Theorem psrvalstrd 15136

Description: The multivariate power series structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvalstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
psrvalstrd.plusg	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑌)
psrvalstrd.ips	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑍)
psrvalstrd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
psrvalstrd.mulr	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑃)
psrvalstrd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
psrvalstrd	⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩)

Proof of Theorem psrvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvalstrd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
2		psrvalstrd.plusg	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑌)
3		psrvalstrd.ips	. . 3 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑍)
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
5	4	rngstrg 13542	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ + ∈ 𝑌 ∧ × ∈ 𝑍) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
7		psrvalstrd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
8		psrvalstrd.mulr	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑃)
9		psrvalstrd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑄)
10		5nn 9474	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
11		scandx 13558	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
12		5lt6 9489	. . . 4 ⊢ 5 < 6
13		6nn 9475	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
14		vscandx 13564	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
15		6lt9 9509	. . . 4 ⊢ 6 < 9
16		9nn 9478	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
17		tsetndx 13593	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	strle3g 13515	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑃 ∧ 𝐽 ∈ 𝑄) → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨5, 9⟩)
19	7, 8, 9, 18	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨5, 9⟩)
20		3lt5 9486	. . 3 ⊢ 3 < 5
21	20	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 3 < 5)
22	6, 19, 21	strleund 13510	1 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  {ctp 3711  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  1c1 8181   < clt 8361  3c3 9359  5c5 9361  6c6 9362  9c9 9365   Struct cstr 13400  ndxcnx 13401  Basecbs 13404  +_gcplusg 13484  ._rcmulr 13485  Scalarcsca 13487   ·_𝑠 cvsca 13488  TopSetcts 13490

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503

This theorem is used by:  psrbasg  15150  psrplusgg  15154  psrmulrg  15158