Theorem psrbasg 14758

Description: The base set of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 8-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbas.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrbas.k	|- K = ( Base ` R )
psrbas.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
psrbas.b	|- B = ( Base ` S )
psrbas.i	|- ( ph -> I e. V )
psrbasg.r	|- ( ph -> R e. W )

Assertion

Ref	Expression
psrbasg	|- ( ph -> B = ( K ^m D ) )

Distinct variable group:   f, I

Allowed substitution hints:   ph( f)   B( f)   D( f)   R( f)   S( f)   K( f)   V( f)   W( f)

Proof of Theorem psrbasg

Dummy variables g h k p x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrbas.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2		psrbas.k	. . . 4 |- K = ( Base ` R )
3		eqid 2231	. . . 4 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
4		eqid 2231	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2231	. . . 4 |- ( TopOpen ` R ) = ( TopOpen ` R )
6		psrbas.d	. . . 4 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
7		eqidd 2232	. . . 4 |- ( ph -> ( K ^m D ) = ( K ^m D ) )
8		eqid 2231	. . . 4 |- ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) = ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) )
9		eqid 2231	. . . 4 |- ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) = ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
10		eqid 2231	. . . 4 |- ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) = ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) )
11		eqidd 2232	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) = ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) )
12		psrbas.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. V )
13		psrbasg.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. W )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	psrval 14745	. . 3 |- ( ph -> S = ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
15	14	fveq2d 5652	. 2 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( Base ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
16		psrbas.b	. . 3 |- B = ( Base ` S )
17	16	a1i 9	. 2 |- ( ph -> B = ( Base ` S ) )
18		basfn 13204	. . . . . . . 8 |- Base Fn _V
19	13	elexd 2817	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. _V )
20		funfvex 5665	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
21	20	funfni 5439	. . . . . . . 8 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
22	18, 19, 21	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Base ` R ) e. _V )
23	2, 22	eqeltrid 2318	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. _V )
24		nn0ex 9450	. . . . . . . . 9 |- NN0 e. _V
25		mapvalg 6870	. . . . . . . . 9 |- ( ( NN0 e. _V /\ I e. V ) -> ( NN0 ^m I ) = { p | p : I --> NN0 } )
26	24, 12, 25	sylancr 414	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) = { p | p : I --> NN0 } )
27	24	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> NN0 e. _V )
28		mapex 6866	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ NN0 e. _V ) -> { p | p : I --> NN0 } e. _V )
29	12, 27, 28	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { p | p : I --> NN0 } e. _V )
30	26, 29	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
31	6, 30	rabexd 4240	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. _V )
32		mapvalg 6870	. . . . . 6 |- ( ( K e. _V /\ D e. _V ) -> ( K ^m D ) = { p | p : D --> K } )
33	23, 31, 32	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( K ^m D ) = { p | p : D --> K } )
34		mapex 6866	. . . . . 6 |- ( ( D e. _V /\ K e. _V ) -> { p | p : D --> K } e. _V )
35	31, 23, 34	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> { p | p : D --> K } e. _V )
36	33, 35	eqeltrd 2308	. . . 4 |- ( ph -> ( K ^m D ) e. _V )
37	36, 36	ofmresex 6308	. . . 4 |- ( ph -> ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) e. _V )
38		mpoexga 6386	. . . . 5 |- ( ( ( K ^m D ) e. _V /\ ( K ^m D ) e. _V ) -> ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
39	36, 36, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
40		mpoexga 6386	. . . . 5 |- ( ( K e. _V /\ ( K ^m D ) e. _V ) -> ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) e. _V )
41	23, 36, 40	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) e. _V )
42		topnfn 13390	. . . . . . . 8 |- TopOpen Fn _V
43		funfvex 5665	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun TopOpen /\ R e. dom TopOpen ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
44	43	funfni 5439	. . . . . . . 8 |- ( ( TopOpen Fn _V /\ R e. _V ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
45	42, 19, 44	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
46		snexg 4280	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` R ) e. _V -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
47	45, 46	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
48		xpexg 4846	. . . . . 6 |- ( ( D e. _V /\ { ( TopOpen ` R ) } e. _V ) -> ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
49	31, 47, 48	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
50		ptex 13410	. . . . 5 |- ( ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V -> ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
51	49, 50	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
52	36, 37, 39, 13, 41, 51	psrvalstrd 14747	. . 3 |- ( ph -> ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )
53		basendxnn 13201	. . . . 5 |- ( Base ` ndx ) e. NN
54		opexg 4326	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` ndx ) e. NN /\ ( K ^m D ) e. _V ) -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. _V )
55	53, 36, 54	sylancr 414	. . . 4 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. _V )
56		tpid1g 3788	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. _V -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } )
57		elun1 3376	. . . 4 |- ( <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
58	55, 56, 57	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
59	52, 36, 58	opelstrbas 13261	. 2 |- ( ph -> ( K ^m D ) = ( Base ` ( { <. ( Base ` ndx ) , ( K ^m D ) >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF ( +g ` R ) |` ( ( K ^m D ) X. ( K ^m D ) ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( g e. ( K ^m D ) , h e. ( K ^m D ) |-> ( k e. D |-> ( R gsumg ( x e. { y e. D | y oR <_ k } |-> ( ( g ` x ) ( .r ` R ) ( h ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. K , g e. ( K ^m D ) |-> ( ( D X. { x } ) oF ( .r ` R ) g ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( D X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
60	15, 17, 59	3eqtr4d 2274	1 |- ( ph -> B = ( K ^m D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   {cab 2217   {crab 2515   _Vcvv 2803   u. cun 3199   {csn 3673   {ctp 3675   <.cop 3676   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   X. cxp 4729   `'ccnv 4730   |` cres 4733   "cima 4734   Fn wfn 5328   -->wf 5329   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   oFcof 6242   oRcofr 6243   ^m cmap 6860   Fincfn 6952   1c1 8076   <_ cle 8257   - cmin 8392   NNcn 9185   9c9 9243   NN0cn0 9444   ndxcnx 13142   Basecbs 13145   +g cplusg 13223   .rcmulr 13224  Scalarcsca 13226   .scvsca 13227  TopSetcts 13229   TopOpenctopn 13386   Xt_cpt 13401   gsum_g cgsu 13403   mPwSer cmps 14740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-map 6862  df-ixp 6911  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-fz 10289  df-struct 13147  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-tset 13242  df-rest 13387  df-topn 13388  df-topgen 13406  df-pt 13407  df-psr 14742

This theorem is referenced by:  psrelbas  14759  psrplusgg  14762  psraddcl  14764  psr0cl  14765  psrnegcl  14767  psrgrp  14769  psr1clfi  14772