Theorem rereb 10805

Description: A number is real iff it equals its real part. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 20-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rereb	|- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Re ` A ) = A ) )

Proof of Theorem rereb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 10801	. . . 4 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A e. RR ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3		reim0 10803	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )
4	3	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. 0 ) )
5		it0e0 9078	. . . . . 6 |- ( _i x. 0 ) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2215	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = 0 )
7	6	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ A e. RR ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = 0 )
8	7	oveq2d 5858	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A e. RR ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + 0 ) )
9		recl 10795	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
10	9	recnd 7927	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
11	10	addid1d 8047	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + 0 ) = ( Re ` A ) )
12	11	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ A e. RR ) -> ( ( Re ` A ) + 0 ) = ( Re ` A ) )
13	2, 8, 12	3eqtrrd 2203	. 2 |- ( ( A e. CC /\ A e. RR ) -> ( Re ` A ) = A )
14		simpr 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) = A ) -> ( Re ` A ) = A )
15	9	adantr 274	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) = A ) -> ( Re ` A ) e. RR )
16	14, 15	eqeltrrd 2244	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( Re ` A ) = A ) -> A e. RR )
17	13, 16	impbida 586	1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Re ` A ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   _ici 7755   + caddc 7756   x. cmul 7758   Recre 10782   Imcim 10783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-2 8916  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786

This theorem is referenced by:  mulreap  10806  rere  10807  rerebi  10859  rerebd  10887  rennim  10944