Theorem qrevaddcl 9553

Description: Reverse closure law for addition of rationals. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qrevaddcl	|- ( B e. QQ -> ( ( A e. CC /\ ( A + B ) e. QQ ) <-> A e. QQ ) )

Proof of Theorem qrevaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 9543	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> B e. CC )
2		pncan 8081	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )
3	1, 2	sylan2 284	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )
4	3	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( B e. QQ /\ A e. CC ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )
5	4	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. QQ /\ A e. CC ) /\ ( A + B ) e. QQ ) -> ( ( A + B ) - B ) = A )
6		qsubcl 9547	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A + B ) e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( ( A + B ) - B ) e. QQ )
7	6	ancoms 266	. . . . . . 7 |- ( ( B e. QQ /\ ( A + B ) e. QQ ) -> ( ( A + B ) - B ) e. QQ )
8	7	adantlr 469	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. QQ /\ A e. CC ) /\ ( A + B ) e. QQ ) -> ( ( A + B ) - B ) e. QQ )
9	5, 8	eqeltrrd 2235	. . . . 5 |- ( ( ( B e. QQ /\ A e. CC ) /\ ( A + B ) e. QQ ) -> A e. QQ )
10	9	ex 114	. . . 4 |- ( ( B e. QQ /\ A e. CC ) -> ( ( A + B ) e. QQ -> A e. QQ ) )
11		qaddcl 9544	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. QQ )
12	11	expcom 115	. . . . 5 |- ( B e. QQ -> ( A e. QQ -> ( A + B ) e. QQ ) )
13	12	adantr 274	. . . 4 |- ( ( B e. QQ /\ A e. CC ) -> ( A e. QQ -> ( A + B ) e. QQ ) )
14	10, 13	impbid 128	. . 3 |- ( ( B e. QQ /\ A e. CC ) -> ( ( A + B ) e. QQ <-> A e. QQ ) )
15	14	pm5.32da 448	. 2 |- ( B e. QQ -> ( ( A e. CC /\ ( A + B ) e. QQ ) <-> ( A e. CC /\ A e. QQ ) ) )
16		qcn 9543	. . 3 |- ( A e. QQ -> A e. CC )
17	16	pm4.71ri 390	. 2 |- ( A e. QQ <-> ( A e. CC /\ A e. QQ ) )
18	15, 17	bitr4di 197	1 |- ( B e. QQ -> ( ( A e. CC /\ ( A + B ) e. QQ ) <-> A e. QQ ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128  (class class class)co 5824   CCcc 7730   + caddc 7735   - cmin 8046   QQcq 9528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-q 9529

This theorem is referenced by: (None)