Theorem dvrcan1 14447

Description: A cancellation law for division. (divcanap1 9011 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrass.b	|- B = ( Base ` R )
dvrass.o	|- U = (Unit ` R )
dvrass.d	|- ./ = (/r ` R )
dvrass.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvrcan1	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = X )

Proof of Theorem dvrcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrass.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
3		dvrass.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> .x. = ( .r ` R ) )
5		dvrass.o	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
7		eqid 2238	. . . . 5 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( invr ` R ) = ( invr ` R ) )
9		dvrass.d	. . . . 5 |- ./ = (/r ` R )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ./ = (/r ` R ) )
11		simp1 1028	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. Ring )
12		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> X e. B )
13		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. U )
14	2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13	dvrvald 14441	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X ./ Y ) = ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) )
15	14	oveq1d 6100	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) )
16	5, 7, 1	ringinvcl 14432	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B )
17	16	3adant2 1047	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B )
18		ringsrg 14352	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
19	11, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. SRing )
20	2, 6, 19, 13	unitcld 14415	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. B )
21	1, 3	ringass 14320	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) = ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) )
22	11, 12, 17, 20, 21	syl13anc 1280	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) = ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) )
23		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
24	5, 7, 3, 23	unitlinv 14433	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) = ( 1r ` R ) )
25	24	3adant2 1047	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) = ( 1r ` R ) )
26	25	oveq2d 6101	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) = ( X .x. ( 1r ` R ) ) )
27	1, 3, 23	ringridm 14329	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
28	27	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
29	26, 28	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) = X )
30	15, 22, 29	3eqtrd 2275	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = X )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   .rcmulr 13432   1rcur 14262  SRingcsrg 14267   Ringcrg 14300  Unitcui 14393   invrcinvr 14427  /_rcdvr 14438

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-minusg 13809  df-cmn 14089  df-abl 14090  df-mgp 14218  df-ur 14263  df-srg 14268  df-ring 14302  df-oppr 14373  df-dvdsr 14395  df-unit 14396  df-invr 14428  df-dvr 14439

This theorem is used by:  dvreq1  14449  lringuplu  14503