Theorem dvrcan1 14302

Description: A cancellation law for division. (divcanap1 8957 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrass.b	|- B = ( Base ` R )
dvrass.o	|- U = (Unit ` R )
dvrass.d	|- ./ = (/r ` R )
dvrass.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvrcan1	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = X )

Proof of Theorem dvrcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrass.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
3		dvrass.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> .x. = ( .r ` R ) )
5		dvrass.o	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
7		eqid 2234	. . . . 5 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( invr ` R ) = ( invr ` R ) )
9		dvrass.d	. . . . 5 |- ./ = (/r ` R )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ./ = (/r ` R ) )
11		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. Ring )
12		simp2 1025	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> X e. B )
13		simp3 1026	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. U )
14	2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13	dvrvald 14296	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X ./ Y ) = ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) )
15	14	oveq1d 6067	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) )
16	5, 7, 1	ringinvcl 14287	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B )
17	16	3adant2 1043	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B )
18		ringsrg 14208	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
19	11, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. SRing )
20	2, 6, 19, 13	unitcld 14270	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. B )
21	1, 3	ringass 14177	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) = ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) )
22	11, 12, 17, 20, 21	syl13anc 1276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) = ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) )
23		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
24	5, 7, 3, 23	unitlinv 14288	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) = ( 1r ` R ) )
25	24	3adant2 1043	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) = ( 1r ` R ) )
26	25	oveq2d 6068	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) = ( X .x. ( 1r ` R ) ) )
27	1, 3, 23	ringridm 14185	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
28	27	3adant3 1044	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
29	26, 28	eqtrd 2267	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) = X )
30	15, 22, 29	3eqtrd 2271	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   Basecbs 13229   .rcmulr 13308   1rcur 14120  SRingcsrg 14124   Ringcrg 14157  Unitcui 14248   invrcinvr 14282  /_rcdvr 14293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-tpos 6478  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-ltxr 8315  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-sets 13236  df-iress 13237  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-0g 13488  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-grp 13733  df-minusg 13734  df-cmn 14020  df-abl 14021  df-mgp 14082  df-ur 14121  df-srg 14125  df-ring 14159  df-oppr 14229  df-dvdsr 14250  df-unit 14251  df-invr 14283  df-dvr 14294

This theorem is referenced by:  dvreq1  14304  lringuplu  14358