Theorem psrbagfi 14815

Description: A finite index set gives a simpler expression for finite bags. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagfi	|- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. 2 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		elmapi 6903	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> f : I --> NN0 )
3	2	fdmd 5514	. . . . . . 7 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> dom f = I )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> dom f = I )
5		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> I e. Fin )
6	4, 5	eqeltrd 2309	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> dom f e. Fin )
7		cnvimass 5124	. . . . . 6 |- ( `' f " NN ) C_ dom f
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( `' f " NN ) C_ dom f )
9	2	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> f : I --> NN0 )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> x e. dom f )
11	3	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> dom f = I )
12	10, 11	eleqtrd 2311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> x e. I )
13	9, 12	ffvelcdmd 5812	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( f ` x ) e. NN0 )
14	13	nn0zd 9697	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( f ` x ) e. ZZ )
15		elnndc 9943	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` x ) e. ZZ -> DECID ( f ` x ) e. NN )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> DECID ( f ` x ) e. NN )
17		elmapfn 6904	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> f Fn I )
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> f Fn I )
19		elpreima 5796	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn I -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( x e. I /\ ( f ` x ) e. NN ) ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( x e. I /\ ( f ` x ) e. NN ) ) )
21	12, 20	mpbirand 441	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( f ` x ) e. NN ) )
22	21	dcbid 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> (DECID x e. ( `' f " NN ) <-> DECID ( f ` x ) e. NN ) )
23	16, 22	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> DECID x e. ( `' f " NN ) )
24	23	ralrimiva 2615	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> A. x e. dom fDECID x e. ( `' f " NN ) )
25		ssfidc 7197	. . . . 5 |- ( ( dom f e. Fin /\ ( `' f " NN ) C_ dom f /\ A. x e. dom fDECID x e. ( `' f " NN ) ) -> ( `' f " NN ) e. Fin )
26	6, 8, 24, 25	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( `' f " NN ) e. Fin )
27	26	ralrimiva 2615	. . 3 |- ( I e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m I ) ( `' f " NN ) e. Fin )
28		rabid2 2720	. . 3 |- ( ( NN0 ^m I ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } <-> A. f e. ( NN0 ^m I ) ( `' f " NN ) e. Fin )
29	27, 28	sylibr 134	. 2 |- ( I e. Fin -> ( NN0 ^m I ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
30	1, 29	eqtr4id 2284	1 |- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   {crab 2524   C_ wss 3210   `'ccnv 4747   dom cdm 4748   "cima 4751   Fn wfn 5346   -->wf 5347   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   ^m cmap 6881   Fincfn 6974   NNcn 9236   NN0cn0 9495   ZZcz 9576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1o 6646  df-er 6766  df-map 6883  df-en 6975  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853

This theorem is referenced by:  psrbagaddclfi  14817  psrelbasfi  14823  mplsubgfilemm  14845  mpl0fi  14849