Theorem qrevaddcl 9582

Description: Reverse closure law for addition of rationals. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qrevaddcl	⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) ↔ 𝐴 ∈ ℚ))

Proof of Theorem qrevaddcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qcn 9572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
2		pncan 8104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
3	1, 2	sylan2 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
4	3	ancoms 266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
5	4	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
6		qsubcl 9576	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
7	6	ancoms 266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
8	7	adantlr 469	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℚ)
9	5, 8	eqeltrrd 2244	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) → 𝐴 ∈ ℚ)
10	9	ex 114	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℚ))
11		qaddcl 9573	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐵 ∈ ℚ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ)
12	11	expcom 115	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
13	12	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ))
14	10, 13	impbid 128	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ℚ))
15	14	pm5.32da 448	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ)))
16		qcn 9572	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
17	16	pm4.71ri 390	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℚ))
18	15, 17	bitr4di 197	1 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℚ) ↔ 𝐴 ∈ ℚ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  (class class class)co 5842  ℂcc 7751   + caddc 7756   − cmin 8069  ℚcq 9557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-q 9558

This theorem is referenced by: (None)