Theorem psrplusgg 14992

Description: The addition operation of the multivariate power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusg.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrplusg.b	|- B = ( Base ` S )
psrplusg.a	|- .+ = ( +g ` R )
psrplusg.p	|- .+b = ( +g ` S )

Assertion

Ref	Expression
psrplusgg	|- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )

Proof of Theorem psrplusgg

Dummy variables f g k x h y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrplusg.s	. . . 4 |- S = ( I mPwSer R )
2		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		psrplusg.a	. . . 4 |- .+ = ( +g ` R )
4		eqid 2238	. . . 4 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2238	. . . 4 |- ( TopOpen ` R ) = ( TopOpen ` R )
6		eqid 2238	. . . 4 |- { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin }
7		psrplusg.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` S )
8		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> I e. V )
9		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> R e. W )
10	1, 2, 6, 7, 8, 9	psrbasg 14988	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> B = ( ( Base ` R ) ^m { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) )
11		eqid 2238	. . . 4 |- ( oF .+ |` ( B X. B ) ) = ( oF .+ |` ( B X. B ) )
12		eqid 2238	. . . 4 |- ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) = ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) )
13		eqid 2238	. . . 4 |- ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) = ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) )
14		eqidd 2239	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) = ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 8, 9	psrval 14973	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> S = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
16	15	fveq2d 5694	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
17		psrplusg.p	. . 3 |- .+b = ( +g ` S )
18	17	a1i 9	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+b = ( +g ` S ) )
19		plusgslid 13443	. . 3 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
20		basfn 13389	. . . . . 6 |- Base Fn _V
21		fnpsr 14974	. . . . . . . 8 |- mPwSer Fn ( _V X. _V )
22	8	elexd 2835	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> I e. _V )
23	9	elexd 2835	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> R e. _V )
24		fnovex 6108	. . . . . . . 8 |- ( ( mPwSer Fn ( _V X. _V ) /\ I e. _V /\ R e. _V ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
25	21, 22, 23, 24	mp3an2i 1383	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( I mPwSer R ) e. _V )
26	1, 25	eqeltrid 2325	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> S e. _V )
27		funfvex 5707	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ S e. dom Base ) -> ( Base ` S ) e. _V )
28	27	funfni 5478	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ S e. _V ) -> ( Base ` S ) e. _V )
29	20, 26, 28	sylancr 418	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Base ` S ) e. _V )
30	7, 29	eqeltrid 2325	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> B e. _V )
31	30, 30	ofmresex 6360	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( oF .+ |` ( B X. B ) ) e. _V )
32		mpoexga 6438	. . . . 5 |- ( ( B e. _V /\ B e. _V ) -> ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
33	30, 30, 32	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) e. _V )
34		funfvex 5707	. . . . . . 7 |- ( ( Fun Base /\ R e. dom Base ) -> ( Base ` R ) e. _V )
35	34	funfni 5478	. . . . . 6 |- ( ( Base Fn _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` R ) e. _V )
36	20, 23, 35	sylancr 418	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Base ` R ) e. _V )
37		mpoexga 6438	. . . . 5 |- ( ( ( Base ` R ) e. _V /\ B e. _V ) -> ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) e. _V )
38	36, 30, 37	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) e. _V )
39		fnmap 6919	. . . . . . . 8 |- ^m Fn ( _V X. _V )
40		nn0ex 9548	. . . . . . . . 9 |- NN0 e. _V
41	40	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> NN0 e. _V )
42		fnovex 6108	. . . . . . . 8 |- ( ( ^m Fn ( _V X. _V ) /\ NN0 e. _V /\ I e. _V ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
43	39, 41, 22, 42	mp3an2i 1383	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( NN0 ^m I ) e. _V )
44		rabexg 4274	. . . . . . 7 |- ( ( NN0 ^m I ) e. _V -> { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V )
45	43, 44	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V )
46		topnfn 13575	. . . . . . . 8 |- TopOpen Fn _V
47		funfvex 5707	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun TopOpen /\ R e. dom TopOpen ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
48	47	funfni 5478	. . . . . . . 8 |- ( ( TopOpen Fn _V /\ R e. _V ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
49	46, 23, 48	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( TopOpen ` R ) e. _V )
50		snexg 4316	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` R ) e. _V -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
51	49, 50	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> { ( TopOpen ` R ) } e. _V )
52		xpexg 4884	. . . . . 6 |- ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } e. _V /\ { ( TopOpen ` R ) } e. _V ) -> ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
53	45, 51, 52	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V )
54		ptex 13595	. . . . 5 |- ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) e. _V -> ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
55	53, 54	syl 14	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) e. _V )
56	30, 31, 33, 9, 38, 55	psrvalstrd 14975	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) Struct <. 1 , 9 >. )
57		plusgndxnn 13442	. . . . 5 |- ( +g ` ndx ) e. NN
58		opexg 4363	. . . . 5 |- ( ( ( +g ` ndx ) e. NN /\ ( oF .+ |` ( B X. B ) ) e. _V ) -> <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. _V )
59	57, 31, 58	sylancr 418	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. _V )
60		snsstp2 3861	. . . . . 6 |- { <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. }
61		ssun1 3392	. . . . . 6 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } )
62	60, 61	sstri 3257	. . . . 5 |- { <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } )
63		snssg 3844	. . . . 5 |- ( <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. _V -> ( <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) <-> { <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
64	62, 63	mpbiri 168	. . . 4 |- ( <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. _V -> <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
65	59, 64	syl 14	. . 3 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. e. ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) )
66	19, 56, 31, 65	opelstrsl 13445	. 2 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> ( oF .+ |` ( B X. B ) ) = ( +g ` ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( oF .+ |` ( B X. B ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( f e. B , g e. B |-> ( k e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( x e. { y e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } | y oR <_ k } |-> ( ( f ` x ) ( .r ` R ) ( g ` ( k oF - x ) ) ) ) ) ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , R >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` R ) , f e. B |-> ( ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) f ) ) >. , <. (TopSet ` ndx ) , ( Xt_ ` ( { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } X. { ( TopOpen ` R ) } ) ) >. } ) ) )
67	16, 18, 66	3eqtr4d 2281	1 |- ( ( I e. V /\ R e. W ) -> .+b = ( oF .+ |` ( B X. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   u. cun 3218   C_ wss 3220   {csn 3705   {ctp 3707   <.cop 3708   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   X. cxp 4767   `'ccnv 4768   |` cres 4771   "cima 4772   Fn wfn 5367   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   e. cmpo 6077   oFcof 6290   oRcofr 6291   ^m cmap 6912   Fincfn 7012   1c1 8170   <_ cle 8351   - cmin 8487   NNcn 9283   9c9 9341   NN0cn0 9542   ndxcnx 13327   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   .rcmulr 13409  Scalarcsca 13411   .scvsca 13412  TopSetcts 13414   TopOpenctopn 13571   Xt_cpt 13586   gsum_g cgsu 14127   mPwSer cmps 14968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-map 6914  df-ixp 6971  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-struct 13332  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-tset 13427  df-rest 13572  df-topn 13573  df-topgen 13591  df-pt 13592  df-psr 14970

This theorem is referenced by:  psradd  14993