Theorem ssimaex 5490

Description: The existence of a subimage. (Contributed by NM, 8-Apr-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
ssimaex.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ssimaex	|- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " A ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F

Proof of Theorem ssimaex

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 4848	. . . . 5 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
2	1	imaeq2i 4887	. . . 4 |- ( F " dom ( F |` A ) ) = ( F " ( A i^i dom F ) )
3		imadmres 5039	. . . 4 |- ( F " dom ( F |` A ) ) = ( F " A )
4	2, 3	eqtr3i 2163	. . 3 |- ( F " ( A i^i dom F ) ) = ( F " A )
5	4	sseq2i 3129	. 2 |- ( B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) <-> B C_ ( F " A ) )
6		ssrab2 3187	. . . 4 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F )
7		ssel2 3097	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) )
8	7	adantll 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) )
9		fvelima 5481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z )
10	9	ex 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z ) )
11	10	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z ) )
12		eleq1a 2212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. B -> ( ( F ` w ) = z -> ( F ` w ) e. B ) )
13	12	anim2d 335	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) ) )
14		fveq2 5429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = w -> ( F ` y ) = ( F ` w ) )
15	14	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = w -> ( ( F ` y ) e. B <-> ( F ` w ) e. B ) )
16	15	elrab 2844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } <-> ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) )
17	13, 16	syl6ibr 161	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
18		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( F ` w ) = z ) )
20	17, 19	jcad 305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. B -> ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) = z ) -> ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } /\ ( F ` w ) = z ) ) )
21	20	reximdv2 2534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. B -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
23		funfn 5161	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun F <-> F Fn dom F )
24		inss2 3302	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A i^i dom F ) C_ dom F
25	6, 24	sstri 3111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ dom F
26		fvelimab 5485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F Fn dom F /\ { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ dom F ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
27	25, 26	mpan2 422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F Fn dom F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
28	23, 27	sylbi 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
29	28	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) <-> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
30	22, 29	sylibrd 168	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( E. w e. ( A i^i dom F ) ( F ` w ) = z -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
31	11, 30	syld 45	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
32	31	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> ( z e. ( F " ( A i^i dom F ) ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
33	8, 32	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) /\ z e. B ) -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
34	33	ex 114	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. B -> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
35		fvelima 5481	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun F /\ z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z )
36	35	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z ) )
37		eleq1 2203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F ` w ) = z -> ( ( F ` w ) e. B <-> z e. B ) )
38	37	biimpcd 158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` w ) e. B -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
39	38	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w e. ( A i^i dom F ) /\ ( F ` w ) e. B ) -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
40	16, 39	sylbi 120	. . . . . . . . 9 |- ( w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( ( F ` w ) = z -> z e. B ) )
41	40	rexlimiv 2546	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ( F ` w ) = z -> z e. B )
42	36, 41	syl6 33	. . . . . . 7 |- ( Fun F -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> z e. B ) )
43	42	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) -> z e. B ) )
44	34, 43	impbid 128	. . . . 5 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> ( z e. B <-> z e. ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
45	44	eqrdv 2138	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
46		ssimaex.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
47	46	inex1 4070	. . . . . 6 |- ( A i^i dom F ) e. _V
48	47	rabex 4080	. . . . 5 |- { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } e. _V
49		sseq1 3125	. . . . . 6 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( x C_ ( A i^i dom F ) <-> { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) ) )
50		imaeq2 4885	. . . . . . 7 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( F " x ) = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) )
51	50	eqeq2d 2152	. . . . . 6 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( B = ( F " x ) <-> B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) )
52	49, 51	anbi12d 465	. . . . 5 |- ( x = { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } -> ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) <-> ( { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) ) )
53	48, 52	spcev 2784	. . . 4 |- ( ( { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " { y e. ( A i^i dom F ) | ( F ` y ) e. B } ) ) -> E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) )
54	6, 45, 53	sylancr 411	. . 3 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) )
55		inss1 3301	. . . . . 6 |- ( A i^i dom F ) C_ A
56		sstr 3110	. . . . . 6 |- ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ ( A i^i dom F ) C_ A ) -> x C_ A )
57	55, 56	mpan2 422	. . . . 5 |- ( x C_ ( A i^i dom F ) -> x C_ A )
58	57	anim1i 338	. . . 4 |- ( ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) -> ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
59	58	eximi 1580	. . 3 |- ( E. x ( x C_ ( A i^i dom F ) /\ B = ( F " x ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
60	54, 59	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " ( A i^i dom F ) ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )
61	5, 60	sylan2br 286	1 |- ( ( Fun F /\ B C_ ( F " A ) ) -> E. x ( x C_ A /\ B = ( F " x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   E.wrex 2418   {crab 2421   _Vcvv 2689   i^i cin 3075   C_ wss 3076   dom cdm 4547   |` cres 4549   "cima 4550   Fun wfun 5125   Fn wfn 5126   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  ssimaexg  5491