Theorem rereb 10886

Description: A number is real iff it equals its real part. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133. (Contributed by NM, 20-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rereb	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))

Proof of Theorem rereb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 10882	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
3		reim0 10884	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℑ‘𝐴) = 0)
4	3	oveq2d 5904	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · (ℑ‘𝐴)) = (i · 0))
5		it0e0 9154	. . . . . 6 ⊢ (i · 0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2236	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (i · (ℑ‘𝐴)) = 0)
7	6	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (i · (ℑ‘𝐴)) = 0)
8	7	oveq2d 5904	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐴) + 0))
9		recl 10876	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	recnd 8000	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
11	10	addid1d 8120	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
12	11	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐴) + 0) = (ℜ‘𝐴))
13	2, 8, 12	3eqtrrd 2225	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
14		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = 𝐴) → (ℜ‘𝐴) = 𝐴)
15	9	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = 𝐴) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
16	14, 15	eqeltrrd 2265	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	13, 16	impbida 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℜ‘𝐴) = 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℂcc 7823  ℝcr 7824  0cc0 7825  ici 7827   + caddc 7828   · cmul 7830  ℜcre 10863  ℑcim 10864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-2 8992  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867

This theorem is referenced by:  mulreap  10887  rere  10888  rerebi  10940  rerebd  10968  rennim  11025