![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ringmneg2 | GIF version |
Description: Negation of a product in a ring. (mulneg2 8372 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
ringneglmul.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ ) |
ringneglmul.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
ringneglmul.n | โข ๐ = (invgโ๐ ) |
ringneglmul.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
ringneglmul.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
ringneglmul.y | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
Ref | Expression |
---|---|
ringmneg2 | โข (๐ โ (๐ ยท (๐โ๐)) = (๐โ(๐ ยท ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ringneglmul.r | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
2 | ringneglmul.x | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
3 | ringneglmul.y | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
4 | ringgrp 13322 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Grp) | |
5 | 1, 4 | syl 14 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Grp) |
6 | ringneglmul.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐ ) | |
7 | eqid 2189 | . . . . . 6 โข (1rโ๐ ) = (1rโ๐ ) | |
8 | 6, 7 | ringidcl 13341 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ (1rโ๐ ) โ ๐ต) |
9 | 1, 8 | syl 14 | . . . 4 โข (๐ โ (1rโ๐ ) โ ๐ต) |
10 | ringneglmul.n | . . . . 5 โข ๐ = (invgโ๐ ) | |
11 | 6, 10 | grpinvcl 12964 | . . . 4 โข ((๐ โ Grp โง (1rโ๐ ) โ ๐ต) โ (๐โ(1rโ๐ )) โ ๐ต) |
12 | 5, 9, 11 | syl2anc 411 | . . 3 โข (๐ โ (๐โ(1rโ๐ )) โ ๐ต) |
13 | ringneglmul.t | . . . 4 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
14 | 6, 13 | ringass 13337 | . . 3 โข ((๐ โ Ring โง (๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต โง (๐โ(1rโ๐ )) โ ๐ต)) โ ((๐ ยท ๐) ยท (๐โ(1rโ๐ ))) = (๐ ยท (๐ ยท (๐โ(1rโ๐ ))))) |
15 | 1, 2, 3, 12, 14 | syl13anc 1251 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐) ยท (๐โ(1rโ๐ ))) = (๐ ยท (๐ ยท (๐โ(1rโ๐ ))))) |
16 | 6, 13 | ringcl 13334 | . . . 4 โข ((๐ โ Ring โง ๐ โ ๐ต โง ๐ โ ๐ต) โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
17 | 1, 2, 3, 16 | syl3anc 1249 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ยท ๐) โ ๐ต) |
18 | 6, 13, 7, 10, 1, 17 | ringnegr 13371 | . 2 โข (๐ โ ((๐ ยท ๐) ยท (๐โ(1rโ๐ ))) = (๐โ(๐ ยท ๐))) |
19 | 6, 13, 7, 10, 1, 3 | ringnegr 13371 | . . 3 โข (๐ โ (๐ ยท (๐โ(1rโ๐ ))) = (๐โ๐)) |
20 | 19 | oveq2d 5907 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท (๐ ยท (๐โ(1rโ๐ )))) = (๐ ยท (๐โ๐))) |
21 | 15, 18, 20 | 3eqtr3rd 2231 | 1 โข (๐ โ (๐ ยท (๐โ๐)) = (๐โ(๐ ยท ๐))) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1364 โ wcel 2160 โcfv 5231 (class class class)co 5891 Basecbs 12486 .rcmulr 12562 Grpcgrp 12917 invgcminusg 12918 1rcur 13280 Ringcrg 13317 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-setind 4551 ax-cnex 7921 ax-resscn 7922 ax-1cn 7923 ax-1re 7924 ax-icn 7925 ax-addcl 7926 ax-addrcl 7927 ax-mulcl 7928 ax-addcom 7930 ax-addass 7932 ax-i2m1 7935 ax-0lt1 7936 ax-0id 7938 ax-rnegex 7939 ax-pre-ltirr 7942 ax-pre-ltadd 7946 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ne 2361 df-nel 2456 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-dif 3146 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-nul 3438 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4308 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-f1 5236 df-fo 5237 df-f1o 5238 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-oprab 5895 df-mpo 5896 df-pnf 8013 df-mnf 8014 df-ltxr 8016 df-inn 8939 df-2 8997 df-3 8998 df-ndx 12489 df-slot 12490 df-base 12492 df-sets 12493 df-plusg 12574 df-mulr 12575 df-0g 12735 df-mgm 12804 df-sgrp 12837 df-mnd 12850 df-grp 12920 df-minusg 12921 df-mgp 13242 df-ur 13281 df-ring 13319 |
This theorem is referenced by: ringm2neg 13374 ringsubdi 13375 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |