ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qdivcl Unicode version

Theorem qdivcl 9021
Description: Closure of division of rationals. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qdivcl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )

Proof of Theorem qdivcl
StepHypRef Expression
1 qcn 9012 . . . 4  |-  ( A  e.  QQ  ->  A  e.  CC )
213ad2ant1 960 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
3 qcn 9012 . . . 4  |-  ( B  e.  QQ  ->  B  e.  CC )
433ad2ant2 961 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  B  e.  CC )
5 simp3 941 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  B  =/=  0 )
6 0z 8655 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
7 zq 9004 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
86, 7ax-mp 7 . . . . . 6  |-  0  e.  QQ
9 qapne 9017 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  0  e.  QQ )  ->  ( B #  0  <->  B  =/=  0 ) )
108, 9mpan2 416 . . . . 5  |-  ( B  e.  QQ  ->  ( B #  0  <->  B  =/=  0
) )
11103ad2ant2 961 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B #  0  <->  B  =/=  0
) )
125, 11mpbird 165 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  B #  0 )
132, 4, 12divrecapd 8155 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  =  ( A  x.  (
1  /  B ) ) )
14 qreccl 9020 . . . 4  |-  ( ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  -> 
( 1  /  B
)  e.  QQ )
15 qmulcl 9015 . . . 4  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( 1  /  B
)  e.  QQ )  ->  ( A  x.  ( 1  /  B
) )  e.  QQ )
1614, 15sylan2 280 . . 3  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  ( B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( A  x.  ( 1  /  B
) )  e.  QQ )
17163impb 1135 . 2  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  x.  ( 1  /  B ) )  e.  QQ )
1813, 17eqeltrd 2159 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 920    e. wcel 1434    =/= wne 2249   class class class wbr 3811  (class class class)co 5589   CCcc 7249   0cc0 7251   1c1 7252    x. cmul 7256   # cap 7956    / cdiv 8035   ZZcz 8644   QQcq 8997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-cnex 7337  ax-resscn 7338  ax-1cn 7339  ax-1re 7340  ax-icn 7341  ax-addcl 7342  ax-addrcl 7343  ax-mulcl 7344  ax-mulrcl 7345  ax-addcom 7346  ax-mulcom 7347  ax-addass 7348  ax-mulass 7349  ax-distr 7350  ax-i2m1 7351  ax-0lt1 7352  ax-1rid 7353  ax-0id 7354  ax-rnegex 7355  ax-precex 7356  ax-cnre 7357  ax-pre-ltirr 7358  ax-pre-ltwlin 7359  ax-pre-lttrn 7360  ax-pre-apti 7361  ax-pre-ltadd 7362  ax-pre-mulgt0 7363  ax-pre-mulext 7364
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4083  df-po 4086  df-iso 4087  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-fv 4975  df-riota 5545  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-pnf 7425  df-mnf 7426  df-xr 7427  df-ltxr 7428  df-le 7429  df-sub 7556  df-neg 7557  df-reap 7950  df-ap 7957  df-div 8036  df-inn 8315  df-n0 8564  df-z 8645  df-q 8998
This theorem is referenced by:  irrmul  9025  flqdiv  9615  modqval  9618  modqvalr  9619  modqcl  9620  flqpmodeq  9621  modq0  9623  modqge0  9626  modqlt  9627  modqdiffl  9629  modqdifz  9630  modqmulnn  9636  modqvalp1  9637  modqid  9643  modqcyc  9653  modqadd1  9655  modqmuladd  9660  modqmuladdnn0  9662  modqmul1  9671  modqdi  9686  modqsubdir  9687  fldivndvdslt  10713
  Copyright terms: Public domain W3C validator