Theorem psrplusgg 14525

Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusg.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrplusg.b	|- B = ( Base ` S )
psrplusg.a	|- .+ = ( +g ` R )
psrplusg.p	|- .+b = ( +g ` S )

Assertion

Ref	Expression
psrplusgg	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )

Proof of Theorem psrplusgg

Dummy variables f g k x h y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrplusg.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2		eqid 2206	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		psrplusg.a	. . . 4 |- .+ = ( +g ` R )
4		eqid 2206	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2206	. . . 4 |- ( TopOpen ` R ) = ( TopOpen ` R )
6		eqid 2206	. . . 4 |- { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
7		psrplusg.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> I e. V )
9		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> R e. W )
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	psrbasg 14521	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> B = ( ( Base ` R ) ^m { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) )
11		eqid 2206	. . . 4 |- ( oF .+ |` ( B X. B ) ) = ( oF .+ |` ( B X. B ) )
12		eqid 2206	. . . 4 |- ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
13		eqid 2206	. . . 4 |- ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) = ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) )
14		eqidd 2207	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) = ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 8, 9	psrval 14513	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> S = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
16	15	fveq2d 5598	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
17		psrplusg.p	. . 3 |- .+b = ( +g ` S )
18	17	a1i 9	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+b = ( +g ` S ) )
19		plusgslid 13029	. . 3 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
20		basfn 12975	. . . . . 6 |- Base Fn _V
21		fnpsr 14514	. . . . . . . 8 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
22	8	elexd 2787	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> I e. _V )
23	9	elexd 2787	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> R e. _V )
24		fnovex 5995	. . . . . . . 8 |- ( ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
25	21, 22, 23, 24	mp3an2i 1355	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
26	1, 25	eqeltrid 2293	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> S e. _V )
27		funfvex 5611	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
28	27	funfni 5390	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
29	20, 26, 28	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Base ` S ) e. _V )
30	7, 29	eqeltrid 2293	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> B e. _V )
31	30, 30	ofmresex 6240	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( oF .+ |` ( B X. B ) ) e. _V )
32		mpoexga 6316	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ B e. _V ) -> ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
33	30, 30, 32	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
34		funfvex 5611	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
35	34	funfni 5390	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
36	20, 23, 35	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Base ` R ) e. _V )
37		mpoexga 6316	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` R ) e. _V /\ B e. _V ) -> ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) e. _V )
38	36, 30, 37	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) e. _V )
39		fnmap 6760	. . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
40		nn0ex 9331	. . . . . . . . 9 |- NN0 e. _V
41	40	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> NN0 e. _V )
42		fnovex 5995	. . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
43	39, 41, 22, 42	mp3an2i 1355	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
44		rabexg 4198	. . . . . . 7 |- ( ( NN0 ^m I ) e. _V -> { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V )
45	43, 44	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V )
46		topnfn 13161	. . . . . . . 8 |- TopOpen Fn _V
47		funfvex 5611	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun TopOpen /\ R e. dom TopOpen ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
48	47	funfni 5390	. . . . . . . 8 |- ( ( TopOpen Fn _V /\ R e. _V ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
49	46, 23, 48	sylancr 414	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
50		snexg 4239	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` R ) e. _V -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
51	49, 50	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
52		xpexg 4802	. . . . . 6 |- ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V /\ { ( TopOpen ` R ) } e. _V ) -> ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
53	45, 51, 52	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
54		ptex 13181	. . . . 5 |- ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V -> ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
55	53, 54	syl 14	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
56	30, 31, 33, 9, 38, 55	psrvalstrd 14515	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )
57		plusgndxnn 13028	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
58		opexg 4285	. . . . 5 |- ( ( ( +g ` ndx ) e. NN /\ ( oF .+ |` ( B X. B ) ) e. _V ) -> <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. _V )
59	57, 31, 58	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. _V )
60		snsstp2 3790	. . . . . 6 |- { <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. }
61		ssun1 3340	. . . . . 6 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } )
62	60, 61	sstri 3206	. . . . 5 |- { <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } )
63		snssg 3773	. . . . 5 |- ( <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. _V -> ( <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) <-> { <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
64	62, 63	mpbiri 168	. . . 4 |- ( <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. _V -> <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
65	59, 64	syl 14	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
66	19, 56, 31, 65	opelstrsl 13031	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( oF .+ |` ( B X. B ) ) = ( +g ` ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
67	16, 18, 66	3eqtr4d 2249	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   {crab 2489   _Vcvv 2773   u. cun 3168   C_ wss 3170   {csn 3638   {ctp 3640   <.cop 3641   class class class wbr 4054   |-> cmpt 4116   X. cxp 4686   `'ccnv 4687   |` cres 4690   "cima 4691   Fn wfn 5280   ` cfv 5285  (class class class)co 5962   e. cmpo 5964   oFcof 6174   oRcofr 6175   ^m cmap 6753   Fincfn 6845   1c1 7956   <_ cle 8138   - cmin 8273   NNcn 9066   9c9 9124   NN0cn0 9325   ndxcnx 12914   Basecbs 12917   +g cplusg 12994   .rcmulr 12995  Scalarcsca 12997   .scvsca 12998  TopSetcts 13000   TopOpenctopn 13157   Xt_cpt 13172   gsum_g cgsu 13174   mPwSer cmps 14508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-tp 3646  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-of 6176  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-map 6755  df-ixp 6804  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-7 9130  df-8 9131  df-9 9132  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-fz 10161  df-struct 12919  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-plusg 13007  df-mulr 13008  df-sca 13010  df-vsca 13011  df-tset 13013  df-rest 13158  df-topn 13159  df-topgen 13177  df-pt 13178  df-psr 14510

This theorem is referenced by:  psradd  14526