Theorem psrbagfi 14510

Description: A finite index set gives a simpler expression for finite bags. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagfi	|- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. 2 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		elmapi 6770	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> f : I --> NN0 )
3	2	fdmd 5442	. . . . . . 7 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> dom f = I )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> dom f = I )
5		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> I e. Fin )
6	4, 5	eqeltrd 2283	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> dom f e. Fin )
7		cnvimass 5054	. . . . . 6 |- ( `' f " NN ) C_ dom f
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( `' f " NN ) C_ dom f )
9	2	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> f : I --> NN0 )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> x e. dom f )
11	3	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> dom f = I )
12	10, 11	eleqtrd 2285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> x e. I )
13	9, 12	ffvelcdmd 5729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( f ` x ) e. NN0 )
14	13	nn0zd 9513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( f ` x ) e. ZZ )
15		elnndc 9753	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` x ) e. ZZ -> DECID ( f ` x ) e. NN )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> DECID ( f ` x ) e. NN )
17		elmapfn 6771	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> f Fn I )
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> f Fn I )
19		elpreima 5712	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn I -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( x e. I /\ ( f ` x ) e. NN ) ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( x e. I /\ ( f ` x ) e. NN ) ) )
21	12, 20	mpbirand 441	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( f ` x ) e. NN ) )
22	21	dcbid 840	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> (DECID x e. ( `' f " NN ) <-> DECID ( f ` x ) e. NN ) )
23	16, 22	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> DECID x e. ( `' f " NN ) )
24	23	ralrimiva 2580	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> A. x e. dom fDECID x e. ( `' f " NN ) )
25		ssfidc 7049	. . . . 5 |- ( ( dom f e. Fin /\ ( `' f " NN ) C_ dom f /\ A. x e. dom fDECID x e. ( `' f " NN ) ) -> ( `' f " NN ) e. Fin )
26	6, 8, 24, 25	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( `' f " NN ) e. Fin )
27	26	ralrimiva 2580	. . 3 |- ( I e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m I ) ( `' f " NN ) e. Fin )
28		rabid2 2684	. . 3 |- ( ( NN0 ^m I ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } <-> A. f e. ( NN0 ^m I ) ( `' f " NN ) e. Fin )
29	27, 28	sylibr 134	. 2 |- ( I e. Fin -> ( NN0 ^m I ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
30	1, 29	eqtr4id 2258	1 |- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   {crab 2489   C_ wss 3170   `'ccnv 4682   dom cdm 4683   "cima 4686   Fn wfn 5275   -->wf 5276   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   ^m cmap 6748   Fincfn 6840   NNcn 9056   NN0cn0 9315   ZZcz 9392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1o 6515  df-er 6633  df-map 6750  df-en 6841  df-fin 6843  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669

This theorem is referenced by:  psrelbasfi  14513  mplsubgfilemm  14535  mpl0fi  14539