Theorem dvrcan3 14154

Description: A cancellation law for division. (divcanap3 8877 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrass.b	|- B = ( Base ` R )
dvrass.o	|- U = (Unit ` R )
dvrass.d	|- ./ = (/r ` R )
dvrass.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvrcan3	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Y ) = X )

Proof of Theorem dvrcan3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1023	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. Ring )
2		simp2 1024	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> X e. B )
3		dvrass.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
5		dvrass.o	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
7		ringsrg 14059	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
8	1, 7	syl 14	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. SRing )
9		simp3 1025	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. U )
10	4, 6, 8, 9	unitcld 14121	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. B )
11		dvrass.d	. . . 4 |- ./ = (/r ` R )
12		dvrass.t	. . . 4 |- .x. = ( .r ` R )
13	3, 5, 11, 12	dvrass 14152	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Y e. U ) ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Y ) = ( X .x. ( Y ./ Y ) ) )
14	1, 2, 10, 9, 13	syl13anc 1275	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Y ) = ( X .x. ( Y ./ Y ) ) )
15		eqid 2231	. . . . 5 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
16	5, 11, 15	dvrid 14150	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( Y ./ Y ) = ( 1r ` R ) )
17	16	3adant2 1042	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( Y ./ Y ) = ( 1r ` R ) )
18	17	oveq2d 6033	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( Y ./ Y ) ) = ( X .x. ( 1r ` R ) ) )
19	3, 12, 15	ringridm 14036	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
20	19	3adant3 1043	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
21	14, 18, 20	3eqtrd 2268	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. Y ) ./ Y ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Basecbs 13081   .rcmulr 13160   1rcur 13971  SRingcsrg 13975   Ringcrg 14008  Unitcui 14099  /_rcdvr 14144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-tpos 6410  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-cmn 13872  df-abl 13873  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-srg 13976  df-ring 14010  df-oppr 14080  df-dvdsr 14101  df-unit 14102  df-invr 14134  df-dvr 14145

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15800