Theorem reim0b 10292

Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reim0b	|- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )

Proof of Theorem reim0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reim0 10291	. 2 |- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )
2		replim 10289	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3	2	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
4		oveq2 5660	. . . . . . . 8 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. 0 ) )
5		it0e0 8635	. . . . . . . 8 |- ( _i x. 0 ) = 0
6	4, 5	syl6eq 2136	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = 0 )
7	6	oveq2d 5668	. . . . . 6 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + 0 ) )
8		recl 10283	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
9	8	recnd 7514	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
10	9	addid1d 7629	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + 0 ) = ( Re ` A ) )
11	7, 10	sylan9eqr 2142	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( Re ` A ) )
12	3, 11	eqtrd 2120	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A = ( Re ` A ) )
13	8	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( Re ` A ) e. RR )
14	12, 13	eqeltrd 2164	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A e. RR )
15	14	ex 113	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 -> A e. RR ) )
16	1, 15	impbid2 141	1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7346   RRcr 7347   0cc0 7348   _ici 7350   + caddc 7351   x. cmul 7353   Recre 10270   Imcim 10271

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-2 8479  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274

This theorem is referenced by:  cjreb  10296  reim0bi  10346  reim0bd  10374  absefib  11056  efieq1re  11057