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Theorem mulreap 10775
Description: A product with a real multiplier apart from zero is real iff the multiplicand is real. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
mulreap  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B #  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )

Proof of Theorem mulreap
StepHypRef Expression
1 rereb 10774 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
213ad2ant1 1003 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B #  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
3 recl 10764 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
43recnd 7908 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
543ad2ant1 1003 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B #  0 )  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
6 simp1 982 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B #  0 )  ->  A  e.  CC )
7 recn 7867 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
87anim1i 338 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B #  0 )  ->  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )
983adant1 1000 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B #  0 )  ->  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )
10 mulcanap 8543 . . 3  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )  -> 
( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1220 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B #  0 )  ->  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
127adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
134adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
14 ax-icn 7829 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  e.  CC
15 imcl 10765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1615recnd 7908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
17 mulcl 7861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
1814, 16, 17sylancr 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
1918adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
2012, 13, 19adddid 7904 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( B  x.  ( Re
`  A ) )  +  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
21 replim 10770 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2221adantl 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  A  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2322oveq2d 5842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  =  ( B  x.  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
24 mul12 8008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( B  x.  ( Im `  A
) ) )  =  ( B  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2514, 24mp3an1 1306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
267, 16, 25syl2an 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2726oveq2d 5842 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( B  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
2820, 23, 273eqtr4d 2200 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  =  ( ( B  x.  ( Re
`  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
2928fveq2d 5474 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  ( B  x.  A )
)  =  ( Re
`  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
30 remulcl 7862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
313, 30sylan2 284 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
32 remulcl 7862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )
3315, 32sylan2 284 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )
34 crre 10768 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR  /\  ( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( B  x.  ( Re `  A ) ) )
3531, 33, 34syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( B  x.  ( Re `  A ) ) )
3629, 35eqtr2d 2191 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( Re
`  ( B  x.  A ) ) )
3736eqeq1d 2166 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  ( B  x.  A
) )  =  ( B  x.  A ) ) )
38 mulcl 7861 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  e.  CC )
397, 38sylan 281 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  e.  CC )
40 rereb 10774 . . . . . 6  |-  ( ( B  x.  A )  e.  CC  ->  (
( B  x.  A
)  e.  RR  <->  ( Re `  ( B  x.  A
) )  =  ( B  x.  A ) ) )
4139, 40syl 14 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  A )  e.  RR  <->  ( Re `  ( B  x.  A ) )  =  ( B  x.  A ) ) )
4237, 41bitr4d 190 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
4342ancoms 266 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
44433adant3 1002 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B #  0 )  ->  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
452, 11, 443bitr2d 215 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B #  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   class class class wbr 3967   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   CCcc 7732   RRcr 7733   0cc0 7734   _ici 7736    + caddc 7737    x. cmul 7739   # cap 8460   Recre 10751   Imcim 10752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-2 8897  df-cj 10753  df-re 10754  df-im 10755
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