ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  recidpipr GIF version

Theorem recidpipr 7874
Description: Another way of saying that a number times its reciprocal is one. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
recidpipr (๐‘ โˆˆ N โ†’ (โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ) = 1P)
Distinct variable group:   ๐‘,๐‘™,๐‘ข

Proof of Theorem recidpipr
StepHypRef Expression
1 nnnq 7440 . . 3 (๐‘ โˆˆ N โ†’ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q)
2 recclnq 7410 . . . 4 ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q โ†’ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) โˆˆ Q)
31, 2syl 14 . . 3 (๐‘ โˆˆ N โ†’ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) โˆˆ Q)
4 mulnqpr 7595 . . 3 (([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q โˆง (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) โˆˆ Q) โ†’ โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ))}, {๐‘ข โˆฃ ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )) <Q ๐‘ข}โŸฉ = (โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ))
51, 3, 4syl2anc 411 . 2 (๐‘ โˆˆ N โ†’ โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ))}, {๐‘ข โˆฃ ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )) <Q ๐‘ข}โŸฉ = (โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ))
6 recidnq 7411 . . . . . . 7 ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q โˆˆ Q โ†’ ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )) = 1Q)
71, 6syl 14 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ N โ†’ ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )) = 1Q)
87breq2d 4030 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ N โ†’ (๐‘™ <Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )) โ†” ๐‘™ <Q 1Q))
98abbidv 2307 . . . 4 (๐‘ โˆˆ N โ†’ {๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ))} = {๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q 1Q})
107breq1d 4028 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ N โ†’ (([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )) <Q ๐‘ข โ†” 1Q <Q ๐‘ข))
1110abbidv 2307 . . . 4 (๐‘ โˆˆ N โ†’ {๐‘ข โˆฃ ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )) <Q ๐‘ข} = {๐‘ข โˆฃ 1Q <Q ๐‘ข})
129, 11opeq12d 3801 . . 3 (๐‘ โˆˆ N โ†’ โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ))}, {๐‘ข โˆฃ ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )) <Q ๐‘ข}โŸฉ = โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q 1Q}, {๐‘ข โˆฃ 1Q <Q ๐‘ข}โŸฉ)
13 df-i1p 7485 . . 3 1P = โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q 1Q}, {๐‘ข โˆฃ 1Q <Q ๐‘ข}โŸฉ
1412, 13eqtr4di 2240 . 2 (๐‘ โˆˆ N โ†’ โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ))}, {๐‘ข โˆฃ ([โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ยทQ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )) <Q ๐‘ข}โŸฉ = 1P)
155, 14eqtr3d 2224 1 (๐‘ โˆˆ N โ†’ (โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q }, {๐‘ข โˆฃ [โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q <Q ๐‘ข}โŸฉ ยทP โŸจ{๐‘™ โˆฃ ๐‘™ <Q (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q )}, {๐‘ข โˆฃ (*Qโ€˜[โŸจ๐‘, 1oโŸฉ] ~Q ) <Q ๐‘ข}โŸฉ) = 1P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  {cab 2175  โŸจcop 3610   class class class wbr 4018  โ€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  1oc1o 6428  [cec 6551  Ncnpi 7290   ~Q ceq 7297  Qcnq 7298  1Qc1q 7299   ยทQ cmq 7301  *Qcrq 7302   <Q cltq 7303  1Pc1p 7310   ยทP cmp 7312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-1o 6435  df-2o 6436  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7322  df-pli 7323  df-mi 7324  df-lti 7325  df-plpq 7362  df-mpq 7363  df-enq 7365  df-nqqs 7366  df-plqqs 7367  df-mqqs 7368  df-1nqqs 7369  df-rq 7370  df-ltnqqs 7371  df-enq0 7442  df-nq0 7443  df-0nq0 7444  df-plq0 7445  df-mq0 7446  df-inp 7484  df-i1p 7485  df-imp 7487
This theorem is referenced by:  recidpirq  7876
  Copyright terms: Public domain W3C validator