ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recgt1i Unicode version

Theorem recgt1i 8294
Description: The reciprocal of a number greater than 1 is positive and less than 1. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
recgt1i  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 0  <  (
1  /  A )  /\  ( 1  /  A )  <  1
) )

Proof of Theorem recgt1i
StepHypRef Expression
1 0lt1 7554 . . . . 5  |-  0  <  1
2 0re 7432 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
3 1re 7431 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
4 lttr 7503 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
) )
52, 3, 4mp3an12 1261 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <  A )  ->  0  <  A
) )
61, 5mpani 421 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  <  A  ->  0  <  A ) )
76imdistani 434 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
8 recgt0 8246 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <  ( 1  /  A ) )
97, 8syl 14 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
0  <  ( 1  /  A ) )
10 recgt1 8293 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  <  A  <->  ( 1  /  A )  <  1 ) )
1110biimpa 290 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  1  <  A
)  ->  ( 1  /  A )  <  1 )
127, 11sylancom 411 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 1  /  A
)  <  1 )
139, 12jca 300 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <  A )  -> 
( 0  <  (
1  /  A )  /\  ( 1  /  A )  <  1
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1436   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613   RRcr 7293   0cc0 7294   1c1 7295    < clt 7466    / cdiv 8078
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-br 3821  df-opab 3875  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079
This theorem is referenced by:  recnz  8772
  Copyright terms: Public domain W3C validator