Theorem reim0b 10137

Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reim0b	|- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )

Proof of Theorem reim0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reim0 10136	. 2 |- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )
2		replim 10134	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3	2	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
4		oveq2 5602	. . . . . . . 8 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. 0 ) )
5		it0e0 8547	. . . . . . . 8 |- ( _i x. 0 ) = 0
6	4, 5	syl6eq 2133	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = 0 )
7	6	oveq2d 5610	. . . . . 6 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + 0 ) )
8		recl 10128	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
9	8	recnd 7437	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
10	9	addid1d 7552	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + 0 ) = ( Re ` A ) )
11	7, 10	sylan9eqr 2139	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( Re ` A ) )
12	3, 11	eqtrd 2117	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A = ( Re ` A ) )
13	8	adantr 270	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( Re ` A ) e. RR )
14	12, 13	eqeltrd 2161	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A e. RR )
15	14	ex 113	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 -> A e. RR ) )
16	1, 15	impbid2 141	1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1287   e. wcel 1436   ` cfv 4972  (class class class)co 5594   CCcc 7269   RRcr 7270   0cc0 7271   _ici 7273   + caddc 7274   x. cmul 7276   Recre 10115   Imcim 10116

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-mulrcl 7365  ax-addcom 7366  ax-mulcom 7367  ax-addass 7368  ax-mulass 7369  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-1rid 7373  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-precex 7376  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-apti 7381  ax-pre-ltadd 7382  ax-pre-mulgt0 7383  ax-pre-mulext 7384

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-po 4090  df-iso 4091  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-reap 7970  df-ap 7977  df-div 8056  df-2 8393  df-cj 10117  df-re 10118  df-im 10119

This theorem is referenced by:  cjreb  10141  reim0bi  10191  reim0bd  10219