Theorem rnrhmsubrg 13748

Description: The range of a ring homomorphism is a subring. (Contributed by SN, 18-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rnrhmsubrg	|- ( F e. ( M RingHom N ) -> ran F e. (SubRing ` N ) )

Proof of Theorem rnrhmsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4672	. . 3 |- ( F " ( Base ` M ) ) = ran ( F |` ( Base ` M ) )
2		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
3		eqid 2193	. . . . . . 7 |- ( Base ` N ) = ( Base ` N )
4	2, 3	rhmf 13659	. . . . . 6 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> F : ( Base ` M ) --> ( Base ` N ) )
5	4	ffnd 5404	. . . . 5 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> F Fn ( Base ` M ) )
6		fnresdm 5363	. . . . 5 |- ( F Fn ( Base ` M ) -> ( F |` ( Base ` M ) ) = F )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> ( F |` ( Base ` M ) ) = F )
8	7	rneqd 4891	. . 3 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> ran ( F |` ( Base ` M ) ) = ran F )
9	1, 8	eqtr2id 2239	. 2 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> ran F = ( F " ( Base ` M ) ) )
10		rhmrcl1 13651	. . . 4 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> M e. Ring )
11	2	subrgid 13719	. . . 4 |- ( M e. Ring -> ( Base ` M ) e. (SubRing ` M ) )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> ( Base ` M ) e. (SubRing ` M ) )
13		rhmima 13747	. . 3 |- ( ( F e. ( M RingHom N ) /\ ( Base ` M ) e. (SubRing ` M ) ) -> ( F " ( Base ` M ) ) e. (SubRing ` N ) )
14	12, 13	mpdan 421	. 2 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> ( F " ( Base ` M ) ) e. (SubRing ` N ) )
15	9, 14	eqeltrd 2270	1 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> ran F e. (SubRing ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   ran crn 4660   |` cres 4661   "cima 4662   Fn wfn 5249   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   Basecbs 12618   Ringcrg 13492   RingHom crh 13646  SubRingcsubrg 13713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mhm 13031  df-submnd 13032  df-grp 13075  df-minusg 13076  df-subg 13240  df-ghm 13311  df-mgp 13417  df-ur 13456  df-ring 13494  df-rhm 13648  df-subrg 13715

This theorem is referenced by: (None)