Theorem dvrcan3 14105

Description: A cancellation law for division. (divcanap3 8845 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrass.b	|- B = ( Base ` R )
dvrass.o	|- U = (Unit ` R )
dvrass.d	|- ./ = (/r ` R )
dvrass.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvrcan3	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Y ) = X )

Proof of Theorem dvrcan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. Ring )
2		simp2 1022	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> X e. B )
3		dvrass.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
5		dvrass.o	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
7		ringsrg 14010	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
8	1, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. SRing )
9		simp3 1023	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. U )
10	4, 6, 8, 9	unitcld 14072	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. B )
11		dvrass.d	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
12		dvrass.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
13	3, 5, 11, 12	dvrass 14103	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Y e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Y ) = ( X .x. ( Y ./ Y ) ) )
14	1, 2, 10, 9, 13	syl13anc 1273	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Y ) = ( X .x. ( Y ./ Y ) ) )
15		eqid 2229	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
16	5, 11, 15	dvrid 14101	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( Y ./ Y ) = ( 1r ` R ) )
17	16	3adant2 1040	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( Y ./ Y ) = ( 1r ` R ) )
18	17	oveq2d 6017	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( Y ./ Y ) ) = ( X .x. ( 1r ` R ) ) )
19	3, 12, 15	ringridm 13987	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
20	19	3adant3 1041	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
21	14, 18, 20	3eqtrd 2266	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Y ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Basecbs 13032   .rcmulr 13111   1rcur 13922  SRingcsrg 13926   Ringcrg 13959  Unitcui 14050  /_rcdvr 14095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-tpos 6391  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-cmn 13823  df-abl 13824  df-mgp 13884  df-ur 13923  df-srg 13927  df-ring 13961  df-oppr 14031  df-dvdsr 14052  df-unit 14053  df-invr 14085  df-dvr 14096

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15751