Theorem rsp0 14572

Description: The span of the zero element is the zero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsp0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rsp0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })

Proof of Theorem rsp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14543	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (0g‘(ringLMod‘𝑅)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
3		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4	2, 3	lspsn0 14501	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{(0g‘(ringLMod‘𝑅))}) = {(0g‘(ringLMod‘𝑅))})
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{(0g‘(ringLMod‘𝑅))}) = {(0g‘(ringLMod‘𝑅))})
6		rspcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
7		rspvalg 14551	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
8	6, 7	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
9		rsp0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		rlm0g 14536	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
11	9, 10	eqtrid 2276	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
12	11	sneqd 3686	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = {(0g‘(ringLMod‘𝑅))})
13	8, 12	fveq12d 5655	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{(0g‘(ringLMod‘𝑅))}))
14	5, 13, 12	3eqtr4d 2274	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {csn 3673  ‘cfv 5333  0_gc0g 13402  Ringcrg 14073  LModclmod 14366  LSpanclspn 14465  ringLModcrglmod 14513  RSpancrsp 14547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-ip 13241  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-subg 13820  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-ring 14075  df-subrg 14297  df-lmod 14368  df-lssm 14432  df-lsp 14466  df-sra 14514  df-rgmod 14515  df-rsp 14549

This theorem is referenced by: (None)