Theorem fprodunsn 11948

Description: Multiply in an additional term in a finite product. See also fprodsplitsn 11977 which is the same but with a F/ k ph hypothesis in place of the distinct variable condition between ph and k. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodunsn.f	|- F/_ k D
fprodunsn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodunsn.b	|- ( ph -> B e. V )
fprodunsn.ba	|- ( ph -> -. B e. A )
fprodunsn.ccl	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodunsn.dcl	|- ( ph -> D e. CC )
fprodunsn.d	|- ( k = B -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
fprodunsn	|- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, V   ph, k

Allowed substitution hints:   C( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodunsn

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodunsn.ba	. . . 4 |- ( ph -> -. B e. A )
2		disjsn 3695	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
3	1, 2	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { B } ) = (/) )
4		eqidd 2206	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = ( A u. { B } ) )
5		fprodunsn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fprodunsn.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
7		unsnfi 7018	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
8	5, 6, 1, 7	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. Fin )
9		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> j e. A )
10	9	orcd 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
11		df-dc 837	. . . . . 6 |- (DECID j e. A <-> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> DECID j e. A )
13		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> j e. { B } )
14		velsn 3650	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { B } <-> j = B )
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> j = B )
16	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> -. B e. A )
17	15, 16	eqneltrd 2301	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> -. j e. A )
18	17	olcd 736	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
19	18, 11	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> DECID j e. A )
20		elun 3314	. . . . . . 7 |- ( j e. ( A u. { B } ) <-> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
21	20	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( j e. ( A u. { B } ) -> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
22	21	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) -> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
23	12, 19, 22	mpjaodan 800	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) -> DECID j e. A )
24	23	ralrimiva 2579	. . 3 |- ( ph -> A. j e. ( A u. { B } )DECID j e. A )
25		fprodunsn.ccl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
26	25	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
27		elsni 3651	. . . . . . 7 |- ( k e. { B } -> k = B )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> k = B )
29		fprodunsn.d	. . . . . 6 |- ( k = B -> C = D )
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> C = D )
31		fprodunsn.dcl	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
32	31	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> D e. CC )
33	30, 32	eqeltrd 2282	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> C e. CC )
34		elun 3314	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. { B } ) <-> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
35	34	biimpi 120	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { B } ) -> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
36	35	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
37	26, 33, 36	mpjaodan 800	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> C e. CC )
38	3, 4, 8, 24, 37	fprodsplitdc 11940	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) )
39		fprodunsn.f	. . . . 5 |- F/_ k D
40	39, 29	prodsnf 11936	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ D e. CC ) -> prod_ k e. { B } C = D )
41	6, 31, 40	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { B } C = D )
42	41	oveq2d 5962	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) = ( prod_ k e. A C x. D ) )
43	38, 42	eqtrd 2238	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   F/_wnfc 2335   u. cun 3164   i^i cin 3165   (/)c0 3460   {csn 3633  (class class class)co 5946   Fincfn 6829   CCcc 7925   x. cmul 7932   prod_cprod 11894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045  ax-arch 8046  ax-caucvg 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-isom 5281  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-frec 6479  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-er 6622  df-en 6830  df-dom 6831  df-fin 6832  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-q 9743  df-rp 9778  df-fz 10133  df-fzo 10267  df-seqfrec 10595  df-exp 10686  df-ihash 10923  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188  df-rsqrt 11342  df-abs 11343  df-clim 11623  df-proddc 11895

This theorem is referenced by:  fprodcl2lem  11949  fprodconst  11964  fprodap0  11965  fprodrec  11973  fprodmodd  11985