Theorem psrbasg 14159

Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrbas.k	|- K = ( Base ` R )
psrbas.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbas.b	|- B = ( Base ` S )
psrbas.i	|- ( ph -> I e. V )
psrbasg.r	|- ( ph -> R e. W )

Assertion

Ref	Expression
psrbasg	|- ( ph -> B = ( K ^m D ) )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   K( f)   V( f)   W( f)

Proof of Theorem psrbasg

Dummy variables g h k p x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbas.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2		psrbas.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
3		eqid 2193	. . . 4 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2193	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2193	. . . 4 |- ( TopOpen ` R ) = ( TopOpen ` R )
6		psrbas.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
7		eqidd 2194	. . . 4 |- ( ph -> ( K ^m D ) = ( K ^m D ) )
8		eqid 2193	. . . 4 |- ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) = ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) )
9		eqid 2193	. . . 4 |- ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) = ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
10		eqid 2193	. . . 4 |- ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) = ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) )
11		eqidd 2194	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) = ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) )
12		psrbas.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. V )
13		psrbasg.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	psrval 14152	. . 3 |- ( ph -> S = ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
15	14	fveq2d 5558	. 2 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( Base ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
16		psrbas.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
17	16	a1i 9	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` S ) )
18		basfn 12676	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
19	13	elexd 2773	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. _V )
20		funfvex 5571	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
21	20	funfni 5354	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
22	18, 19, 21	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
23	2, 22	eqeltrid 2280	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. _V )
24		nn0ex 9246	. . . . . . . . 9 |- NN0 e. _V
25		mapvalg 6712	. . . . . . . . 9 |- ( ( NN0 e. _V /\ I e. V ) -> ( NN0 ^m I ) = { p | p : I --> NN0 } )
26	24, 12, 25	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) = { p | p : I --> NN0 } )
27	24	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> NN0 e. _V )
28		mapex 6708	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ NN0 e. _V ) -> { p | p : I --> NN0 } e. _V )
29	12, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { p | p : I --> NN0 } e. _V )
30	26, 29	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
31	6, 30	rabexd 4174	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. _V )
32		mapvalg 6712	. . . . . 6 |- ( ( K e. _V /\ D e. _V ) -> ( K ^m D ) = { p | p : D --> K } )
33	23, 31, 32	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ^m D ) = { p | p : D --> K } )
34		mapex 6708	. . . . . 6 |- ( ( D e. _V /\ K e. _V ) -> { p | p : D --> K } e. _V )
35	31, 23, 34	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> { p | p : D --> K } e. _V )
36	33, 35	eqeltrd 2270	. . . 4 |- ( ph -> ( K ^m D ) e. _V )
37	36, 36	ofmresex 6189	. . . 4 |- ( ph -> ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) e. _V )
38		mpoexga 6265	. . . . 5 |- ( ( ( K ^m D ) e. _V /\ ( K ^m D ) e. _V ) -> ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
39	36, 36, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
40		mpoexga 6265	. . . . 5 |- ( ( K e. _V /\ ( K ^m D ) e. _V ) -> ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) e. _V )
41	23, 36, 40	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) e. _V )
42		topnfn 12855	. . . . . . . 8 |- TopOpen Fn _V
43		funfvex 5571	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun TopOpen /\ R e. dom TopOpen ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
44	43	funfni 5354	. . . . . . . 8 |- ( ( TopOpen Fn _V /\ R e. _V ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
45	42, 19, 44	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
46		snexg 4213	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` R ) e. _V -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
47	45, 46	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
48		xpexg 4773	. . . . . 6 |- ( ( D e. _V /\ { ( TopOpen ` R ) } e. _V ) -> ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
49	31, 47, 48	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
50		ptex 12875	. . . . 5 |- ( ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V -> ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
51	49, 50	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
52	36, 37, 39, 13, 41, 51	psrvalstrd 14154	. . 3 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )
53		basendxnn 12674	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) e. NN
54		opexg 4257	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ ( K ^m D ) e. _V ) -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. _V )
55	53, 36, 54	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. _V )
56		tpid1g 3730	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } )
57		elun1 3326	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
58	55, 56, 57	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
59	52, 36, 58	opelstrbas 12733	. 2 |- ( ph -> ( K ^m D ) = ( Base ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
60	15, 17, 59	3eqtr4d 2236	1 |- ( ph -> B = ( K ^m D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   {cab 2179   {crab 2476   _Vcvv 2760   u. cun 3151   {csn 3618   {ctp 3620   <.cop 3621   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   X. cxp 4657   `'ccnv 4658   |` cres 4661   "cima 4662   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920   oFcof 6128   oRcofr 6129   ^m cmap 6702   Fincfn 6794   1c1 7873   <_ cle 8055   - cmin 8190   NNcn 8982   9c9 9040   NN0cn0 9240   ndxcnx 12615   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   .rcmulr 12696  Scalarcsca 12698   .scvsca 12699  TopSetcts 12701   TopOpenctopn 12851   Xt_cpt 12866   gsum_g cgsu 12868   mPwSer cmps 14149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-of 6130  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-ixp 6753  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-tset 12714  df-rest 12852  df-topn 12853  df-topgen 12871  df-pt 12872  df-psr 14150

This theorem is referenced by:  psrelbas  14160  psrplusgg  14162  psraddcl  14164