![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ringmneg2 | GIF version |
Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 8366 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
ringneglmul.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
ringneglmul.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
ringneglmul.n | โข ๐ = (invgโ๐ ) |
ringneglmul.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
ringneglmul.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
ringneglmul.y | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
ringmneg2 | โข (๐ โ (๐ ยท (๐โ๐)) = (๐โ(๐ ยท ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ringneglmul.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
2 | ringneglmul.x | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
3 | ringneglmul.y | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
4 | ringgrp 13238 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) | |
5 | 1, 4 | syl 14 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Grp) |
6 | ringneglmul.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
7 | eqid 2187 | . . . . . 6 โข (1rโ๐ ) = (1rโ๐ ) | |
8 | 6, 7 | ringidcl 13257 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ (1rโ๐ ) โ ๐ต) |
9 | 1, 8 | syl 14 | . . . 4 โข (๐ โ (1rโ๐ ) โ ๐ต) |
10 | ringneglmul.n | . . . . 5 โข ๐ = (invgโ๐ ) | |
11 | 6, 10 | grpinvcl 12942 | . . . 4 โข ((๐ โ Grp โง (1rโ๐ ) โ ๐ต) โ (๐โ(1rโ๐ )) โ ๐ต) |
12 | 5, 9, 11 | syl2anc 411 | . . 3 โข (๐ โ (๐โ(1rโ๐ )) โ ๐ต) |
13 | ringneglmul.t | . . . 4 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
14 | 6, 13 | ringass 13253 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต โง (๐โ(1rโ๐ )) โ ๐ต)) โ ((๐ ยท ๐) ยท (๐โ(1rโ๐ ))) = (๐ ยท (๐ ยท (๐โ(1rโ๐ ))))) |
15 | 1, 2, 3, 12, 14 | syl13anc 1250 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐) ยท (๐โ(1rโ๐ ))) = (๐ ยท (๐ ยท (๐โ(1rโ๐ ))))) |
16 | 6, 13 | ringcl 13250 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
17 | 1, 2, 3, 16 | syl3anc 1248 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
18 | 6, 13, 7, 10, 1, 17 | ringnegr 13287 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐) ยท (๐โ(1rโ๐ ))) = (๐โ(๐ ยท ๐))) |
19 | 6, 13, 7, 10, 1, 3 | ringnegr 13287 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ยท (๐โ(1rโ๐ ))) = (๐โ๐)) |
20 | 19 | oveq2d 5904 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท (๐ ยท (๐โ(1rโ๐ )))) = (๐ ยท (๐โ๐))) |
21 | 15, 18, 20 | 3eqtr3rd 2229 | 1 โข (๐ โ (๐ ยท (๐โ๐)) = (๐โ(๐ ยท ๐))) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1363 โ wcel 2158 โcfv 5228 (class class class)co 5888 Basecbs 12475 .rcmulr 12551 Grpcgrp 12896 invgcminusg 12897 1rcur 13196 Ringcrg 13233 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-coll 4130 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-cnex 7915 ax-resscn 7916 ax-1cn 7917 ax-1re 7918 ax-icn 7919 ax-addcl 7920 ax-addrcl 7921 ax-mulcl 7922 ax-addcom 7924 ax-addass 7926 ax-i2m1 7929 ax-0lt1 7930 ax-0id 7932 ax-rnegex 7933 ax-pre-ltirr 7936 ax-pre-ltadd 7940 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-csb 3070 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-nul 3435 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-int 3857 df-iun 3900 df-br 4016 df-opab 4077 df-mpt 4078 df-id 4305 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-rn 4649 df-res 4650 df-ima 4651 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fn 5231 df-f 5232 df-f1 5233 df-fo 5234 df-f1o 5235 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-pnf 8007 df-mnf 8008 df-ltxr 8010 df-inn 8933 df-2 8991 df-3 8992 df-ndx 12478 df-slot 12479 df-base 12481 df-sets 12482 df-plusg 12563 df-mulr 12564 df-0g 12724 df-mgm 12793 df-sgrp 12826 df-mnd 12837 df-grp 12899 df-minusg 12900 df-mgp 13163 df-ur 13197 df-ring 13235 |
This theorem is referenced by: ringm2neg 13290 ringsubdi 13291 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |