Theorem dvrcan1 13639

Description: A cancellation law for division. (divcanap1 8702 analog.) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvrass.b	|- B = ( Base ` R )
dvrass.o	|- U = (Unit ` R )
dvrass.d	|- ./ = (/r ` R )
dvrass.t	|- .x. = ( .r ` R )

Assertion

Ref	Expression
dvrcan1	|- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = X )

Proof of Theorem dvrcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvrass.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
2	1	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> B = ( Base ` R ) )
3		dvrass.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
4	3	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> .x. = ( .r ` R ) )
5		dvrass.o	. . . . 5 |- U = (Unit ` R )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> U = (Unit ` R ) )
7		eqid 2193	. . . . 5 |- ( invr ` R ) = ( invr ` R )
8	7	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( invr ` R ) = ( invr ` R ) )
9		dvrass.d	. . . . 5 |- ./ = (/r ` R )
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ./ = (/r ` R ) )
11		simp1 999	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. Ring )
12		simp2 1000	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> X e. B )
13		simp3 1001	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. U )
14	2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13	dvrvald 13633	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X ./ Y ) = ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) )
15	14	oveq1d 5934	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) )
16	5, 7, 1	ringinvcl 13624	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B )
17	16	3adant2 1018	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B )
18		ringsrg 13546	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> R e. SRing )
19	11, 18	syl 14	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> R e. SRing )
20	2, 6, 19, 13	unitcld 13607	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> Y e. B )
21	1, 3	ringass 13515	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( X e. B /\ ( ( invr ` R ) ` Y ) e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) = ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) )
22	11, 12, 17, 20, 21	syl13anc 1251	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X .x. ( ( invr ` R ) ` Y ) ) .x. Y ) = ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) )
23		eqid 2193	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
24	5, 7, 3, 23	unitlinv 13625	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ Y e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) = ( 1r ` R ) )
25	24	3adant2 1018	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) = ( 1r ` R ) )
26	25	oveq2d 5935	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) = ( X .x. ( 1r ` R ) ) )
27	1, 3, 23	ringridm 13523	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
28	27	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( 1r ` R ) ) = X )
29	26, 28	eqtrd 2226	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( X .x. ( ( ( invr ` R ) ` Y ) .x. Y ) ) = X )
30	15, 22, 29	3eqtrd 2230	1 |- ( ( R e. Ring /\ X e. B /\ Y e. U ) -> ( ( X ./ Y ) .x. Y ) = X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   .rcmulr 12699   1rcur 13458  SRingcsrg 13462   Ringcrg 13495  Unitcui 13586   invrcinvr 13619  /_rcdvr 13630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-tpos 6300  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-ltxr 8061  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-cmn 13359  df-abl 13360  df-mgp 13420  df-ur 13459  df-srg 13463  df-ring 13497  df-oppr 13567  df-dvdsr 13588  df-unit 13589  df-invr 13620  df-dvr 13631

This theorem is referenced by:  dvreq1  13641  lringuplu  13695