Theorem psrbasg 14303

Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrbas.k	|- K = ( Base ` R )
psrbas.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbas.b	|- B = ( Base ` S )
psrbas.i	|- ( ph -> I e. V )
psrbasg.r	|- ( ph -> R e. W )

Assertion

Ref	Expression
psrbasg	|- ( ph -> B = ( K ^m D ) )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   K( f)   V( f)   W( f)

Proof of Theorem psrbasg

Dummy variables g h k p x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbas.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2		psrbas.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
3		eqid 2196	. . . 4 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2196	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2196	. . . 4 |- ( TopOpen ` R ) = ( TopOpen ` R )
6		psrbas.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
7		eqidd 2197	. . . 4 |- ( ph -> ( K ^m D ) = ( K ^m D ) )
8		eqid 2196	. . . 4 |- ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) = ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) )
9		eqid 2196	. . . 4 |- ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) = ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
10		eqid 2196	. . . 4 |- ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) = ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) )
11		eqidd 2197	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) = ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) )
12		psrbas.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. V )
13		psrbasg.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	psrval 14296	. . 3 |- ( ph -> S = ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
15	14	fveq2d 5565	. 2 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( Base ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
16		psrbas.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
17	16	a1i 9	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` S ) )
18		basfn 12761	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
19	13	elexd 2776	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. _V )
20		funfvex 5578	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
21	20	funfni 5361	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
22	18, 19, 21	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
23	2, 22	eqeltrid 2283	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. _V )
24		nn0ex 9272	. . . . . . . . 9 |- NN0 e. _V
25		mapvalg 6726	. . . . . . . . 9 |- ( ( NN0 e. _V /\ I e. V ) -> ( NN0 ^m I ) = { p | p : I --> NN0 } )
26	24, 12, 25	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) = { p | p : I --> NN0 } )
27	24	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> NN0 e. _V )
28		mapex 6722	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ NN0 e. _V ) -> { p | p : I --> NN0 } e. _V )
29	12, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { p | p : I --> NN0 } e. _V )
30	26, 29	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
31	6, 30	rabexd 4179	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. _V )
32		mapvalg 6726	. . . . . 6 |- ( ( K e. _V /\ D e. _V ) -> ( K ^m D ) = { p | p : D --> K } )
33	23, 31, 32	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ^m D ) = { p | p : D --> K } )
34		mapex 6722	. . . . . 6 |- ( ( D e. _V /\ K e. _V ) -> { p | p : D --> K } e. _V )
35	31, 23, 34	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> { p | p : D --> K } e. _V )
36	33, 35	eqeltrd 2273	. . . 4 |- ( ph -> ( K ^m D ) e. _V )
37	36, 36	ofmresex 6203	. . . 4 |- ( ph -> ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) e. _V )
38		mpoexga 6279	. . . . 5 |- ( ( ( K ^m D ) e. _V /\ ( K ^m D ) e. _V ) -> ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
39	36, 36, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
40		mpoexga 6279	. . . . 5 |- ( ( K e. _V /\ ( K ^m D ) e. _V ) -> ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) e. _V )
41	23, 36, 40	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) e. _V )
42		topnfn 12946	. . . . . . . 8 |- TopOpen Fn _V
43		funfvex 5578	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun TopOpen /\ R e. dom TopOpen ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
44	43	funfni 5361	. . . . . . . 8 |- ( ( TopOpen Fn _V /\ R e. _V ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
45	42, 19, 44	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
46		snexg 4218	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` R ) e. _V -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
47	45, 46	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
48		xpexg 4778	. . . . . 6 |- ( ( D e. _V /\ { ( TopOpen ` R ) } e. _V ) -> ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
49	31, 47, 48	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
50		ptex 12966	. . . . 5 |- ( ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V -> ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
51	49, 50	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
52	36, 37, 39, 13, 41, 51	psrvalstrd 14298	. . 3 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )
53		basendxnn 12759	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) e. NN
54		opexg 4262	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ ( K ^m D ) e. _V ) -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. _V )
55	53, 36, 54	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. _V )
56		tpid1g 3735	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } )
57		elun1 3331	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
58	55, 56, 57	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
59	52, 36, 58	opelstrbas 12818	. 2 |- ( ph -> ( K ^m D ) = ( Base ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
60	15, 17, 59	3eqtr4d 2239	1 |- ( ph -> B = ( K ^m D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   {cab 2182   {crab 2479   _Vcvv 2763   u. cun 3155   {csn 3623   {ctp 3625   <.cop 3626   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   X. cxp 4662   `'ccnv 4663   |` cres 4666   "cima 4667   Fn wfn 5254   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927   oFcof 6137   oRcofr 6138   ^m cmap 6716   Fincfn 6808   1c1 7897   <_ cle 8079   - cmin 8214   NNcn 9007   9c9 9065   NN0cn0 9266   ndxcnx 12700   Basecbs 12703   +g cplusg 12780   .rcmulr 12781  Scalarcsca 12783   .scvsca 12784  TopSetcts 12786   TopOpenctopn 12942   Xt_cpt 12957   gsum_g cgsu 12959   mPwSer cmps 14293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-ixp 6767  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-fz 10101  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-tset 12799  df-rest 12943  df-topn 12944  df-topgen 12962  df-pt 12963  df-psr 14294

This theorem is referenced by:  psrelbas  14304  psrplusgg  14306  psraddcl  14308  psr0cl  14309  psrnegcl  14311  psrgrp  14313  psr1clfi  14316