Theorem ser3sub 10272

Description: The difference of two infinite series. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sersub.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
ser3sub.2	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
ser3sub.3	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
ser3sub.4	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ser3sub	|- ( ph -> ( seq M ( + , H ) ` N ) = ( ( seq M ( + , F ) ` N ) - ( seq M ( + , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, G   k, H   k, M   k, N   ph, k

Proof of Theorem ser3sub

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 7738	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
3		subcl 7954	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) e. CC )
4	3	adantl 275	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x - y ) e. CC )
5		addsub4 7998	. . . 4 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( ( x + y ) - ( z + w ) ) = ( ( x - z ) + ( y - w ) ) )
6	5	eqcomd 2143	. . 3 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) -> ( ( x - z ) + ( y - w ) ) = ( ( x + y ) - ( z + w ) ) )
7	6	adantl 275	. 2 |- ( ( ph /\ ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ ( z e. CC /\ w e. CC ) ) ) -> ( ( x - z ) + ( y - w ) ) = ( ( x + y ) - ( z + w ) ) )
8		sersub.1	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
9		ser3sub.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
10		ser3sub.3	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. CC )
11		ser3sub.4	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) )
12	2, 4, 7, 8, 9, 10, 11	seq3caopr2 10248	1 |- ( ph -> ( seq M ( + , H ) ` N ) = ( ( seq M ( + , F ) ` N ) - ( seq M ( + , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   CCcc 7611   + caddc 7616   - cmin 7926   ZZ>=cuz 9319   seqcseq 10211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212

This theorem is referenced by:  ser3le  10284