Theorem psrbasg 14378

Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrbas.k	|- K = ( Base ` R )
psrbas.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbas.b	|- B = ( Base ` S )
psrbas.i	|- ( ph -> I e. V )
psrbasg.r	|- ( ph -> R e. W )

Assertion

Ref	Expression
psrbasg	|- ( ph -> B = ( K ^m D ) )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   K( f)   V( f)   W( f)

Proof of Theorem psrbasg

Dummy variables g h k p x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbas.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2		psrbas.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
3		eqid 2204	. . . 4 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2204	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2204	. . . 4 |- ( TopOpen ` R ) = ( TopOpen ` R )
6		psrbas.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
7		eqidd 2205	. . . 4 |- ( ph -> ( K ^m D ) = ( K ^m D ) )
8		eqid 2204	. . . 4 |- ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) = ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) )
9		eqid 2204	. . . 4 |- ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) = ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
10		eqid 2204	. . . 4 |- ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) = ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) )
11		eqidd 2205	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) = ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) )
12		psrbas.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. V )
13		psrbasg.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	psrval 14370	. . 3 |- ( ph -> S = ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
15	14	fveq2d 5579	. 2 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( Base ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
16		psrbas.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
17	16	a1i 9	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` S ) )
18		basfn 12832	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
19	13	elexd 2784	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. _V )
20		funfvex 5592	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
21	20	funfni 5375	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
22	18, 19, 21	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
23	2, 22	eqeltrid 2291	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. _V )
24		nn0ex 9300	. . . . . . . . 9 |- NN0 e. _V
25		mapvalg 6744	. . . . . . . . 9 |- ( ( NN0 e. _V /\ I e. V ) -> ( NN0 ^m I ) = { p | p : I --> NN0 } )
26	24, 12, 25	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) = { p | p : I --> NN0 } )
27	24	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> NN0 e. _V )
28		mapex 6740	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ NN0 e. _V ) -> { p | p : I --> NN0 } e. _V )
29	12, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { p | p : I --> NN0 } e. _V )
30	26, 29	eqeltrd 2281	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
31	6, 30	rabexd 4188	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. _V )
32		mapvalg 6744	. . . . . 6 |- ( ( K e. _V /\ D e. _V ) -> ( K ^m D ) = { p | p : D --> K } )
33	23, 31, 32	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ^m D ) = { p | p : D --> K } )
34		mapex 6740	. . . . . 6 |- ( ( D e. _V /\ K e. _V ) -> { p | p : D --> K } e. _V )
35	31, 23, 34	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> { p | p : D --> K } e. _V )
36	33, 35	eqeltrd 2281	. . . 4 |- ( ph -> ( K ^m D ) e. _V )
37	36, 36	ofmresex 6221	. . . 4 |- ( ph -> ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) e. _V )
38		mpoexga 6297	. . . . 5 |- ( ( ( K ^m D ) e. _V /\ ( K ^m D ) e. _V ) -> ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
39	36, 36, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
40		mpoexga 6297	. . . . 5 |- ( ( K e. _V /\ ( K ^m D ) e. _V ) -> ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) e. _V )
41	23, 36, 40	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) e. _V )
42		topnfn 13018	. . . . . . . 8 |- TopOpen Fn _V
43		funfvex 5592	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun TopOpen /\ R e. dom TopOpen ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
44	43	funfni 5375	. . . . . . . 8 |- ( ( TopOpen Fn _V /\ R e. _V ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
45	42, 19, 44	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
46		snexg 4227	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` R ) e. _V -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
47	45, 46	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
48		xpexg 4788	. . . . . 6 |- ( ( D e. _V /\ { ( TopOpen ` R ) } e. _V ) -> ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
49	31, 47, 48	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
50		ptex 13038	. . . . 5 |- ( ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V -> ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
51	49, 50	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
52	36, 37, 39, 13, 41, 51	psrvalstrd 14372	. . 3 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )
53		basendxnn 12830	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) e. NN
54		opexg 4271	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ ( K ^m D ) e. _V ) -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. _V )
55	53, 36, 54	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. _V )
56		tpid1g 3744	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } )
57		elun1 3339	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
58	55, 56, 57	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
59	52, 36, 58	opelstrbas 12889	. 2 |- ( ph -> ( K ^m D ) = ( Base ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
60	15, 17, 59	3eqtr4d 2247	1 |- ( ph -> B = ( K ^m D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1372   e. wcel 2175   {cab 2190   {crab 2487   _Vcvv 2771   u. cun 3163   {csn 3632   {ctp 3634   <.cop 3635   class class class wbr 4043   |-> cmpt 4104   X. cxp 4672   `'ccnv 4673   |` cres 4676   "cima 4677   Fn wfn 5265   -->wf 5266   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   e. cmpo 5945   oFcof 6155   oRcofr 6156   ^m cmap 6734   Fincfn 6826   1c1 7925   <_ cle 8107   - cmin 8242   NNcn 9035   9c9 9093   NN0cn0 9294   ndxcnx 12771   Basecbs 12774   +g cplusg 12851   .rcmulr 12852  Scalarcsca 12854   .scvsca 12855  TopSetcts 12857   TopOpenctopn 13014   Xt_cpt 13029   gsum_g cgsu 13031   mPwSer cmps 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-tp 3640  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-of 6157  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-map 6736  df-ixp 6785  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-fz 10130  df-struct 12776  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-plusg 12864  df-mulr 12865  df-sca 12867  df-vsca 12868  df-tset 12870  df-rest 13015  df-topn 13016  df-topgen 13034  df-pt 13035  df-psr 14367

This theorem is referenced by:  psrelbas  14379  psrplusgg  14382  psraddcl  14384  psr0cl  14385  psrnegcl  14387  psrgrp  14389  psr1clfi  14392