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Theorem ssimaex 5380
Description: The existence of a subimage. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
ssimaex.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ssimaex  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " A
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem ssimaex
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmres 4749 . . . . 5  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
21imaeq2i 4787 . . . 4  |-  ( F
" dom  ( F  |`  A ) )  =  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)
3 imadmres 4938 . . . 4  |-  ( F
" dom  ( F  |`  A ) )  =  ( F " A
)
42, 3eqtr3i 2111 . . 3  |-  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  =  ( F " A
)
54sseq2i 3054 . 2  |-  ( B 
C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) )  <->  B  C_  ( F " A ) )
6 ssrab2 3109 . . . 4  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F
)
7 ssel2 3023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )
87adantll 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) ) )
9 fvelima 5371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F ) ( F `  w )  =  z )
109ex 114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F ) ( F `  w )  =  z ) )
1110adantr 271 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  ->  E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z ) )
12 eleq1a 2160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  B  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
( F `  w
)  e.  B ) )
1312anim2d 331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `
 w )  e.  B ) ) )
14 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
1514eleq1d 2157 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  B  <->  ( F `  w )  e.  B
) )
1615elrab 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  <->  ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `
 w )  e.  B ) )
1713, 16syl6ibr 161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )
18 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `  w
)  =  z )  ->  ( F `  w )  =  z )
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( F `  w )  =  z ) )
2017, 19jcad 302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  ->  (
( w  e.  ( A  i^i  dom  F
)  /\  ( F `  w )  =  z )  ->  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  /\  ( F `  w )  =  z ) ) )
2120reximdv2 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  B  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
2221adantl 272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
23 funfn 5060 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Fun 
F  <->  F  Fn  dom  F )
24 inss2 3224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
256, 24sstri 3037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  C_  dom  F
26 fvelimab 5375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  dom  F  /\  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  dom  F )  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
2725, 26mpan2 417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  dom  F  -> 
( z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z ) )
2823, 27sylbi 120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
2928adantr 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } )  <->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
3022, 29sylibrd 168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  ( E. w  e.  ( A  i^i  dom  F )
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
3111, 30syld 45 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  B )  ->  (
z  e.  ( F
" ( A  i^i  dom 
F ) )  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
3231adantlr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  ( z  e.  ( F " ( A  i^i  dom  F )
)  ->  z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
338, 32mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F "
( A  i^i  dom  F ) ) )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )
3433ex 114 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  B  -> 
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) )
35 fvelima 5371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z )
3635ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  ->  E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  ( F `
 w )  =  z ) )
37 eleq1 2151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  w )  =  z  ->  (
( F `  w
)  e.  B  <->  z  e.  B ) )
3837biimpcd 158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  B ) )
3938adantl 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( F `  w
)  e.  B )  ->  ( ( F `
 w )  =  z  ->  z  e.  B ) )
4016, 39sylbi 120 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
( F `  w
)  =  z  -> 
z  e.  B ) )
4140rexlimiv 2485 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  ( F `  w )  =  z  ->  z  e.  B )
4236, 41syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } )  ->  z  e.  B ) )
4342adantr 271 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  ( F
" { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } )  -> 
z  e.  B ) )
4434, 43impbid 128 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  (
z  e.  B  <->  z  e.  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
4544eqrdv 2087 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )
46 ssimaex.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
4746inex1 3981 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  dom  F )  e.  _V
4847rabex 3991 . . . . 5  |-  { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B }  e.  _V
49 sseq1 3050 . . . . . 6  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
x  C_  ( A  i^i  dom  F )  <->  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )
) )
50 imaeq2 4785 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  ( F " x )  =  ( F " {
y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) )
5150eqeq2d 2100 . . . . . 6  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  ( B  =  ( F " x )  <->  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom 
F )  |  ( F `  y )  e.  B } ) ) )
5249, 51anbi12d 458 . . . . 5  |-  ( x  =  { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  ->  (
( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) )  <-> 
( { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) ) ) )
5348, 52spcev 2716 . . . 4  |-  ( ( { y  e.  ( A  i^i  dom  F
)  |  ( F `
 y )  e.  B }  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " { y  e.  ( A  i^i  dom  F )  |  ( F `
 y )  e.  B } ) )  ->  E. x ( x 
C_  ( A  i^i  dom 
F )  /\  B  =  ( F "
x ) ) )
546, 45, 53sylancr 406 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. x
( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) ) )
55 inss1 3223 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_  A
56 sstr 3036 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  ( A  i^i  dom  F
)  C_  A )  ->  x  C_  A )
5755, 56mpan2 417 . . . . 5  |-  ( x 
C_  ( A  i^i  dom 
F )  ->  x  C_  A )
5857anim1i 334 . . . 4  |-  ( ( x  C_  ( A  i^i  dom  F )  /\  B  =  ( F " x ) )  -> 
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
5958eximi 1537 . . 3  |-  ( E. x ( x  C_  ( A  i^i  dom  F
)  /\  B  =  ( F " x ) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
6054, 59syl 14 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " ( A  i^i  dom  F )
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
615, 60sylan2br 283 1  |-  ( ( Fun  F  /\  B  C_  ( F " A
) )  ->  E. x
( x  C_  A  /\  B  =  ( F " x ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1290   E.wex 1427    e. wcel 1439   E.wrex 2361   {crab 2364   _Vcvv 2622    i^i cin 3001    C_ wss 3002   dom cdm 4454    |` cres 4456   "cima 4457   Fun wfun 5024    Fn wfn 5025   ` cfv 5030
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3965  ax-pow 4017  ax-pr 4047
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-br 3854  df-opab 3908  df-id 4131  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-fv 5038
This theorem is referenced by:  ssimaexg  5381
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