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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > qaddcl | Unicode version |
Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.) |
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qaddcl |
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1 | elq 9608 |
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2 | elq 9608 |
. 2
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3 | nnz 9258 |
. . . . . . . . . . . 12
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4 | zmulcl 9292 |
. . . . . . . . . . . 12
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5 | 3, 4 | sylan2 286 |
. . . . . . . . . . 11
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6 | 5 | ad2ant2rl 511 |
. . . . . . . . . 10
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7 | simpl 109 |
. . . . . . . . . . 11
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8 | nnz 9258 |
. . . . . . . . . . . 12
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9 | 8 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . 11
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10 | zmulcl 9292 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 7, 9, 10 | syl2anr 290 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 6, 11 | zaddcld 9365 |
. . . . . . . . 9
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13 | 12 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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14 | nnmulcl 8926 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 14 | ad2ant2l 508 |
. . . . . . . . 9
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16 | 15 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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17 | oveq12 5878 |
. . . . . . . . 9
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18 | zcn 9244 |
. . . . . . . . . . . 12
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19 | zcn 9244 |
. . . . . . . . . . . 12
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20 | 18, 19 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | nncn 8913 |
. . . . . . . . . . . . 13
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22 | nnap0 8934 |
. . . . . . . . . . . . 13
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23 | 21, 22 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . 12
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24 | nncn 8913 |
. . . . . . . . . . . . 13
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25 | nnap0 8934 |
. . . . . . . . . . . . 13
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26 | 24, 25 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . 12
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27 | 23, 26 | anim12i 338 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | divadddivap 8670 |
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29 | 20, 27, 28 | syl2an 289 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 29 | an4s 588 |
. . . . . . . . 9
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31 | 17, 30 | sylan9eqr 2232 |
. . . . . . . 8
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32 | rspceov 5911 |
. . . . . . . . 9
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33 | elq 9608 |
. . . . . . . . 9
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34 | 32, 33 | sylibr 134 |
. . . . . . . 8
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35 | 13, 16, 31, 34 | syl3anc 1238 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | an4s 588 |
. . . . . 6
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37 | 36 | exp43 372 |
. . . . 5
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38 | 37 | rexlimivv 2600 |
. . . 4
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39 | 38 | rexlimdvv 2601 |
. . 3
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40 | 39 | imp 124 |
. 2
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41 | 1, 2, 40 | syl2anb 291 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-cnex 7890 ax-resscn 7891 ax-1cn 7892 ax-1re 7893 ax-icn 7894 ax-addcl 7895 ax-addrcl 7896 ax-mulcl 7897 ax-mulrcl 7898 ax-addcom 7899 ax-mulcom 7900 ax-addass 7901 ax-mulass 7902 ax-distr 7903 ax-i2m1 7904 ax-0lt1 7905 ax-1rid 7906 ax-0id 7907 ax-rnegex 7908 ax-precex 7909 ax-cnre 7910 ax-pre-ltirr 7911 ax-pre-ltwlin 7912 ax-pre-lttrn 7913 ax-pre-apti 7914 ax-pre-ltadd 7915 ax-pre-mulgt0 7916 ax-pre-mulext 7917 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-pnf 7981 df-mnf 7982 df-xr 7983 df-ltxr 7984 df-le 7985 df-sub 8117 df-neg 8118 df-reap 8519 df-ap 8526 df-div 8616 df-inn 8906 df-n0 9163 df-z 9240 df-q 9606 |
This theorem is referenced by: qsubcl 9624 qrevaddcl 9630 flqbi2 10274 flqaddz 10280 flqdiv 10304 modqcyc 10342 modqadd1 10344 modqltm1p1mod 10359 modaddmodlo 10371 modsumfzodifsn 10379 addmodlteq 10381 pcaddlem 12318 4sqlem5 12360 4sqlem6 12361 4sqlem10 12365 apdifflemf 14447 apdiff 14449 |
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