Theorem psrbagfi 14750

Description: A finite index set gives a simpler expression for finite bags. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagfi	|- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hint:   D( f)

Proof of Theorem psrbagfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbag.d	. 2 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
2		elmapi 6882	. . . . . . . 8 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> f : I --> NN0 )
3	2	fdmd 5496	. . . . . . 7 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> dom f = I )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> dom f = I )
5		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> I e. Fin )
6	4, 5	eqeltrd 2308	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> dom f e. Fin )
7		cnvimass 5106	. . . . . 6 |- ( `' f " NN ) C_ dom f
8	7	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( `' f " NN ) C_ dom f )
9	2	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> f : I --> NN0 )
10		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> x e. dom f )
11	3	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> dom f = I )
12	10, 11	eleqtrd 2310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> x e. I )
13	9, 12	ffvelcdmd 5791	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( f ` x ) e. NN0 )
14	13	nn0zd 9643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( f ` x ) e. ZZ )
15		elnndc 9889	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` x ) e. ZZ -> DECID ( f ` x ) e. NN )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> DECID ( f ` x ) e. NN )
17		elmapfn 6883	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( NN0 ^m I ) -> f Fn I )
18	17	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> f Fn I )
19		elpreima 5775	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn I -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( x e. I /\ ( f ` x ) e. NN ) ) )
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( x e. I /\ ( f ` x ) e. NN ) ) )
21	12, 20	mpbirand 441	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> ( x e. ( `' f " NN ) <-> ( f ` x ) e. NN ) )
22	21	dcbid 846	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> (DECID x e. ( `' f " NN ) <-> DECID ( f ` x ) e. NN ) )
23	16, 22	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) /\ x e. dom f ) -> DECID x e. ( `' f " NN ) )
24	23	ralrimiva 2606	. . . . 5 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> A. x e. dom fDECID x e. ( `' f " NN ) )
25		ssfidc 7173	. . . . 5 |- ( ( dom f e. Fin /\ ( `' f " NN ) C_ dom f /\ A. x e. dom fDECID x e. ( `' f " NN ) ) -> ( `' f " NN ) e. Fin )
26	6, 8, 24, 25	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( I e. Fin /\ f e. ( NN0 ^m I ) ) -> ( `' f " NN ) e. Fin )
27	26	ralrimiva 2606	. . 3 |- ( I e. Fin -> A. f e. ( NN0 ^m I ) ( `' f " NN ) e. Fin )
28		rabid2 2711	. . 3 |- ( ( NN0 ^m I ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } <-> A. f e. ( NN0 ^m I ) ( `' f " NN ) e. Fin )
29	27, 28	sylibr 134	. 2 |- ( I e. Fin -> ( NN0 ^m I ) = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } )
30	1, 29	eqtr4id 2283	1 |- ( I e. Fin -> D = ( NN0 ^m I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   {crab 2515   C_ wss 3201   `'ccnv 4730   dom cdm 4731   "cima 4734   Fn wfn 5328   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   Fincfn 6952   NNcn 9186   NN0cn0 9445   ZZcz 9522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1o 6625  df-er 6745  df-map 6862  df-en 6953  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799

This theorem is referenced by:  psrelbasfi  14757  mplsubgfilemm  14779  mpl0fi  14783