Theorem psrvalstrd 14222

Description: The multivariate power series structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvalstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
psrvalstrd.plusg	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑌)
psrvalstrd.ips	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑍)
psrvalstrd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
psrvalstrd.mulr	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑃)
psrvalstrd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
psrvalstrd	⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩)

Proof of Theorem psrvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvalstrd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
2		psrvalstrd.plusg	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑌)
3		psrvalstrd.ips	. . 3 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑍)
4		eqid 2196	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
5	4	rngstrg 12812	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ + ∈ 𝑌 ∧ × ∈ 𝑍) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
7		psrvalstrd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
8		psrvalstrd.mulr	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑃)
9		psrvalstrd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑄)
10		5nn 9155	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
11		scandx 12828	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
12		5lt6 9170	. . . 4 ⊢ 5 < 6
13		6nn 9156	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
14		vscandx 12834	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
15		6lt9 9190	. . . 4 ⊢ 6 < 9
16		9nn 9159	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
17		tsetndx 12863	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	strle3g 12786	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑃 ∧ 𝐽 ∈ 𝑄) → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨5, 9⟩)
19	7, 8, 9, 18	syl3anc 1249	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨5, 9⟩)
20		3lt5 9167	. . 3 ⊢ 3 < 5
21	20	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 3 < 5)
22	6, 19, 21	strleund 12781	1 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167   ∪ cun 3155  {ctp 3624  ⟨cop 3625   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  1c1 7880   < clt 8061  3c3 9042  5c5 9044  6c6 9045  9c9 9048   Struct cstr 12674  ndxcnx 12675  Basecbs 12678  +_gcplusg 12755  ._rcmulr 12756  Scalarcsca 12758   ·_𝑠 cvsca 12759  TopSetcts 12761

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-fz 10084  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-tset 12774

This theorem is referenced by:  psrbasg  14227  psrplusgg  14230