ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser3sub Unicode version

Theorem ser3sub 10309
Description: The difference of two infinite series. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
sersub.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
ser3sub.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
ser3sub.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  CC )
ser3sub.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )
Assertion
Ref Expression
ser3sub  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )  -  (  seq M (  +  ,  G ) `
 N ) ) )
Distinct variable groups:    k, F    k, G    k, H    k, M    k, N    ph, k

Proof of Theorem ser3sub
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcl 7768 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
21adantl 275 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  +  y )  e.  CC )
3 subcl 7984 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  e.  CC )
43adantl 275 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  -  y
)  e.  CC )
5 addsub4 8028 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( ( x  +  y )  -  (
z  +  w ) )  =  ( ( x  -  z )  +  ( y  -  w ) ) )
65eqcomd 2146 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC ) )  -> 
( ( x  -  z )  +  ( y  -  w ) )  =  ( ( x  +  y )  -  ( z  +  w ) ) )
76adantl 275 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  CC  /\  w  e.  CC ) ) )  ->  (
( x  -  z
)  +  ( y  -  w ) )  =  ( ( x  +  y )  -  ( z  +  w
) ) )
8 sersub.1 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
9 ser3sub.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
10 ser3sub.3 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  k )  e.  CC )
11 ser3sub.4 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  k )  =  ( ( F `  k
)  -  ( G `
 k ) ) )
122, 4, 7, 8, 9, 10, 11seq3caopr2 10285 1  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  H ) `
 N )  =  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  N )  -  (  seq M (  +  ,  G ) `
 N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481   ` cfv 5130  (class class class)co 5781   CCcc 7641    + caddc 7646    - cmin 7956   ZZ>=cuz 9349    seqcseq 10248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-seqfrec 10249
This theorem is referenced by:  ser3le  10321
  Copyright terms: Public domain W3C validator