Theorem psrvalstrd 15035

Description: The multivariate power series structure is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrvalstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
psrvalstrd.plusg	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑌)
psrvalstrd.ips	⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑍)
psrvalstrd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
psrvalstrd.mulr	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑃)
psrvalstrd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑄)

Assertion

Ref	Expression
psrvalstrd	⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩)

Proof of Theorem psrvalstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrvalstrd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑋)
2		psrvalstrd.plusg	. . 3 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑌)
3		psrvalstrd.ips	. . 3 ⊢ (𝜑 → × ∈ 𝑍)
4		eqid 2238	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩}
5	4	rngstrg 13472	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ + ∈ 𝑌 ∧ × ∈ 𝑍) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
7		psrvalstrd.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
8		psrvalstrd.mulr	. . 3 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑃)
9		psrvalstrd.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑄)
10		5nn 9452	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ
11		scandx 13488	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
12		5lt6 9467	. . . 4 ⊢ 5 < 6
13		6nn 9453	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℕ
14		vscandx 13494	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
15		6lt9 9487	. . . 4 ⊢ 6 < 9
16		9nn 9456	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
17		tsetndx 13523	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
18	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17	strle3g 13445	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑃 ∧ 𝐽 ∈ 𝑄) → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨5, 9⟩)
19	7, 8, 9, 18	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩} Struct ⟨5, 9⟩)
20		3lt5 9464	. . 3 ⊢ 3 < 5
21	20	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → 3 < 5)
22	6, 19, 21	strleund 13440	1 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), × ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}) Struct ⟨1, 9⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ∪ cun 3218  {ctp 3710  ⟨cop 3711   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  1c1 8174   < clt 8354  3c3 9339  5c5 9341  6c6 9342  9c9 9345   Struct cstr 13331  ndxcnx 13332  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  ._rcmulr 13415  Scalarcsca 13417   ·_𝑠 cvsca 13418  TopSetcts 13420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-tset 13433

This theorem is referenced by:  psrbasg  15048  psrplusgg  15052