Theorem dvrcan1 14423

Description: A cancellation law for division. (divcanap1 9004 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrass.b	|- B = ( Base ` R )
dvrass.o	|- U = (Unit ` R )
dvrass.d	|- ./ = (/r ` R )
dvrass.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvrcan1	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = X )

Proof of Theorem dvrcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrass.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
3		dvrass.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> .x. = ( .r ` R ) )
5		dvrass.o	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
7		eqid 2238	. . . . 5 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( invr ` R ) = ( invr ` R ) )
9		dvrass.d	. . . . 5 |- ./ = (/r ` R )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ./ = (/r ` R ) )
11		simp1 1028	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. Ring )
12		simp2 1029	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> X e. B )
13		simp3 1030	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. U )
14	2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13	dvrvald 14417	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X ./ Y ) = ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) )
15	14	oveq1d 6093	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) )
16	5, 7, 1	ringinvcl 14408	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B )
17	16	3adant2 1047	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B )
18		ringsrg 14328	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
19	11, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. SRing )
20	2, 6, 19, 13	unitcld 14391	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. B )
21	1, 3	ringass 14297	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) = ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) )
22	11, 12, 17, 20, 21	syl13anc 1280	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) = ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) )
23		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
24	5, 7, 3, 23	unitlinv 14409	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) = ( 1r ` R ) )
25	24	3adant2 1047	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) = ( 1r ` R ) )
26	25	oveq2d 6094	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) = ( X .x. ( 1r ` R ) ) )
27	1, 3, 23	ringridm 14305	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
28	27	3adant3 1048	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
29	26, 28	eqtrd 2271	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) = X )
30	15, 22, 29	3eqtrd 2275	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5375  (class class class)co 6078   Basecbs 13333   .rcmulr 13412   1rcur 14240  SRingcsrg 14244   Ringcrg 14277  Unitcui 14369   invrcinvr 14403  /_rcdvr 14414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-addass 8274  ax-i2m1 8277  ax-0lt1 8278  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-pre-ltirr 8284  ax-pre-lttrn 8286  ax-pre-ltadd 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-tpos 6509  df-pnf 8355  df-mnf 8356  df-ltxr 8358  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-sets 13340  df-iress 13341  df-plusg 13424  df-mulr 13425  df-0g 13592  df-mgm 13656  df-sgrp 13697  df-mnd 13710  df-grp 13788  df-minusg 13789  df-cmn 14069  df-abl 14070  df-mgp 14198  df-ur 14241  df-srg 14245  df-ring 14279  df-oppr 14349  df-dvdsr 14371  df-unit 14372  df-invr 14404  df-dvr 14415

This theorem is referenced by:  dvreq1  14425  lringuplu  14479