Theorem psrplusgg 14691

Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusg.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrplusg.b	|- B = ( Base ` S )
psrplusg.a	|- .+ = ( +g ` R )
psrplusg.p	|- .+b = ( +g ` S )

Assertion

Ref	Expression
psrplusgg	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )

Proof of Theorem psrplusgg

Dummy variables f g k x h y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrplusg.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2		eqid 2231	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		psrplusg.a	. . . 4 |- .+ = ( +g ` R )
4		eqid 2231	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2231	. . . 4 |- ( TopOpen ` R ) = ( TopOpen ` R )
6		eqid 2231	. . . 4 |- { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
7		psrplusg.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> I e. V )
9		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> R e. W )
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	psrbasg 14687	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> B = ( ( Base ` R ) ^m { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) )
11		eqid 2231	. . . 4 |- ( oF .+ |` ( B X. B ) ) = ( oF .+ |` ( B X. B ) )
12		eqid 2231	. . . 4 |- ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
13		eqid 2231	. . . 4 |- ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) = ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) )
14		eqidd 2232	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) = ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 8, 9	psrval 14679	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> S = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
16	15	fveq2d 5643	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
17		psrplusg.p	. . 3 |- .+b = ( +g ` S )
18	17	a1i 9	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+b = ( +g ` S ) )
19		plusgslid 13194	. . 3 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
20		basfn 13140	. . . . . 6 |- Base Fn _V
21		fnpsr 14680	. . . . . . . 8 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
22	8	elexd 2816	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> I e. _V )
23	9	elexd 2816	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> R e. _V )
24		fnovex 6050	. . . . . . . 8 |- ( ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
25	21, 22, 23, 24	mp3an2i 1378	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
26	1, 25	eqeltrid 2318	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> S e. _V )
27		funfvex 5656	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
28	27	funfni 5432	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
29	20, 26, 28	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Base ` S ) e. _V )
30	7, 29	eqeltrid 2318	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> B e. _V )
31	30, 30	ofmresex 6298	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( oF .+ |` ( B X. B ) ) e. _V )
32		mpoexga 6376	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ B e. _V ) -> ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
33	30, 30, 32	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
34		funfvex 5656	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
35	34	funfni 5432	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
36	20, 23, 35	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Base ` R ) e. _V )
37		mpoexga 6376	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` R ) e. _V /\ B e. _V ) -> ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) e. _V )
38	36, 30, 37	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) e. _V )
39		fnmap 6823	. . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
40		nn0ex 9407	. . . . . . . . 9 |- NN0 e. _V
41	40	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> NN0 e. _V )
42		fnovex 6050	. . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
43	39, 41, 22, 42	mp3an2i 1378	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
44		rabexg 4233	. . . . . . 7 |- ( ( NN0 ^m I ) e. _V -> { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V )
45	43, 44	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V )
46		topnfn 13326	. . . . . . . 8 |- TopOpen Fn _V
47		funfvex 5656	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun TopOpen /\ R e. dom TopOpen ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
48	47	funfni 5432	. . . . . . . 8 |- ( ( TopOpen Fn _V /\ R e. _V ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
49	46, 23, 48	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
50		snexg 4274	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` R ) e. _V -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
51	49, 50	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
52		xpexg 4840	. . . . . 6 |- ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V /\ { ( TopOpen ` R ) } e. _V ) -> ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
53	45, 51, 52	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
54		ptex 13346	. . . . 5 |- ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V -> ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
55	53, 54	syl 14	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
56	30, 31, 33, 9, 38, 55	psrvalstrd 14681	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )
57		plusgndxnn 13193	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
58		opexg 4320	. . . . 5 |- ( ( ( +g ` ndx ) e. NN /\ ( oF .+ |` ( B X. B ) ) e. _V ) -> <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. _V )
59	57, 31, 58	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. _V )
60		snsstp2 3824	. . . . . 6 |- { <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. }
61		ssun1 3370	. . . . . 6 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } )
62	60, 61	sstri 3236	. . . . 5 |- { <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } )
63		snssg 3807	. . . . 5 |- ( <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. _V -> ( <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) <-> { <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
64	62, 63	mpbiri 168	. . . 4 |- ( <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. _V -> <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
65	59, 64	syl 14	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
66	19, 56, 31, 65	opelstrsl 13196	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( oF .+ |` ( B X. B ) ) = ( +g ` ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
67	16, 18, 66	3eqtr4d 2274	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   _Vcvv 2802   u. cun 3198   C_ wss 3200   {csn 3669   {ctp 3671   <.cop 3672   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   X. cxp 4723   `'ccnv 4724   |` cres 4727   "cima 4728   Fn wfn 5321   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019   oFcof 6232   oRcofr 6233   ^m cmap 6816   Fincfn 6908   1c1 8032   <_ cle 8214   - cmin 8349   NNcn 9142   9c9 9200   NN0cn0 9401   ndxcnx 13078   Basecbs 13081   +g cplusg 13159   .rcmulr 13160  Scalarcsca 13162   .scvsca 13163  TopSetcts 13165   TopOpenctopn 13322   Xt_cpt 13337   gsum_g cgsu 13339   mPwSer cmps 14674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-of 6234  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-map 6818  df-ixp 6867  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-fz 10243  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-tset 13178  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13342  df-pt 13343  df-psr 14676

This theorem is referenced by:  psradd  14692