ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qaddcl Unicode version
Theorem qaddcl 9703
Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qaddcl |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. QQ )
Proof of Theorem qaddcl
Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9690 . 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2 elq 9690 . 2 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
3 nnz 9339 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN -> w e. ZZ )
4 zmulcl 9373 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( x x. w ) e. ZZ )
53, 4sylan2 286 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( x x. w ) e. ZZ )
65ad2ant2rl 511 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( x x. w ) e. ZZ )
7 simpl 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> z e. ZZ )
8 nnz 9339 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
98adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> y e. ZZ )
10 zmulcl 9373 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( z x. y ) e. ZZ )
117, 9, 10syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( z x. y ) e. ZZ )
126, 11zaddcld 9446 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) e. ZZ )
1312adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) e. ZZ )
14 nnmulcl 9005 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y x. w ) e. NN )
1514ad2ant2l 508 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( y x. w ) e. NN )
1615adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( y x. w ) e. NN )
17 oveq12 5928 . . . . . . . . 9 |- ( ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( A + B ) = ( ( x / y ) + ( z / w ) ) )
18 zcn 9325 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
19 zcn 9325 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ZZ -> z e. CC )
2018, 19anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) )
21 nncn 8992 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y e. CC )
22 nnap0 9013 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y # 0 )
2321, 22jca 306 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
24 nncn 8992 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w e. CC )
25 nnap0 9013 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w # 0 )
2624, 25jca 306 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN -> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
2723, 26anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) )
28 divadddivap 8748 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CC /\ z e. CC ) /\ ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) ) -> ( ( x / y ) + ( z / w ) ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) )
2920, 27, 28syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( y e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( x / y ) + ( z / w ) ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) )
3029an4s 588 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x / y ) + ( z / w ) ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) )
3117, 30sylan9eqr 2248 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A + B ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) )
32 rspceov 5961 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN /\ ( A + B ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A + B ) = ( v / u ) )
33 elq 9690 . . . . . . . . 9 |- ( ( A + B ) e. QQ <-> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A + B ) = ( v / u ) )
3432, 33sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN /\ ( A + B ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) ) -> ( A + B ) e. QQ )
3513, 16, 31, 34syl3anc 1249 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A + B ) e. QQ )
3635an4s 588 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ A = ( x / y ) ) /\ ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A + B ) e. QQ )
3736exp43 372 . . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A + B ) e. QQ ) ) ) )
3837rexlimivv 2617 . . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A + B ) e. QQ ) ) )
3938rexlimdvv 2618 . . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) -> ( A + B ) e. QQ ) )
4039imp 124 . 2 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( A + B ) e. QQ )
411, 2, 40syl2anb 291 1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   E.wrex 2473   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919   CCcc 7872   0cc0 7874   + caddc 7877   x. cmul 7879   # cap 8602   / cdiv 8693   NNcn 8984   ZZcz 9320   QQcq 9687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-q 9688
This theorem is referenced by:  qsubcl  9706  qrevaddcl  9712  flqbi2  10363  flqaddz  10369  flqdiv  10395  modqcyc  10433  modqadd1  10435  modqltm1p1mod  10450  modaddmodlo  10462  modsumfzodifsn  10470  addmodlteq  10472  pcaddlem  12480  pcadd2  12482  4sqlem5  12523  4sqlem6  12524  4sqlem10  12528  lgseisen  15231  apdifflemf  15606  apdiff  15608
  Copyright terms: Public domain W3C validator