Theorem psrbagfi 14935

Description: A finite index set gives a simpler expression for finite bags. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagfi	|- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. 2 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		elmapi 6917	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> f : I --> NN0 )
3	2	fdmd 5520	. . . . . . 7 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> dom f = I )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> dom f = I )
5		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> I e. Fin )
6	4, 5	eqeltrd 2311	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> dom f e. Fin )
7		cnvimass 5130	. . . . . 6 |- ( `' f " NN ) C_ dom f
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( `' f " NN ) C_ dom f )
9	2	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> f : I --> NN0 )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> x e. dom f )
11	3	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> dom f = I )
12	10, 11	eleqtrd 2313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> x e. I )
13	9, 12	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( f ` x ) e. NN0 )
14	13	nn0zd 9716	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( f ` x ) e. ZZ )
15		elnndc 9962	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` x ) e. ZZ -> DECID ( f ` x ) e. NN )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> DECID ( f ` x ) e. NN )
17		elmapfn 6918	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> f Fn I )
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> f Fn I )
19		elpreima 5802	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn I -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( x e. I /\ ( f ` x ) e. NN ) ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( x e. I /\ ( f ` x ) e. NN ) ) )
21	12, 20	mpbirand 441	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( f ` x ) e. NN ) )
22	21	dcbid 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> (DECID x e. ( `' f " NN ) <-> DECID ( f ` x ) e. NN ) )
23	16, 22	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> DECID x e. ( `' f " NN ) )
24	23	ralrimiva 2617	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> A. x e. dom fDECID x e. ( `' f " NN ) )
25		ssfidc 7211	. . . . 5 |- ( ( dom f e. Fin /\ ( `' f " NN ) C_ dom f /\ A. x e. dom fDECID x e. ( `' f " NN ) ) -> ( `' f " NN ) e. Fin )
26	6, 8, 24, 25	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( `' f " NN ) e. Fin )
27	26	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( I e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m I ) ( `' f " NN ) e. Fin )
28		rabid2 2723	. . 3 |- ( ( NN0 ^m I ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } <-> A. f e. ( NN0 ^m I ) ( `' f " NN ) e. Fin )
29	27, 28	sylibr 134	. 2 |- ( I e. Fin -> ( NN0 ^m I ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
30	1, 29	eqtr4id 2286	1 |- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   C_ wss 3214   `'ccnv 4753   dom cdm 4754   "cima 4757   Fn wfn 5352   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   ^m cmap 6895   Fincfn 6988   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1o 6660  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872

This theorem is referenced by:  psrbagaddclfi  14937  psrelbasfi  14943  mplsubgfilemm  14965  mpl0fi  14969