Theorem rsp0 14506

Description: The span of the zero element is the zero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
rsp0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rsp0	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })

Proof of Theorem rsp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14477	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
2		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (0g‘(ringLMod‘𝑅)) = (0g‘(ringLMod‘𝑅))
3		eqid 2231	. . . 4 ⊢ (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅))
4	2, 3	lspsn0 14435	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{(0g‘(ringLMod‘𝑅))}) = {(0g‘(ringLMod‘𝑅))})
5	1, 4	syl 14	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{(0g‘(ringLMod‘𝑅))}) = {(0g‘(ringLMod‘𝑅))})
6		rspcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
7		rspvalg 14485	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
8	6, 7	eqtrid 2276	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐾 = (LSpan‘(ringLMod‘𝑅)))
9		rsp0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10		rlm0g 14470	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
11	9, 10	eqtrid 2276	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 = (0g‘(ringLMod‘𝑅)))
12	11	sneqd 3682	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → { 0 } = {(0g‘(ringLMod‘𝑅))})
13	8, 12	fveq12d 5646	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = ((LSpan‘(ringLMod‘𝑅))‘{(0g‘(ringLMod‘𝑅))}))
14	5, 13, 12	3eqtr4d 2274	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐾‘{ 0 }) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {csn 3669  ‘cfv 5326  0_gc0g 13338  Ringcrg 14008  LModclmod 14300  LSpanclspn 14399  ringLModcrglmod 14447  RSpancrsp 14481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-addass 8133  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-ltxr 8218  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-0g 13340  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-subg 13756  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-subrg 14232  df-lmod 14302  df-lssm 14366  df-lsp 14400  df-sra 14448  df-rgmod 14449  df-rsp 14483

This theorem is referenced by: (None)