Theorem ringmneg2 14466

Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 8730 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringmneg2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem ringmneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringneglmul.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringneglmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringneglmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		ringgrp 14412	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
5	1, 4	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
6		ringneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
8	6, 7	ringidcl 14432	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
9	1, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
10		ringneglmul.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
11	6, 10	grpinvcl 13912	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
12	5, 9, 11	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)
13		ringneglmul.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	6, 13	ringass 14427	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘(1r‘𝑅)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅)))))
15	1, 2, 3, 12, 14	syl13anc 1280	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅)))))
16	6, 13	ringcl 14424	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	1, 2, 3, 16	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	6, 13, 7, 10, 1, 17	ringnegr 14464	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))
19	6, 13, 7, 10, 1, 3	ringnegr 14464	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅))) = (𝑁‘𝑌))
20	19	oveq2d 6104	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑌 · (𝑁‘(1r‘𝑅)))) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)))
21	15, 18, 20	3eqtr3rd 2280	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13410  ._rcmulr 13491  Grpcgrp 13864  inv_gcminusg 13865  1_rcur 14369  Ringcrg 14407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409

This theorem is used by:  ringm2neg  14467  ringsubdi  14468