Theorem rnrhmsubrg 13884

Description: The range of a ring homomorphism is a subring. (Contributed by SN, 18-Nov-2023.)

Assertion

Ref	Expression
rnrhmsubrg	|- ( F e. ( M RingHom N ) -> ran F e. (SubRing ` N ) )

Proof of Theorem rnrhmsubrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 4677	. . 3 |- ( F " ( Base ` M ) ) = ran ( F |` ( Base ` M ) )
2		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
3		eqid 2196	. . . . . . 7 |- ( Base ` N ) = ( Base ` N )
4	2, 3	rhmf 13795	. . . . . 6 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> F : ( Base ` M ) --> ( Base ` N ) )
5	4	ffnd 5411	. . . . 5 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> F Fn ( Base ` M ) )
6		fnresdm 5370	. . . . 5 |- ( F Fn ( Base ` M ) -> ( F |` ( Base ` M ) ) = F )
7	5, 6	syl 14	. . . 4 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> ( F |` ( Base ` M ) ) = F )
8	7	rneqd 4896	. . 3 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> ran ( F |` ( Base ` M ) ) = ran F )
9	1, 8	eqtr2id 2242	. 2 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> ran F = ( F " ( Base ` M ) ) )
10		rhmrcl1 13787	. . . 4 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> M e. Ring )
11	2	subrgid 13855	. . . 4 |- ( M e. Ring -> ( Base ` M ) e. (SubRing ` M ) )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> ( Base ` M ) e. (SubRing ` M ) )
13		rhmima 13883	. . 3 |- ( ( F e. ( M RingHom N ) /\ ( Base ` M ) e. (SubRing ` M ) ) -> ( F " ( Base ` M ) ) e. (SubRing ` N ) )
14	12, 13	mpdan 421	. 2 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> ( F " ( Base ` M ) ) e. (SubRing ` N ) )
15	9, 14	eqeltrd 2273	1 |- ( F e. ( M RingHom N ) -> ran F e. (SubRing ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ran crn 4665   |` cres 4666   "cima 4667   Fn wfn 5254   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12703   Ringcrg 13628   RingHom crh 13782  SubRingcsubrg 13849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-0g 12960  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mhm 13161  df-submnd 13162  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-subg 13376  df-ghm 13447  df-mgp 13553  df-ur 13592  df-ring 13630  df-rhm 13784  df-subrg 13851

This theorem is referenced by: (None)