Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3id3 Unicode version

Theorem seq3id3 10384
 Description: A sequence that consists entirely of "zeroes" sums to "zero". More precisely, a constant sequence with value an element which is a -idempotent sums (or "'s") to that element. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
iseqid3s.1
iseqid3s.2
iseqid3s.3
iseqid3s.z
iseqid3s.f
iseqid3s.cl
Assertion
Ref Expression
seq3id3
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem seq3id3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iseqid3s.2 . . 3
2 eluzfz2 9912 . . 3
3 fveqeq2 5470 . . . . 5
43imbi2d 229 . . . 4
5 fveqeq2 5470 . . . . 5
65imbi2d 229 . . . 4
7 fveqeq2 5470 . . . . 5
87imbi2d 229 . . . 4
9 fveqeq2 5470 . . . . 5
109imbi2d 229 . . . 4
11 eluzel2 9423 . . . . . . . 8
121, 11syl 14 . . . . . . 7
13 iseqid3s.f . . . . . . 7
14 iseqid3s.cl . . . . . . 7
1512, 13, 14seq3-1 10337 . . . . . 6
16 iseqid3s.3 . . . . . . . 8
1716ralrimiva 2527 . . . . . . 7
18 eluzfz1 9911 . . . . . . . 8
19 fveqeq2 5470 . . . . . . . . 9
2019rspcv 2809 . . . . . . . 8
211, 18, 203syl 17 . . . . . . 7
2217, 21mpd 13 . . . . . 6
2315, 22eqtrd 2187 . . . . 5
2423a1i 9 . . . 4
25 elfzouz 10028 . . . . . . . . . . 11 ..^
2625adantl 275 . . . . . . . . . 10 ..^
2713adantlr 469 . . . . . . . . . 10 ..^
2814adantlr 469 . . . . . . . . . 10 ..^
2926, 27, 28seq3p1 10339 . . . . . . . . 9 ..^
3029adantr 274 . . . . . . . 8 ..^
31 simpr 109 . . . . . . . . 9 ..^
32 fveqeq2 5470 . . . . . . . . . . 11
3317adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ..^
34 fzofzp1 10104 . . . . . . . . . . . 12 ..^
3534adantl 275 . . . . . . . . . . 11 ..^
3632, 33, 35rspcdva 2818 . . . . . . . . . 10 ..^
3736adantr 274 . . . . . . . . 9 ..^
3831, 37oveq12d 5832 . . . . . . . 8 ..^
39 iseqid3s.1 . . . . . . . . 9
4039ad2antrr 480 . . . . . . . 8 ..^
4130, 38, 403eqtrd 2191 . . . . . . 7 ..^
4241ex 114 . . . . . 6 ..^
4342expcom 115 . . . . 5 ..^
4443a2d 26 . . . 4 ..^
454, 6, 8, 10, 24, 44fzind2 10116 . . 3
461, 2, 453syl 17 . 2
4746pm2.43i 49 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1332   wcel 2125  wral 2432  cfv 5163  (class class class)co 5814  c1 7712   caddc 7714  cz 9146  cuz 9418  cfz 9890  ..^cfzo 10019   cseq 10322 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-seqfrec 10323 This theorem is referenced by:  seq3id  10385  ser0  10391  prodf1  11416
 Copyright terms: Public domain W3C validator