Theorem recgt1i 8858

Description: The reciprocal of a number greater than 1 is positive and less than 1. (Contributed by NM, 23-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recgt1i	|- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( 0 < ( 1 / A ) /\ ( 1 / A ) < 1 ) )

Proof of Theorem recgt1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1 8087	. . . . 5 |- 0 < 1
2		0re 7960	. . . . . 6 |- 0 e. RR
3		1re 7959	. . . . . 6 |- 1 e. RR
4		lttr 8034	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( 0 < 1 /\ 1 < A ) -> 0 < A ) )
5	2, 3, 4	mp3an12 1327	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( ( 0 < 1 /\ 1 < A ) -> 0 < A ) )
6	1, 5	mpani 430	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( 1 < A -> 0 < A ) )
7	6	imdistani 445	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( A e. RR /\ 0 < A ) )
8		recgt0 8810	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> 0 < ( 1 / A ) )
9	7, 8	syl 14	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> 0 < ( 1 / A ) )
10		recgt1 8857	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 < A <-> ( 1 / A ) < 1 ) )
11	10	biimpa 296	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ 0 < A ) /\ 1 < A ) -> ( 1 / A ) < 1 )
12	7, 11	sylancom 420	. 2 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( 1 / A ) < 1 )
13	9, 12	jca 306	1 |- ( ( A e. RR /\ 1 < A ) -> ( 0 < ( 1 / A ) /\ ( 1 / A ) < 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878   RRcr 7813   0cc0 7814   1c1 7815   < clt 7995   / cdiv 8632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633

This theorem is referenced by:  recnz  9349