Theorem ssimaex 5590

Description: The existence of a subimage. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssimaex.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ssimaex	|- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " A ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem ssimaex

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4940	. . . . 5 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
2	1	imaeq2i 4980	. . . 4 |- ( F " dom ( F |` A ) ) = ( F " ( A i^i dom F ) )
3		imadmres 5133	. . . 4 |- ( F " dom ( F |` A ) ) = ( F " A )
4	2, 3	eqtr3i 2210	. . 3 |- ( F " ( A i^i dom F ) ) = ( F " A )
5	4	sseq2i 3194	. 2 |- ( B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) <-> B C_ ( F " A ) )
6		ssrab2 3252	. . . 4 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F )
7		ssel2 3162	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) )
8	7	adantll 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) )
9		fvelima 5580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z )
10	9	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z ) )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z ) )
12		eleq1a 2259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. B -> ( ( F ` w ) = z -> ( F ` w ) e. B ) )
13	12	anim2d 337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) ) )
14		fveq2 5527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = w -> ( F ` y ) = ( F ` w ) )
15	14	eleq1d 2256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( ( F ` y ) e. B <-> ( F ` w ) e. B ) )
16	15	elrab 2905	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } <-> ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) )
17	13, 16	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z ) )
20	17, 19	jcad 307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } /\ ( F ` w ) = z ) ) )
21	20	reximdv2 2586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. B -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
23		funfn 5258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
24		inss2 3368	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A i^i dom F ) C_ dom F
25	6, 24	sstri 3176	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ dom F
26		fvelimab 5585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn dom F /\ { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ dom F ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
27	25, 26	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn dom F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
28	23, 27	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
30	22, 29	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
31	11, 30	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
32	31	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
33	8, 32	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
34	33	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. B -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
35		fvelima 5580	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z )
36	35	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
37		eleq1 2250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` w ) = z -> ( ( F ` w ) e. B <-> z e. B ) )
38	37	biimpcd 159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` w ) e. B -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
40	16, 39	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
41	40	rexlimiv 2598	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z -> z e. B )
42	36, 41	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> z e. B ) )
43	42	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> z e. B ) )
44	34, 43	impbid 129	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. B <-> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
45	44	eqrdv 2185	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
46		ssimaex.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
47	46	inex1 4149	. . . . . 6 |- ( A i^i dom F ) e. _V
48	47	rabex 4159	. . . . 5 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } e. _V
49		sseq1 3190	. . . . . 6 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( x C_ ( A i^i dom F ) <-> { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) ) )
50		imaeq2 4978	. . . . . . 7 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( F " x ) = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
51	50	eqeq2d 2199	. . . . . 6 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( B = ( F " x ) <-> B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
52	49, 51	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) <-> ( { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) ) )
53	48, 52	spcev 2844	. . . 4 |- ( ( { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) -> E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) )
54	6, 45, 53	sylancr 414	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) )
55		inss1 3367	. . . . . 6 |- ( A i^i dom F ) C_ A
56		sstr 3175	. . . . . 6 |- ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ ( A i^i dom F ) C_ A ) -> x C_ A )
57	55, 56	mpan2 425	. . . . 5 |- ( x C_ ( A i^i dom F ) -> x C_ A )
58	57	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) -> ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
59	58	eximi 1610	. . 3 |- ( E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
60	54, 59	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
61	5, 60	sylan2br 288	1 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " A ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   E.wex 1502   e. wcel 2158   E.wrex 2466   {crab 2469   _Vcvv 2749   i^i cin 3140   C_ wss 3141   dom cdm 4638   |` cres 4640   "cima 4641   Fun wfun 5222   Fn wfn 5223   ` cfv 5228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236

This theorem is referenced by:  ssimaexg  5591