Theorem rereb 10358

Description: A number is real iff it equals its real part. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 20-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rereb	|- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Re ` A ) = A ) )

Proof of Theorem rereb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 10354	. . . 4 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2	1	adantr 271	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A e. RR ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3		reim0 10356	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )
4	3	oveq2d 5682	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. 0 ) )
5		it0e0 8698	. . . . . 6 |- ( _i x. 0 ) = 0
6	4, 5	syl6eq 2137	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = 0 )
7	6	adantl 272	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A e. RR ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = 0 )
8	7	oveq2d 5682	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A e. RR ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + 0 ) )
9		recl 10348	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
10	9	recnd 7577	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
11	10	addid1d 7692	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + 0 ) = ( Re ` A ) )
12	11	adantr 271	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A e. RR ) -> ( ( Re ` A ) + 0 ) = ( Re ` A ) )
13	2, 8, 12	3eqtrrd 2126	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A e. RR ) -> ( Re ` A ) = A )
14		simpr 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) = A ) -> ( Re ` A ) = A )
15	9	adantr 271	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) = A ) -> ( Re ` A ) e. RR )
16	14, 15	eqeltrrd 2166	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) = A ) -> A e. RR )
17	13, 16	impbida 564	1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Re ` A ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1290   e. wcel 1439   ` cfv 5028  (class class class)co 5666   CCcc 7409   RRcr 7410   0cc0 7411   _ici 7413   + caddc 7414   x. cmul 7416   Recre 10335   Imcim 10336

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-cnex 7497  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-1re 7500  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-addrcl 7503  ax-mulcl 7504  ax-mulrcl 7505  ax-addcom 7506  ax-mulcom 7507  ax-addass 7508  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-i2m1 7511  ax-0lt1 7512  ax-1rid 7513  ax-0id 7514  ax-rnegex 7515  ax-precex 7516  ax-cnre 7517  ax-pre-ltirr 7518  ax-pre-ltwlin 7519  ax-pre-lttrn 7520  ax-pre-apti 7521  ax-pre-ltadd 7522  ax-pre-mulgt0 7523  ax-pre-mulext 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-xp 4458  df-rel 4459  df-cnv 4460  df-co 4461  df-dm 4462  df-rn 4463  df-res 4464  df-ima 4465  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-pnf 7585  df-mnf 7586  df-xr 7587  df-ltxr 7588  df-le 7589  df-sub 7716  df-neg 7717  df-reap 8113  df-ap 8120  df-div 8201  df-2 8542  df-cj 10337  df-re 10338  df-im 10339

This theorem is referenced by:  mulreap  10359  rere  10360  rerebi  10412  rerebd  10440  rennim  10496