Theorem recosval 12483

Description: The cosine of a real number in terms of the exponential function. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
recosval	|- ( A e. RR -> ( cos ` A ) = ( Re ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) )

Proof of Theorem recosval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 8274	. . . . . . . 8 |- _i e. CC
2		recn 8312	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> A e. CC )
3		cjmul 11650	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( * ` ( _i x. A ) ) = ( ( * ` _i ) x. ( * ` A ) ) )
4	1, 2, 3	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( * ` ( _i x. A ) ) = ( ( * ` _i ) x. ( * ` A ) ) )
5		cji 11668	. . . . . . . . 9 |- ( * ` _i ) = -u _i
6	5	oveq1i 6095	. . . . . . . 8 |- ( ( * ` _i ) x. ( * ` A ) ) = ( -u _i x. ( * ` A ) )
7		cjre 11647	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( * ` A ) = A )
8	7	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( -u _i x. ( * ` A ) ) = ( -u _i x. A ) )
9	6, 8	eqtrid 2283	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( ( * ` _i ) x. ( * ` A ) ) = ( -u _i x. A ) )
10	4, 9	eqtrd 2271	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( * ` ( _i x. A ) ) = ( -u _i x. A ) )
11	10	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( exp ` ( * ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` ( -u _i x. A ) ) )
12		mulcl 8306	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
13	1, 2, 12	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( _i x. A ) e. CC )
14		efcj 12440	. . . . . 6 |- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( exp ` ( * ` ( _i x. A ) ) ) = ( * ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) )
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( exp ` ( * ` ( _i x. A ) ) ) = ( * ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) )
16	11, 15	eqtr3d 2273	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) = ( * ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) )
17	16	oveq2d 6101	. . 3 |- ( A e. RR -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) + ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) + ( * ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) ) )
18	17	oveq1d 6100	. 2 |- ( A e. RR -> ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) + ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / 2 ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) + ( * ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) ) / 2 ) )
19		cosval 12470	. . 3 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) + ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / 2 ) )
20	2, 19	syl 14	. 2 |- ( A e. RR -> ( cos ` A ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) + ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / 2 ) )
21		efcl 12431	. . 3 |- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) e. CC )
22		reval 11614	. . 3 |- ( ( exp ` ( _i x. A ) ) e. CC -> ( Re ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) + ( * ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) ) / 2 ) )
23	13, 21, 22	3syl 17	. 2 |- ( A e. RR -> ( Re ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) + ( * ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) ) / 2 ) )
24	18, 20, 23	3eqtr4d 2281	1 |- ( A e. RR -> ( cos ` A ) = ( Re ` ( exp ` ( _i x. A ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   _ici 8181   + caddc 8182   x. cmul 8184   -ucneg 8498   / cdiv 9002   2c2 9355   *ccj 11604   Recre 11605   expce 12409   cosccos 12412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-ico 10296  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-fac 11164  df-ihash 11215  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120  df-ef 12415  df-cos 12418

This theorem is used by:  recos4p  12486  recoscl  12488  cos0  12497