Theorem dvrcan1 13935

Description: A cancellation law for division. (divcanap1 8756 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrass.b	|- B = ( Base ` R )
dvrass.o	|- U = (Unit ` R )
dvrass.d	|- ./ = (/r ` R )
dvrass.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvrcan1	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = X )

Proof of Theorem dvrcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrass.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
3		dvrass.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> .x. = ( .r ` R ) )
5		dvrass.o	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
7		eqid 2205	. . . . 5 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( invr ` R ) = ( invr ` R ) )
9		dvrass.d	. . . . 5 |- ./ = (/r ` R )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ./ = (/r ` R ) )
11		simp1 1000	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. Ring )
12		simp2 1001	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> X e. B )
13		simp3 1002	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. U )
14	2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13	dvrvald 13929	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X ./ Y ) = ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) )
15	14	oveq1d 5961	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) )
16	5, 7, 1	ringinvcl 13920	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B )
17	16	3adant2 1019	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B )
18		ringsrg 13842	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
19	11, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. SRing )
20	2, 6, 19, 13	unitcld 13903	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. B )
21	1, 3	ringass 13811	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) = ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) )
22	11, 12, 17, 20, 21	syl13anc 1252	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) = ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) )
23		eqid 2205	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
24	5, 7, 3, 23	unitlinv 13921	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) = ( 1r ` R ) )
25	24	3adant2 1019	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) = ( 1r ` R ) )
26	25	oveq2d 5962	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) = ( X .x. ( 1r ` R ) ) )
27	1, 3, 23	ringridm 13819	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
28	27	3adant3 1020	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
29	26, 28	eqtrd 2238	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) = X )
30	15, 22, 29	3eqtrd 2242	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Basecbs 12865   .rcmulr 12943   1rcur 13754  SRingcsrg 13758   Ringcrg 13791  Unitcui 13882   invrcinvr 13915  /_rcdvr 13926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-tpos 6333  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-ltxr 8114  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-base 12871  df-sets 12872  df-iress 12873  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-0g 13123  df-mgm 13221  df-sgrp 13267  df-mnd 13282  df-grp 13368  df-minusg 13369  df-cmn 13655  df-abl 13656  df-mgp 13716  df-ur 13755  df-srg 13759  df-ring 13793  df-oppr 13863  df-dvdsr 13884  df-unit 13885  df-invr 13916  df-dvr 13927

This theorem is referenced by:  dvreq1  13937  lringuplu  13991