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Theorem qaddcl 9439
Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qaddcl  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  QQ )

Proof of Theorem qaddcl
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9426 . 2  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
2 elq 9426 . 2  |-  ( B  e.  QQ  <->  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )
3 nnz 9085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  ZZ )
4 zmulcl 9119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( x  x.  w
)  e.  ZZ )
53, 4sylan2 284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( x  x.  w
)  e.  ZZ )
65ad2ant2rl 502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( x  x.  w
)  e.  ZZ )
7 simpl 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  z  e.  ZZ )
8 nnz 9085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
98adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
10 zmulcl 9119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( z  x.  y
)  e.  ZZ )
117, 9, 10syl2anr 288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( z  x.  y
)  e.  ZZ )
126, 11zaddcld 9189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  e.  ZZ )
1312adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y
) )  e.  ZZ )
14 nnmulcl 8753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( y  x.  w
)  e.  NN )
1514ad2ant2l 499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( y  x.  w
)  e.  NN )
1615adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( y  x.  w )  e.  NN )
17 oveq12 5783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  ( x  /  y )  /\  B  =  ( z  /  w ) )  -> 
( A  +  B
)  =  ( ( x  /  y )  +  ( z  /  w ) ) )
18 zcn 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
19 zcn 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
2018, 19anim12i 336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC ) )
21 nncn 8740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  CC )
22 nnap0 8761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y #  0 )
2321, 22jca 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  (
y  e.  CC  /\  y #  0 ) )
24 nncn 8740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w  e.  CC )
25 nnap0 8761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  NN  ->  w #  0 )
2624, 25jca 304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  NN  ->  (
w  e.  CC  /\  w #  0 ) )
2723, 26anim12i 336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN )  ->  ( ( y  e.  CC  /\  y #  0 )  /\  ( w  e.  CC  /\  w #  0 ) ) )
28 divadddivap 8499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  /\  ( ( y  e.  CC  /\  y #  0 )  /\  (
w  e.  CC  /\  w #  0 ) ) )  ->  ( ( x  /  y )  +  ( z  /  w
) )  =  ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
2920, 27, 28syl2an 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  +  ( z  /  w ) )  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
3029an4s 577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( x  / 
y )  +  ( z  /  w ) )  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
3117, 30sylan9eqr 2194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  =  ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )
32 rspceov 5813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN  /\  ( A  +  B
)  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( v  /  u ) )
33 elq 9426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  +  B )  e.  QQ  <->  E. v  e.  ZZ  E. u  e.  NN  ( A  +  B )  =  ( v  /  u ) )
3432, 33sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  x.  w )  +  ( z  x.  y ) )  e.  ZZ  /\  ( y  x.  w
)  e.  NN  /\  ( A  +  B
)  =  ( ( ( x  x.  w
)  +  ( z  x.  y ) )  /  ( y  x.  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
3513, 16, 31, 34syl3anc 1216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( A  =  ( x  / 
y )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
3635an4s 577 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  A  =  ( x  / 
y ) )  /\  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  /\  B  =  ( z  /  w ) ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
3736exp43 369 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ ) ) ) )
3837rexlimivv 2555 . . . 4  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  (
( z  e.  ZZ  /\  w  e.  NN )  ->  ( B  =  ( z  /  w
)  ->  ( A  +  B )  e.  QQ ) ) )
3938rexlimdvv 2556 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ ) )
4039imp 123 . 2  |-  ( ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  /\  E. z  e.  ZZ  E. w  e.  NN  B  =  ( z  /  w ) )  ->  ( A  +  B )  e.  QQ )
411, 2, 40syl2anb 289 1  |-  ( ( A  e.  QQ  /\  B  e.  QQ )  ->  ( A  +  B
)  e.  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   E.wrex 2417   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   CCcc 7630   0cc0 7632    + caddc 7635    x. cmul 7637   # cap 8355    / cdiv 8444   NNcn 8732   ZZcz 9066   QQcq 9423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-q 9424
This theorem is referenced by:  qsubcl  9442  qrevaddcl  9448  flqbi2  10076  flqaddz  10082  flqdiv  10106  modqcyc  10144  modqadd1  10146  modqltm1p1mod  10161  modaddmodlo  10173  modsumfzodifsn  10181  addmodlteq  10183  apdifflemf  13298  apdiff  13300
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