Theorem psrvalstrd 14706

Description: The multivariate power series structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvalstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
psrvalstrd.plusg	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑌)
psrvalstrd.ips	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑍)
psrvalstrd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
psrvalstrd.mulr	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑃)
psrvalstrd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
psrvalstrd	⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩)

Proof of Theorem psrvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvalstrd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
2		psrvalstrd.plusg	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑌)
3		psrvalstrd.ips	. . 3 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑍)
4		eqid 2230	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
5	4	rngstrg 13241	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ + ∈ 𝑌 ∧ × ∈ 𝑍) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
7		psrvalstrd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
8		psrvalstrd.mulr	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑃)
9		psrvalstrd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑄)
10		5nn 9313	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
11		scandx 13257	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
12		5lt6 9328	. . . 4 ⊢ 5 < 6
13		6nn 9314	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
14		vscandx 13263	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
15		6lt9 9348	. . . 4 ⊢ 6 < 9
16		9nn 9317	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
17		tsetndx 13292	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	strle3g 13214	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑃 ∧ 𝐽 ∈ 𝑄) → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨5, 9⟩)
19	7, 8, 9, 18	syl3anc 1273	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨5, 9⟩)
20		3lt5 9325	. . 3 ⊢ 3 < 5
21	20	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 3 < 5)
22	6, 19, 21	strleund 13209	1 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2201   ∪ cun 3197  {ctp 3672  ⟨cop 3673   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  1c1 8038   < clt 8219  3c3 9200  5c5 9202  6c6 9203  9c9 9206   Struct cstr 13101  ndxcnx 13102  Basecbs 13105  +_gcplusg 13183  ._rcmulr 13184  Scalarcsca 13186   ·_𝑠 cvsca 13187  TopSetcts 13189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-tp 3678  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-fz 10249  df-struct 13107  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-tset 13202

This theorem is referenced by:  psrbasg  14717  psrplusgg  14721