268  Basecbs 12705   mPwSer cmps 14295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-addcom 7998  ax-addass 8000  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-1o 6483  df-er 6601  df-map 6718  df-ixp 6767  df-en 6809  df-fin 6811  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-fz 10103  df-struct 12707  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-plusg 12795  df-mulr 12796  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-tset 12801  df-rest 12945  df-topn 12946  df-topgen 12964  df-pt 12965  df-psr 14297

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemcl  14333  mplsubgfileminv  14334