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Theorem mulreap 11504
Description: A product with a real multiplier apart from zero is real iff the multiplicand is real. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulreap |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A e. RR <-> ( B x. A ) e. RR ) )
Proof of Theorem mulreap
StepHypRef Expression
1 rereb 11503 . . 3 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( Re ` A ) = A ) )
213ad2ant1 1045 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A e. RR <-> ( Re ` A ) = A ) )
3 recl 11493 . . . . 5 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. RR )
43recnd 8267 . . . 4 |- ( A e. CC -> ( Re ` A ) e. CC )
543ad2ant1 1045 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( Re ` A ) e. CC )
6 simp1 1024 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> A e. CC )
7 recn 8225 . . . . 5 |- ( B e. RR -> B e. CC )
87anim1i 340 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ B # 0 ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
983adant1 1042 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
10 mulcanap 8904 . . 3 |- ( ( ( Re ` A ) e. CC /\ A e. CC /\ ( B e. CC /\ B # 0 ) ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( Re ` A ) = A ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1274 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( Re ` A ) = A ) )
127adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> B e. CC )
134adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( Re ` A ) e. CC )
14 ax-icn 8187 . . . . . . . . . . . 12 |- _i e. CC
15 imcl 11494 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. RR )
1615recnd 8267 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. CC -> ( Im ` A ) e. CC )
17 mulcl 8219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
1814, 16, 17sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
1918adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` A ) ) e. CC )
2012, 13, 19adddid 8263 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
21 replim 11499 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. CC -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2221adantl 277 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> A = ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2322oveq2d 6044 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. A ) = ( B x. ( ( Re ` A ) + ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
24 mul12 8367 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ B e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) = ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2514, 24mp3an1 1361 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. CC /\ ( Im ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) = ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
267, 16, 25syl2an 289 . . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) = ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) )
2726oveq2d 6044 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) = ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( B x. ( _i x. ( Im ` A ) ) ) ) )
2820, 23, 273eqtr4d 2274 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. A ) = ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) )
2928fveq2d 5652 . . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( Re ` ( B x. A ) ) = ( Re ` ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) ) )
30 remulcl 8220 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ ( Re ` A ) e. RR ) -> ( B x. ( Re ` A ) ) e. RR )
313, 30sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. ( Re ` A ) ) e. RR )
32 remulcl 8220 . . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR /\ ( Im ` A ) e. RR ) -> ( B x. ( Im ` A ) ) e. RR )
3315, 32sylan2 286 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. ( Im ` A ) ) e. RR )
34 crre 11497 . . . . . . . 8 |- ( ( ( B x. ( Re ` A ) ) e. RR /\ ( B x. ( Im ` A ) ) e. RR ) -> ( Re ` ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( B x. ( Re ` A ) ) )
3531, 33, 34syl2anc 411 . . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( Re ` ( ( B x. ( Re ` A ) ) + ( _i x. ( B x. ( Im ` A ) ) ) ) ) = ( B x. ( Re ` A ) ) )
3629, 35eqtr2d 2265 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. ( Re ` A ) ) = ( Re ` ( B x. A ) ) )
3736eqeq1d 2240 . . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( Re ` ( B x. A ) ) = ( B x. A ) ) )
38 mulcl 8219 . . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( B x. A ) e. CC )
397, 38sylan 283 . . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( B x. A ) e. CC )
40 rereb 11503 . . . . . 6 |- ( ( B x. A ) e. CC -> ( ( B x. A ) e. RR <-> ( Re ` ( B x. A ) ) = ( B x. A ) ) )
4139, 40syl 14 . . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( ( B x. A ) e. RR <-> ( Re ` ( B x. A ) ) = ( B x. A ) ) )
4237, 41bitr4d 191 . . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. CC ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( B x. A ) e. RR ) )
4342ancoms 268 . . 3 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( B x. A ) e. RR ) )
44433adant3 1044 . 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( ( B x. ( Re ` A ) ) = ( B x. A ) <-> ( B x. A ) e. RR ) )
452, 11, 443bitr2d 216 1 |- ( ( A e. CC /\ B e. RR /\ B # 0 ) -> ( A e. RR <-> ( B x. A ) e. RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   CCcc 8090   RRcr 8091   0cc0 8092   _ici 8094   + caddc 8095   x. cmul 8097   # cap 8820   Recre 11480   Imcim 11481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-2 9261  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484
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