Theorem s2dmg 11545

Description: The domain of a doubleton word is an unordered pair. (Contributed by AV, 9-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
s2dmg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> dom <" A B "> = { 0 , 1 } )

Proof of Theorem s2dmg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . . 4 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		elex 2833	. . . 4 |- ( B e. W -> B e. _V )
3		s2cl 11540	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <" A B "> e. Word _V )
4		wrdf 11293	. . . . 5 |- ( <" A B "> e. Word _V -> <" A B "> : ( 0..^ (♯ ` <" A B "> ) ) --> _V )
5	3, 4	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <" A B "> : ( 0..^ (♯ ` <" A B "> ) ) --> _V )
6	1, 2, 5	syl2an 289	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <" A B "> : ( 0..^ (♯ ` <" A B "> ) ) --> _V )
7		s2leng 11544	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> (♯ ` <" A B "> ) = 2 )
8		oveq2 6087	. . . . . 6 |- ( (♯ ` <" A B "> ) = 2 -> ( 0..^ (♯ ` <" A B "> ) ) = ( 0..^ 2 ) )
9		fzo0to2pr 10619	. . . . . 6 |- ( 0..^ 2 ) = { 0 , 1 }
10	8, 9	eqtrdi 2287	. . . . 5 |- ( (♯ ` <" A B "> ) = 2 -> ( 0..^ (♯ ` <" A B "> ) ) = { 0 , 1 } )
11	7, 10	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( 0..^ (♯ ` <" A B "> ) ) = { 0 , 1 } )
12	11	feq2d 5519	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( <" A B "> : ( 0..^ (♯ ` <" A B "> ) ) --> _V <-> <" A B "> : { 0 , 1 } --> _V ) )
13	6, 12	mpbid 147	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <" A B "> : { 0 , 1 } --> _V )
14	13	fdmd 5538	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> dom <" A B "> = { 0 , 1 } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {cpr 3709   dom cdm 4772   -->wf 5371   ` cfv 5375  (class class class)co 6079   0cc0 8173   1c1 8174   2c2 9338  ..^cfzo 10532  ♯chash 11197  Word cword 11287   <"cs2 11504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-1o 6681  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-ihash 11198  df-word 11288  df-concat 11342  df-s1 11367  df-s2 11511

This theorem is referenced by: (None)