Theorem ser3add 9998

Description: The sum of two infinite series. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
ser3add.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
ser3add.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
ser3add.3	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
ser3add.4	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) + ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ser3add	|- ( ph -> ( seq M ( + , H ) ` N ) = ( ( seq M ( + , F ) ` N ) + ( seq M ( + , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, M   ph, k   k, H   k, N

Proof of Theorem ser3add

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ser3add.1	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		ser3add.2	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
3		ser3add.3	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
4		ser3add.4	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) + ( G ` k ) ) )
5	1, 2, 3, 4	iseradd 9997	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , H , CC ) ` N ) = ( ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) + ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) ) )
6		eluzel2 9087	. . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
7	1, 6	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> M e. ZZ )
8	2, 3	addcld 7570	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( F ` k ) + ( G ` k ) ) e. CC )
9	4, 8	eqeltrd 2165	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) e. CC )
10	7, 9	iseqseq3 9965	. . 3 |- ( ph -> seq M ( + , H , CC ) = seq M ( + , H ) )
11	10	fveq1d 5322	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( + , H , CC ) ` N ) = ( seq M ( + , H ) ` N ) )
12	7, 2	iseqseq3 9965	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , F , CC ) = seq M ( + , F ) )
13	12	fveq1d 5322	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) = ( seq M ( + , F ) ` N ) )
14	7, 3	iseqseq3 9965	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( + , G , CC ) = seq M ( + , G ) )
15	14	fveq1d 5322	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) = ( seq M ( + , G ) ` N ) )
16	13, 15	oveq12d 5686	. 2 |- ( ph -> ( ( seq M ( + , F , CC ) ` N ) + ( seq M ( + , G , CC ) ` N ) ) = ( ( seq M ( + , F ) ` N ) + ( seq M ( + , G ) ` N ) ) )
17	5, 11, 16	3eqtr3d 2129	1 |- ( ph -> ( seq M ( + , H ) ` N ) = ( ( seq M ( + , F ) ` N ) + ( seq M ( + , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   CCcc 7411   + caddc 7416   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082   seqcseq4 9914   seqcseq 9915

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917

This theorem is referenced by:  isumadd  10888