Theorem ser3sub 10745

Description: The difference of two infinite series. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 22-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
sersub.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
ser3sub.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
ser3sub.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
ser3sub.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
ser3sub	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem ser3sub

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8124	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3		subcl 8345	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
4	3	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
5		addsub4 8389	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑤)) = ((𝑥 − 𝑧) + (𝑦 − 𝑤)))
6	5	eqcomd 2235	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ)) → ((𝑥 − 𝑧) + (𝑦 − 𝑤)) = ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑤)))
7	6	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ))) → ((𝑥 − 𝑧) + (𝑦 − 𝑤)) = ((𝑥 + 𝑦) − (𝑧 + 𝑤)))
8		sersub.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9		ser3sub.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
10		ser3sub.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
11		ser3sub.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) − (𝐺‘𝑘)))
12	2, 4, 7, 8, 9, 10, 11	seq3caopr2 10715	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) − (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  (class class class)co 6001  ℂcc 7997   + caddc 8002   − cmin 8317  ℤ_≥cuz 9722  seqcseq 10669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670

This theorem is referenced by:  ser3le  10759