Theorem psrelbasfi 14605

Description: Simpler form of psrelbas 14604 when the index set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrelbasfi.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrelbasfi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrelbasfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrelbasfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrelbasfi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrelbasfi	⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾)

Proof of Theorem psrelbasfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbasfi.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrelbasfi.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2209	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		psrelbasfi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psrelbasfi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	psrelbas 14604	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
7		psrelbasfi.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8	3	psrbagfi 14602	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
10	9	feq2d 5437	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾 ↔ 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾))
11	6, 10	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  {crab 2492  ^◡ccnv 4695   “ cima 4699  ⟶wf 5290  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974   ↑_𝑚 cmap 6765  Fincfn 6857  ℕcn 9078  ℕ₀cn0 9337  Basecbs 12998   mPwSer cmps 14590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-distr 8071  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-cnre 8078  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-ltwlin 8080  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-apti 8082  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-if 3583  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-tp 3654  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-riota 5927  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-of 6188  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-1o 6532  df-er 6650  df-map 6767  df-ixp 6816  df-en 6858  df-fin 6860  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-xr 8153  df-ltxr 8154  df-le 8155  df-sub 8287  df-neg 8288  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-9 9144  df-n0 9338  df-z 9415  df-uz 9691  df-fz 10173  df-struct 13000  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-plusg 13089  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-tset 13095  df-rest 13240  df-topn 13241  df-topgen 13259  df-pt 13260  df-psr 14592

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemcl  14628  mplsubgfileminv  14629