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Theorem qaddcl 9985
Description: Closure of addition of rationals. (Contributed by NM, 1-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
qaddcl |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. QQ )
Proof of Theorem qaddcl
Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elq 9972 . 2 |- ( A e. QQ <-> E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) )
2 elq 9972 . 2 |- ( B e. QQ <-> E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) )
3 nnz 9613 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN -> w e. ZZ )
4 zmulcl 9648 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( x x. w ) e. ZZ )
53, 4sylan2 286 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( x x. w ) e. ZZ )
65ad2ant2rl 511 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( x x. w ) e. ZZ )
7 simpl 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> z e. ZZ )
8 nnz 9613 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> y e. ZZ )
98adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> y e. ZZ )
10 zmulcl 9648 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( z x. y ) e. ZZ )
117, 9, 10syl2anr 290 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( z x. y ) e. ZZ )
126, 11zaddcld 9722 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) e. ZZ )
1312adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) e. ZZ )
14 nnmulcl 9275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( y x. w ) e. NN )
1514ad2ant2l 508 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( y x. w ) e. NN )
1615adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( y x. w ) e. NN )
17 oveq12 6067 . . . . . . . . 9 |- ( ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) -> ( A + B ) = ( ( x / y ) + ( z / w ) ) )
18 zcn 9599 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
19 zcn 9599 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ZZ -> z e. CC )
2018, 19anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( x e. CC /\ z e. CC ) )
21 nncn 9262 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y e. CC )
22 nnap0 9283 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> y # 0 )
2321, 22jca 306 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
24 nncn 9262 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w e. CC )
25 nnap0 9283 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. NN -> w # 0 )
2624, 25jca 306 . . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. NN -> ( w e. CC /\ w # 0 ) )
2723, 26anim12i 338 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. NN /\ w e. NN ) -> ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) )
28 divadddivap 9018 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. CC /\ z e. CC ) /\ ( ( y e. CC /\ y # 0 ) /\ ( w e. CC /\ w # 0 ) ) ) -> ( ( x / y ) + ( z / w ) ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) )
2920, 27, 28syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ZZ /\ z e. ZZ ) /\ ( y e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( x / y ) + ( z / w ) ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) )
3029an4s 592 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) -> ( ( x / y ) + ( z / w ) ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) )
3117, 30sylan9eqr 2289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A + B ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) )
32 rspceov 6101 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN /\ ( A + B ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) ) -> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A + B ) = ( v / u ) )
33 elq 9972 . . . . . . . . 9 |- ( ( A + B ) e. QQ <-> E. v e. ZZ E. u e. NN ( A + B ) = ( v / u ) )
3432, 33sylibr 134 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) e. ZZ /\ ( y x. w ) e. NN /\ ( A + B ) = ( ( ( x x. w ) + ( z x. y ) ) / ( y x. w ) ) ) -> ( A + B ) e. QQ )
3513, 16, 31, 34syl3anc 1274 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ ( z e. ZZ /\ w e. NN ) ) /\ ( A = ( x / y ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A + B ) e. QQ )
3635an4s 592 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) /\ A = ( x / y ) ) /\ ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) /\ B = ( z / w ) ) ) -> ( A + B ) e. QQ )
3736exp43 372 . . . . 5 |- ( ( x e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A + B ) e. QQ ) ) ) )
3837rexlimivv 2668 . . . 4 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( ( z e. ZZ /\ w e. NN ) -> ( B = ( z / w ) -> ( A + B ) e. QQ ) ) )
3938rexlimdvv 2669 . . 3 |- ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) -> ( E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) -> ( A + B ) e. QQ ) )
4039imp 124 . 2 |- ( ( E. x e. ZZ E. y e. NN A = ( x / y ) /\ E. z e. ZZ E. w e. NN B = ( z / w ) ) -> ( A + B ) e. QQ )
411, 2, 40syl2anb 291 1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ ) -> ( A + B ) e. QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   + caddc 8146   x. cmul 8148   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   ZZcz 9594   QQcq 9969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-q 9970
This theorem is referenced by:  qsubcl  9988  qrevaddcl  9994  flqbi2  10675  flqaddz  10681  flqdiv  10707  modqcyc  10745  modqadd1  10747  modqltm1p1mod  10762  modaddmodlo  10774  modsumfzodifsn  10782  addmodlteq  10784  pcaddlem  13062  pcadd2  13064  4sqlem5  13105  4sqlem6  13106  4sqlem10  13110  lgseisen  16073  apdifflemf  16956  apdiff  16958  qdiff  16959
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