ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qdivcl Unicode version

Theorem qdivcl 9384
Description: Closure of division of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qdivcl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )

Proof of Theorem qdivcl
StepHypRef Expression
1 qcn 9375 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
213ad2ant1 985 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
3 qcn 9375 . . . 4  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
433ad2ant2 986 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
5 simp3 966 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
6 0z 9016 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 zq 9367 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  e.  QQ
9 qapne 9380 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  0  e.  QQ )  ->  ( B #  0  <->  B  =/=  0 ) )
108, 9mpan2 419 . . . . 5  |-  ( B  e.  QQ  ->  ( B #  0  <->  B  =/=  0
) )
11103ad2ant2 986 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B #  0  <->  B  =/=  0
) )
125, 11mpbird 166 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  B #  0 )
132, 4, 12divrecapd 8513 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
14 qreccl 9383 . . . 4  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 1  /  B
)  e.  QQ )
15 qmulcl 9378 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( 1  /  B
)  e.  QQ )  ->  ( A  x.  ( 1  /  B
) )  e.  QQ )
1614, 15sylan2 282 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  B
) )  e.  QQ )
17163impb 1160 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  x.  ( 1  /  B ) )  e.  QQ )
1813, 17eqeltrd 2192 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 945    e. wcel 1463    =/= wne 2283   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   CCcc 7582   0cc0 7584   1c1 7585    x. cmul 7589   # cap 8306    / cdiv 8392   ZZcz 9005   QQcq 9360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-q 9361
This theorem is referenced by:  irrmul  9388  flqdiv  10034  modqval  10037  modqvalr  10038  modqcl  10039  flqpmodeq  10040  modq0  10042  modqge0  10045  modqlt  10046  modqdiffl  10048  modqdifz  10049  modqmulnn  10055  modqvalp1  10056  modqid  10062  modqcyc  10072  modqadd1  10074  modqmuladd  10079  modqmuladdnn0  10081  modqmul1  10090  modqdi  10105  modqsubdir  10106  fldivndvdslt  11528
  Copyright terms: Public domain W3C validator