Theorem ringmneg2 13891

Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 8488 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringmneg2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem ringmneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringneglmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringneglmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringgrp 13838	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		ringneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	6, 7	ringidcl 13857	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
9	1, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10		ringneglmul.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
11	6, 10	grpinvcl 13455	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
12	5, 9, 11	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
13		ringneglmul.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	6, 13	ringass 13853	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅)))))
15	1, 2, 3, 12, 14	syl13anc 1252	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅)))))
16	6, 13	ringcl 13850	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	1, 2, 3, 16	syl3anc 1250	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	6, 13, 7, 10, 1, 17	ringnegr 13889	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
19	6, 13, 7, 10, 1, 3	ringnegr 13889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘𝑌))
20	19	oveq2d 5973	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅)))) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)))
21	15, 18, 20	3eqtr3rd 2248	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  Basecbs 12907  ._rcmulr 12985  Grpcgrp 13407  inv_gcminusg 13408  1_rcur 13796  Ringcrg 13833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-mgp 13758  df-ur 13797  df-ring 13835

This theorem is referenced by:  ringm2neg  13892  ringsubdi  13893