Theorem fprodunsn 12294

Description: Multiply in an additional term in a finite product. See also fprodsplitsn 12323 which is the same but with a F/ k ph hypothesis in place of the distinct variable condition between ph and k. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodunsn.f	|- F/_ k D
fprodunsn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodunsn.b	|- ( ph -> B e. V )
fprodunsn.ba	|- ( ph -> -. B e. A )
fprodunsn.ccl	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodunsn.dcl	|- ( ph -> D e. CC )
fprodunsn.d	|- ( k = B -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
fprodunsn	|- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, V   ph, k

Allowed substitution hints:   C( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodunsn

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodunsn.ba	. . . 4 |- ( ph -> -. B e. A )
2		disjsn 3753	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
3	1, 2	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { B } ) = (/) )
4		eqidd 2235	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = ( A u. { B } ) )
5		fprodunsn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fprodunsn.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
7		unsnfi 7181	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
8	5, 6, 1, 7	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. Fin )
9		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> j e. A )
10	9	orcd 741	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
11		df-dc 843	. . . . . 6 |- (DECID j e. A <-> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> DECID j e. A )
13		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> j e. { B } )
14		velsn 3708	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { B } <-> j = B )
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> j = B )
16	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> -. B e. A )
17	15, 16	eqneltrd 2330	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> -. j e. A )
18	17	olcd 742	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
19	18, 11	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> DECID j e. A )
20		elun 3362	. . . . . . 7 |- ( j e. ( A u. { B } ) <-> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
21	20	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( j e. ( A u. { B } ) -> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
22	21	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) -> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
23	12, 19, 22	mpjaodan 806	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) -> DECID j e. A )
24	23	ralrimiva 2617	. . 3 |- ( ph -> A. j e. ( A u. { B } )DECID j e. A )
25		fprodunsn.ccl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
26	25	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
27		elsni 3709	. . . . . . 7 |- ( k e. { B } -> k = B )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> k = B )
29		fprodunsn.d	. . . . . 6 |- ( k = B -> C = D )
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> C = D )
31		fprodunsn.dcl	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
32	31	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> D e. CC )
33	30, 32	eqeltrd 2311	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> C e. CC )
34		elun 3362	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. { B } ) <-> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
35	34	biimpi 120	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { B } ) -> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
36	35	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
37	26, 33, 36	mpjaodan 806	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> C e. CC )
38	3, 4, 8, 24, 37	fprodsplitdc 12286	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) )
39		fprodunsn.f	. . . . 5 |- F/_ k D
40	39, 29	prodsnf 12282	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ D e. CC ) -> prod_ k e. { B } C = D )
41	6, 31, 40	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { B } C = D )
42	41	oveq2d 6068	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) = ( prod_ k e. A C x. D ) )
43	38, 42	eqtrd 2267	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   F/_wnfc 2373   u. cun 3211   i^i cin 3212   (/)c0 3510   {csn 3691  (class class class)co 6052   Fincfn 6977   CCcc 8127   x. cmul 8134   prod_cprod 12240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247  ax-arch 8248  ax-caucvg 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-isom 5363  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-frec 6624  df-1o 6649  df-oadd 6653  df-er 6769  df-en 6978  df-dom 6979  df-fin 6980  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-q 9955  df-rp 9990  df-fz 10346  df-fzo 10481  df-seqfrec 10814  df-exp 10905  df-ihash 11143  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533  df-rsqrt 11687  df-abs 11688  df-clim 11968  df-proddc 12241

This theorem is referenced by:  fprodcl2lem  12295  fprodconst  12310  fprodap0  12311  fprodrec  12319  fprodmodd  12331