Theorem psrelbasfi 14880

Description: Simpler form of psrelbas 14879 when the index set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrelbasfi.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psrelbasfi.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
psrelbasfi.f	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
psrelbasfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
psrelbasfi.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psrelbasfi	⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾)

Proof of Theorem psrelbasfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrelbasfi.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		psrelbasfi.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2234	. . 3 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
4		psrelbasfi.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
5		psrelbasfi.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	psrelbas 14879	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
7		psrelbasfi.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
8	3	psrbagfi 14872	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = (ℕ0 ↑𝑚 𝐼))
10	9	feq2d 5498	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾 ↔ 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾))
11	6, 10	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(ℕ0 ↑𝑚 𝐼)⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526  ^◡ccnv 4750   “ cima 4754  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   ↑_𝑚 cmap 6884  Fincfn 6977  ℕcn 9242  ℕ₀cn0 9501  Basecbs 13233   mPwSer cmps 14858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-of 6268  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-1o 6649  df-er 6769  df-map 6886  df-ixp 6936  df-en 6978  df-fin 6980  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-uz 9860  df-fz 10349  df-struct 13235  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-tset 13330  df-rest 13475  df-topn 13476  df-topgen 13494  df-pt 13495  df-psr 14860

This theorem is referenced by:  mplsubgfilemcl  14903  mplsubgfileminv  14904