ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reim0b Unicode version

Theorem reim0b 10137
Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
reim0b  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )

Proof of Theorem reim0b
StepHypRef Expression
1 reim0 10136 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
2 replim 10134 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
32adantr 270 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  =  ( (
Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
4 oveq2 5602 . . . . . . . 8  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
5 it0e0 8547 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
64, 5syl6eq 2133 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  =  0 )
76oveq2d 5610 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  A )  =  0  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  +  0 ) )
8 recl 10128 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
98recnd 7437 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
109addid1d 7552 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  0 )  =  ( Re `  A ) )
117, 10sylan9eqr 2139 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  -> 
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  =  ( Re
`  A ) )
123, 11eqtrd 2117 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  =  ( Re `  A ) )
138adantr 270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
1412, 13eqeltrd 2161 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  A )  =  0 )  ->  A  e.  RR )
1514ex 113 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  =  0  ->  A  e.  RR )
)
161, 15impbid2 141 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Im `  A )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436   ` cfv 4972  (class class class)co 5594   CCcc 7269   RRcr 7270   0cc0 7271   _ici 7273    + caddc 7274    x. cmul 7276   Recre 10115   Imcim 10116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-2 8393  df-cj 10117  df-re 10118  df-im 10119
This theorem is referenced by:  cjreb  10141  reim0bi  10191  reim0bd  10219
  Copyright terms: Public domain W3C validator