Theorem rsp0 14330

Description: The span of the zero element is the zero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsp0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rsp0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })

Proof of Theorem rsp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14301	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (0g‘(ringLMod‘𝑅)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
3		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4	2, 3	lspsn0 14259	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{(0g‘(ringLMod‘𝑅))}) = {(0g‘(ringLMod‘𝑅))})
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{(0g‘(ringLMod‘𝑅))}) = {(0g‘(ringLMod‘𝑅))})
6		rspcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
7		rspvalg 14309	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
8	6, 7	eqtrid 2251	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
9		rsp0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		rlm0g 14294	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
11	9, 10	eqtrid 2251	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
12	11	sneqd 3651	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = {(0g‘(ringLMod‘𝑅))})
13	8, 12	fveq12d 5596	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{(0g‘(ringLMod‘𝑅))}))
14	5, 13, 12	3eqtr4d 2249	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  {csn 3638  ‘cfv 5280  0_gc0g 13163  Ringcrg 13833  LModclmod 14124  LSpanclspn 14223  ringLModcrglmod 14271  RSpancrsp 14305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-3 9116  df-4 9117  df-5 9118  df-6 9119  df-7 9120  df-8 9121  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-plusg 12997  df-mulr 12998  df-sca 13000  df-vsca 13001  df-ip 13002  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-subg 13581  df-mgp 13758  df-ur 13797  df-ring 13835  df-subrg 14056  df-lmod 14126  df-lssm 14190  df-lsp 14224  df-sra 14272  df-rgmod 14273  df-rsp 14307

This theorem is referenced by: (None)