Theorem ssimaex 5573

Description: The existence of a subimage. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssimaex.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ssimaex	|- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " A ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem ssimaex

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4924	. . . . 5 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
2	1	imaeq2i 4964	. . . 4 |- ( F " dom ( F |` A ) ) = ( F " ( A i^i dom F ) )
3		imadmres 5117	. . . 4 |- ( F " dom ( F |` A ) ) = ( F " A )
4	2, 3	eqtr3i 2200	. . 3 |- ( F " ( A i^i dom F ) ) = ( F " A )
5	4	sseq2i 3182	. 2 |- ( B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) <-> B C_ ( F " A ) )
6		ssrab2 3240	. . . 4 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F )
7		ssel2 3150	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) )
8	7	adantll 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) )
9		fvelima 5563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z )
10	9	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z ) )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z ) )
12		eleq1a 2249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. B -> ( ( F ` w ) = z -> ( F ` w ) e. B ) )
13	12	anim2d 337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) ) )
14		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = w -> ( F ` y ) = ( F ` w ) )
15	14	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( ( F ` y ) e. B <-> ( F ` w ) e. B ) )
16	15	elrab 2893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } <-> ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) )
17	13, 16	syl6ibr 162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z ) )
20	17, 19	jcad 307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } /\ ( F ` w ) = z ) ) )
21	20	reximdv2 2576	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. B -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
23		funfn 5242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
24		inss2 3356	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A i^i dom F ) C_ dom F
25	6, 24	sstri 3164	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ dom F
26		fvelimab 5568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn dom F /\ { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ dom F ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
27	25, 26	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn dom F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
28	23, 27	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
30	22, 29	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
31	11, 30	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
32	31	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
33	8, 32	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
34	33	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. B -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
35		fvelima 5563	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z )
36	35	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
37		eleq1 2240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` w ) = z -> ( ( F ` w ) e. B <-> z e. B ) )
38	37	biimpcd 159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` w ) e. B -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
40	16, 39	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
41	40	rexlimiv 2588	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z -> z e. B )
42	36, 41	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> z e. B ) )
43	42	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> z e. B ) )
44	34, 43	impbid 129	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. B <-> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
45	44	eqrdv 2175	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
46		ssimaex.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
47	46	inex1 4134	. . . . . 6 |- ( A i^i dom F ) e. _V
48	47	rabex 4144	. . . . 5 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } e. _V
49		sseq1 3178	. . . . . 6 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( x C_ ( A i^i dom F ) <-> { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) ) )
50		imaeq2 4962	. . . . . . 7 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( F " x ) = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
51	50	eqeq2d 2189	. . . . . 6 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( B = ( F " x ) <-> B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
52	49, 51	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) <-> ( { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) ) )
53	48, 52	spcev 2832	. . . 4 |- ( ( { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) -> E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) )
54	6, 45, 53	sylancr 414	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) )
55		inss1 3355	. . . . . 6 |- ( A i^i dom F ) C_ A
56		sstr 3163	. . . . . 6 |- ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ ( A i^i dom F ) C_ A ) -> x C_ A )
57	55, 56	mpan2 425	. . . . 5 |- ( x C_ ( A i^i dom F ) -> x C_ A )
58	57	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) -> ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
59	58	eximi 1600	. . 3 |- ( E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
60	54, 59	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
61	5, 60	sylan2br 288	1 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " A ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   E.wrex 2456   {crab 2459   _Vcvv 2737   i^i cin 3128   C_ wss 3129   dom cdm 4623   |` cres 4625   "cima 4626   Fun wfun 5206   Fn wfn 5207   ` cfv 5212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-fv 5220

This theorem is referenced by:  ssimaexg  5574