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Theorem qaddcl 9621
Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qaddcl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  QQ )

Proof of Theorem qaddcl
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9608 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 elq 9608 . 2  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
3 nnz 9258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  ZZ )
4 zmulcl 9292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  w
)  e.  ZZ )
53, 4sylan2 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( x  x.  w
)  e.  ZZ )
65ad2ant2rl 511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  x.  w
)  e.  ZZ )
7 simpl 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  z  e.  ZZ )
8 nnz 9258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
98adantl 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
10 zmulcl 9292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( z  x.  y
)  e.  ZZ )
117, 9, 10syl2anr 290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( z  x.  y
)  e.  ZZ )
126, 11zaddcld 9365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  e.  ZZ )
1312adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y
) )  e.  ZZ )
14 nnmulcl 8926 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  x.  w
)  e.  NN )
1514ad2ant2l 508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( y  x.  w
)  e.  NN )
1615adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( y  x.  w )  e.  NN )
17 oveq12 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( A  +  B
)  =  ( ( x  /  y )  +  ( z  /  w ) ) )
18 zcn 9244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
19 zcn 9244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
2018, 19anim12i 338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
21 nncn 8913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
22 nnap0 8934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y #  0 )
2321, 22jca 306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  CC  /\  y #  0 ) )
24 nncn 8913 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
25 nnap0 8934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w #  0 )
2624, 25jca 306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  (
w  e.  CC  /\  w #  0 ) )
2723, 26anim12i 338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  /\  y #  0 )  /\  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) ) )
28 divadddivap 8670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( ( y  e.  CC  /\  y #  0 )  /\  (
w  e.  CC  /\  w #  0 ) ) )  ->  ( ( x  /  y )  +  ( z  /  w
) )  =  ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
2920, 27, 28syl2an 289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  +  ( z  /  w ) )  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
3029an4s 588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  +  ( z  /  w ) )  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
3117, 30sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  =  ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
32 rspceov 5911 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN  /\  ( A  +  B
)  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( v  /  u ) )
33 elq 9608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  B )  e.  QQ  <->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( v  /  u ) )
3432, 33sylibr 134 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN  /\  ( A  +  B
)  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
3513, 16, 31, 34syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
3635an4s 588 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
3736exp43 372 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ ) ) ) )
3837rexlimivv 2600 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w
)  ->  ( A  +  B )  e.  QQ ) ) )
3938rexlimdvv 2601 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ ) )
4039imp 124 . 2  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
411, 2, 40syl2anb 291 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   E.wrex 2456   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869   CCcc 7797   0cc0 7799    + caddc 7802    x. cmul 7804   # cap 8525    / cdiv 8615   NNcn 8905   ZZcz 9239   QQcq 9605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-n0 9163  df-z 9240  df-q 9606
This theorem is referenced by:  qsubcl  9624  qrevaddcl  9630  flqbi2  10274  flqaddz  10280  flqdiv  10304  modqcyc  10342  modqadd1  10344  modqltm1p1mod  10359  modaddmodlo  10371  modsumfzodifsn  10379  addmodlteq  10381  pcaddlem  12318  4sqlem5  12360  4sqlem6  12361  4sqlem10  12365  apdifflemf  14447  apdiff  14449
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