ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringmneg2 GIF version

Theorem ringmneg2 13373
Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 8372 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ringneglmul.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
ringneglmul.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
ringneglmul.n ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
ringneglmul.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
ringneglmul.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
ringneglmul.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
Assertion
Ref Expression
ringmneg2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) = (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))

Proof of Theorem ringmneg2
StepHypRef Expression
1 ringneglmul.r . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
2 ringneglmul.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3 ringneglmul.y . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)
4 ringgrp 13322 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
51, 4syl 14 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp)
6 ringneglmul.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
7 eqid 2189 . . . . . 6 (1rโ€˜๐‘…) = (1rโ€˜๐‘…)
86, 7ringidcl 13341 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
91, 8syl 14 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต)
10 ringneglmul.n . . . . 5 ๐‘ = (invgโ€˜๐‘…)
116, 10grpinvcl 12964 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Grp โˆง (1rโ€˜๐‘…) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โˆˆ ๐ต)
125, 9, 11syl2anc 411 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โˆˆ ๐ต)
13 ringneglmul.t . . . 4 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
146, 13ringass 13337 . . 3 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)) โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) ยท (๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…))) = (๐‘‹ ยท (๐‘Œ ยท (๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))))
151, 2, 3, 12, 14syl13anc 1251 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) ยท (๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…))) = (๐‘‹ ยท (๐‘Œ ยท (๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))))
166, 13ringcl 13334 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
171, 2, 3, 16syl3anc 1249 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โˆˆ ๐ต)
186, 13, 7, 10, 1, 17ringnegr 13371 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) ยท (๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…))) = (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
196, 13, 7, 10, 1, 3ringnegr 13371 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ ยท (๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…))) = (๐‘โ€˜๐‘Œ))
2019oveq2d 5907 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘Œ ยท (๐‘โ€˜(1rโ€˜๐‘…)))) = (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)))
2115, 18, 203eqtr3rd 2231 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ ยท (๐‘โ€˜๐‘Œ)) = (๐‘โ€˜(๐‘‹ ยท ๐‘Œ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  โ€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  Basecbs 12486  .rcmulr 12562  Grpcgrp 12917  invgcminusg 12918  1rcur 13280  Ringcrg 13317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-addass 7932  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-ltxr 8016  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-base 12492  df-sets 12493  df-plusg 12574  df-mulr 12575  df-0g 12735  df-mgm 12804  df-sgrp 12837  df-mnd 12850  df-grp 12920  df-minusg 12921  df-mgp 13242  df-ur 13281  df-ring 13319
This theorem is referenced by:  ringm2neg  13374  ringsubdi  13375
  Copyright terms: Public domain W3C validator