Theorem reim0b 11627

Description: A number is real iff its imaginary part is 0. (Contributed by NM, 26-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
reim0b	|- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )

Proof of Theorem reim0b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reim0 11626	. 2 |- ( A e. RR -> ( Im ` A ) = 0 )
2		replim 11624	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
3	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
4		oveq2 6093	. . . . . . . 8 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = ( _i x. 0 ) )
5		it0e0 9526	. . . . . . . 8 |- ( _i x. 0 ) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( _i x. ( Im ` A ) ) = 0 )
7	6	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( ( Im ` A ) = 0 -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( ( Re ` A ) + 0 ) )
8		recl 11618	. . . . . . . 8 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
9	8	recnd 8354	. . . . . . 7 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
10	9	addridd 8475	. . . . . 6 |- ( A e. CC -> ( ( Re ` A ) + 0 ) = ( Re ` A ) )
11	7, 10	sylan9eqr 2293	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) = ( Re ` A ) )
12	3, 11	eqtrd 2271	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A = ( Re ` A ) )
13	8	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> ( Re ` A ) e. RR )
14	12, 13	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( Im ` A ) = 0 ) -> A e. RR )
15	14	ex 115	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( Im ` A ) = 0 -> A e. RR ) )
16	1, 15	impbid2 143	1 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Im ` A ) = 0 ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   _ici 8181   + caddc 8182   x. cmul 8184   Recre 11605   Imcim 11606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-2 9363  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609

This theorem is used by:  cjreb  11631  sq01  11660  reim0bi  11682  reim0bd  11710  absefib  12538  efieq1re  12539