Theorem qrevaddcl 9720

Description: Reverse closure law for addition of rationals. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qrevaddcl	⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) ↔ 𝐴 ∈ ℚ))

Proof of Theorem qrevaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 9710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
2		pncan 8234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
3	1, 2	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	3	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
5	4	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
6		qsubcl 9714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
7	6	ancoms 268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
8	7	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
9	5, 8	eqeltrrd 2274	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℚ)
10	9	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ))
11		qaddcl 9711	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
12	11	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
13	12	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
14	10, 13	impbid 129	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
15	14	pm5.32da 452	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ)))
16		qcn 9710	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	pm4.71ri 392	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ))
18	15, 17	bitr4di 198	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) ↔ 𝐴 ∈ ℚ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5923  ℂcc 7879   + caddc 7884   − cmin 8199  ℚcq 9695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-q 9696

This theorem is referenced by: (None)