Theorem ssimaex 5716

Description: The existence of a subimage. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssimaex.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ssimaex	|- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " A ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem ssimaex

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 5040	. . . . 5 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
2	1	imaeq2i 5080	. . . 4 |- ( F " dom ( F |` A ) ) = ( F " ( A i^i dom F ) )
3		imadmres 5236	. . . 4 |- ( F " dom ( F |` A ) ) = ( F " A )
4	2, 3	eqtr3i 2254	. . 3 |- ( F " ( A i^i dom F ) ) = ( F " A )
5	4	sseq2i 3255	. 2 |- ( B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) <-> B C_ ( F " A ) )
6		ssrab2 3313	. . . 4 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F )
7		ssel2 3223	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) )
8	7	adantll 476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) )
9		fvelima 5706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z )
10	9	ex 115	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z ) )
11	10	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z ) )
12		eleq1a 2303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. B -> ( ( F ` w ) = z -> ( F ` w ) e. B ) )
13	12	anim2d 337	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) ) )
14		fveq2 5648	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = w -> ( F ` y ) = ( F ` w ) )
15	14	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( ( F ` y ) e. B <-> ( F ` w ) e. B ) )
16	15	elrab 2963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } <-> ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) )
17	13, 16	imbitrrdi 162	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
18		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z ) )
20	17, 19	jcad 307	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } /\ ( F ` w ) = z ) ) )
21	20	reximdv2 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. B -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
23		funfn 5363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
24		inss2 3430	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A i^i dom F ) C_ dom F
25	6, 24	sstri 3237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ dom F
26		fvelimab 5711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn dom F /\ { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ dom F ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
27	25, 26	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn dom F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
28	23, 27	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
30	22, 29	sylibrd 169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
31	11, 30	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
32	31	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
33	8, 32	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
34	33	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. B -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
35		fvelima 5706	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z )
36	35	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
37		eleq1 2294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` w ) = z -> ( ( F ` w ) e. B <-> z e. B ) )
38	37	biimpcd 159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` w ) e. B -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
40	16, 39	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
41	40	rexlimiv 2645	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z -> z e. B )
42	36, 41	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> z e. B ) )
43	42	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> z e. B ) )
44	34, 43	impbid 129	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. B <-> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
45	44	eqrdv 2229	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
46		ssimaex.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
47	46	inex1 4228	. . . . . 6 |- ( A i^i dom F ) e. _V
48	47	rabex 4239	. . . . 5 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } e. _V
49		sseq1 3251	. . . . . 6 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( x C_ ( A i^i dom F ) <-> { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) ) )
50		imaeq2 5078	. . . . . . 7 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( F " x ) = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
51	50	eqeq2d 2243	. . . . . 6 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( B = ( F " x ) <-> B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
52	49, 51	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) <-> ( { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) ) )
53	48, 52	spcev 2902	. . . 4 |- ( ( { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) -> E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) )
54	6, 45, 53	sylancr 414	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) )
55		inss1 3429	. . . . . 6 |- ( A i^i dom F ) C_ A
56		sstr 3236	. . . . . 6 |- ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ ( A i^i dom F ) C_ A ) -> x C_ A )
57	55, 56	mpan2 425	. . . . 5 |- ( x C_ ( A i^i dom F ) -> x C_ A )
58	57	anim1i 340	. . . 4 |- ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) -> ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
59	58	eximi 1649	. . 3 |- ( E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
60	54, 59	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
61	5, 60	sylan2br 288	1 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " A ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   E.wrex 2512   {crab 2515   _Vcvv 2803   i^i cin 3200   C_ wss 3201   dom cdm 4731   |` cres 4733   "cima 4734   Fun wfun 5327   Fn wfn 5328   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  ssimaexg  5717