Theorem reim0b 11440

Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reim0b	|- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )

Proof of Theorem reim0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reim0 11439	. 2 |- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )
2		replim 11437	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
4		oveq2 6026	. . . . . . . 8 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. 0 ) )
5		it0e0 9365	. . . . . . . 8 |- ( _i x. 0 ) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2280	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = 0 )
7	6	oveq2d 6034	. . . . . 6 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + 0 ) )
8		recl 11431	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
9	8	recnd 8208	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
10	9	addridd 8328	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + 0 ) = ( Re ` A ) )
11	7, 10	sylan9eqr 2286	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( Re ` A ) )
12	3, 11	eqtrd 2264	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A = ( Re ` A ) )
13	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( Re ` A ) e. RR )
14	12, 13	eqeltrd 2308	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A e. RR )
15	14	ex 115	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 -> A e. RR ) )
16	1, 15	impbid2 143	1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   CCcc 8030   RRcr 8031   0cc0 8032   _ici 8034   + caddc 8035   x. cmul 8037   Recre 11418   Imcim 11419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-2 9202  df-cj 11420  df-re 11421  df-im 11422

This theorem is referenced by:  cjreb  11444  reim0bi  11494  reim0bd  11522  absefib  12350  efieq1re  12351