Theorem qaddcl 9454

Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
qaddcl	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. QQ )

Proof of Theorem qaddcl

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elq 9441	. 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2		elq 9441	. 2 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
3		nnz 9097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN -> w e. ZZ )
4		zmulcl 9131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( x x. w ) e. ZZ )
5	3, 4	sylan2 284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( x x. w ) e. ZZ )
6	5	ad2ant2rl 503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( x x. w ) e. ZZ )
7		simpl 108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> z e. ZZ )
8		nnz 9097	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
9	8	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> y e. ZZ )
10		zmulcl 9131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( z x. y ) e. ZZ )
11	7, 9, 10	syl2anr 288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( z x. y ) e. ZZ )
12	6, 11	zaddcld 9201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) e. ZZ )
13	12	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) e. ZZ )
14		nnmulcl 8765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y x. w ) e. NN )
15	14	ad2ant2l 500	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( y x. w ) e. NN )
16	15	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( y x. w ) e. NN )
17		oveq12 5791	. . . . . . . . 9 |- ( ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( A + B ) = ( ( x / y ) + ( z / w ) ) )
18		zcn 9083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
19		zcn 9083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ZZ -> z e. CC )
20	18, 19	anim12i 336	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) )
21		nncn 8752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y e. CC )
22		nnap0 8773	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y # 0 )
23	21, 22	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
24		nncn 8752	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w e. CC )
25		nnap0 8773	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w # 0 )
26	24, 25	jca 304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN -> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
27	23, 26	anim12i 336	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) )
28		divadddivap 8511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CC /\ z e. CC ) /\ ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) ) -> ( ( x / y ) + ( z / w ) ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) )
29	20, 27, 28	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( y e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( x / y ) + ( z / w ) ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) )
30	29	an4s 578	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x / y ) + ( z / w ) ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) )
31	17, 30	sylan9eqr 2195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A + B ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) )
32		rspceov 5821	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN /\ ( A + B ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A + B ) = ( v / u ) )
33		elq 9441	. . . . . . . . 9 |- ( ( A + B ) e. QQ <-> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A + B ) = ( v / u ) )
34	32, 33	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN /\ ( A + B ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) ) -> ( A + B ) e. QQ )
35	13, 16, 31, 34	syl3anc 1217	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A + B ) e. QQ )
36	35	an4s 578	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ A = ( x / y ) ) /\ ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A + B ) e. QQ )
37	36	exp43 370	. . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A + B ) e. QQ ) ) ) )
38	37	rexlimivv 2558	. . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A + B ) e. QQ ) ) )
39	38	rexlimdvv 2559	. . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) -> ( A + B ) e. QQ ) )
40	39	imp 123	. 2 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( A + B ) e. QQ )
41	1, 2, 40	syl2anb 289	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   E.wrex 2418   class class class wbr 3937  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   + caddc 7647   x. cmul 7649   # cap 8367   / cdiv 8456   NNcn 8744   ZZcz 9078   QQcq 9438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-q 9439

This theorem is referenced by:  qsubcl  9457  qrevaddcl  9463  flqbi2  10095  flqaddz  10101  flqdiv  10125  modqcyc  10163  modqadd1  10165  modqltm1p1mod  10180  modaddmodlo  10192  modsumfzodifsn  10200  addmodlteq  10202  apdifflemf  13414  apdiff  13416