Theorem psrbagfi 14658

Description: A finite index set gives a simpler expression for finite bags. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagfi	|- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. 2 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		elmapi 6830	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> f : I --> NN0 )
3	2	fdmd 5483	. . . . . . 7 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> dom f = I )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> dom f = I )
5		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> I e. Fin )
6	4, 5	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> dom f e. Fin )
7		cnvimass 5094	. . . . . 6 |- ( `' f " NN ) C_ dom f
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( `' f " NN ) C_ dom f )
9	2	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> f : I --> NN0 )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> x e. dom f )
11	3	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> dom f = I )
12	10, 11	eleqtrd 2308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> x e. I )
13	9, 12	ffvelcdmd 5776	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( f ` x ) e. NN0 )
14	13	nn0zd 9583	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( f ` x ) e. ZZ )
15		elnndc 9824	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` x ) e. ZZ -> DECID ( f ` x ) e. NN )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> DECID ( f ` x ) e. NN )
17		elmapfn 6831	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> f Fn I )
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> f Fn I )
19		elpreima 5759	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn I -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( x e. I /\ ( f ` x ) e. NN ) ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( x e. I /\ ( f ` x ) e. NN ) ) )
21	12, 20	mpbirand 441	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( f ` x ) e. NN ) )
22	21	dcbid 843	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> (DECID x e. ( `' f " NN ) <-> DECID ( f ` x ) e. NN ) )
23	16, 22	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> DECID x e. ( `' f " NN ) )
24	23	ralrimiva 2603	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> A. x e. dom fDECID x e. ( `' f " NN ) )
25		ssfidc 7115	. . . . 5 |- ( ( dom f e. Fin /\ ( `' f " NN ) C_ dom f /\ A. x e. dom fDECID x e. ( `' f " NN ) ) -> ( `' f " NN ) e. Fin )
26	6, 8, 24, 25	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( `' f " NN ) e. Fin )
27	26	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( I e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m I ) ( `' f " NN ) e. Fin )
28		rabid2 2708	. . 3 |- ( ( NN0 ^m I ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } <-> A. f e. ( NN0 ^m I ) ( `' f " NN ) e. Fin )
29	27, 28	sylibr 134	. 2 |- ( I e. Fin -> ( NN0 ^m I ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
30	1, 29	eqtr4id 2281	1 |- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   C_ wss 3197   `'ccnv 4719   dom cdm 4720   "cima 4723   Fn wfn 5316   -->wf 5317   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   ^m cmap 6808   Fincfn 6900   NNcn 9126   NN0cn0 9385   ZZcz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1o 6573  df-er 6693  df-map 6810  df-en 6901  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739

This theorem is referenced by:  psrelbasfi  14661  mplsubgfilemm  14683  mpl0fi  14687