Theorem qrevaddcl 9795

Description: Reverse closure law for addition of rationals. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qrevaddcl	⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) ↔ 𝐴 ∈ ℚ))

Proof of Theorem qrevaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 9785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
2		pncan 8308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
3	1, 2	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	3	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
5	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
6		qsubcl 9789	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
7	6	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
8	7	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
9	5, 8	eqeltrrd 2284	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℚ)
10	9	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ))
11		qaddcl 9786	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
12	11	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
14	10, 13	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
15	14	pm5.32da 452	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ)))
16		qcn 9785	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	pm4.71ri 392	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ))
18	15, 17	bitr4di 198	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) ↔ 𝐴 ∈ ℚ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5962  ℂcc 7953   + caddc 7958   − cmin 8273  ℚcq 9770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-n0 9326  df-z 9403  df-q 9771

This theorem is referenced by: (None)