Theorem fprodunsn 12030

Description: Multiply in an additional term in a finite product. See also fprodsplitsn 12059 which is the same but with a F/ k ph hypothesis in place of the distinct variable condition between ph and k. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodunsn.f	|- F/_ k D
fprodunsn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodunsn.b	|- ( ph -> B e. V )
fprodunsn.ba	|- ( ph -> -. B e. A )
fprodunsn.ccl	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodunsn.dcl	|- ( ph -> D e. CC )
fprodunsn.d	|- ( k = B -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
fprodunsn	|- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, V   ph, k

Allowed substitution hints:   C( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodunsn

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodunsn.ba	. . . 4 |- ( ph -> -. B e. A )
2		disjsn 3705	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
3	1, 2	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { B } ) = (/) )
4		eqidd 2208	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = ( A u. { B } ) )
5		fprodunsn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fprodunsn.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
7		unsnfi 7042	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
8	5, 6, 1, 7	syl3anc 1250	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. Fin )
9		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> j e. A )
10	9	orcd 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
11		df-dc 837	. . . . . 6 |- (DECID j e. A <-> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> DECID j e. A )
13		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> j e. { B } )
14		velsn 3660	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { B } <-> j = B )
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> j = B )
16	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> -. B e. A )
17	15, 16	eqneltrd 2303	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> -. j e. A )
18	17	olcd 736	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
19	18, 11	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> DECID j e. A )
20		elun 3322	. . . . . . 7 |- ( j e. ( A u. { B } ) <-> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
21	20	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( j e. ( A u. { B } ) -> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
22	21	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) -> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
23	12, 19, 22	mpjaodan 800	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) -> DECID j e. A )
24	23	ralrimiva 2581	. . 3 |- ( ph -> A. j e. ( A u. { B } )DECID j e. A )
25		fprodunsn.ccl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
26	25	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
27		elsni 3661	. . . . . . 7 |- ( k e. { B } -> k = B )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> k = B )
29		fprodunsn.d	. . . . . 6 |- ( k = B -> C = D )
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> C = D )
31		fprodunsn.dcl	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
32	31	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> D e. CC )
33	30, 32	eqeltrd 2284	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> C e. CC )
34		elun 3322	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. { B } ) <-> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
35	34	biimpi 120	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { B } ) -> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
36	35	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
37	26, 33, 36	mpjaodan 800	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> C e. CC )
38	3, 4, 8, 24, 37	fprodsplitdc 12022	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) )
39		fprodunsn.f	. . . . 5 |- F/_ k D
40	39, 29	prodsnf 12018	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ D e. CC ) -> prod_ k e. { B } C = D )
41	6, 31, 40	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { B } C = D )
42	41	oveq2d 5983	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) = ( prod_ k e. A C x. D ) )
43	38, 42	eqtrd 2240	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   F/_wnfc 2337   u. cun 3172   i^i cin 3173   (/)c0 3468   {csn 3643  (class class class)co 5967   Fincfn 6850   CCcc 7958   x. cmul 7965   prod_cprod 11976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-oadd 6529  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-ihash 10958  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-proddc 11977

This theorem is referenced by:  fprodcl2lem  12031  fprodconst  12046  fprodap0  12047  fprodrec  12055  fprodmodd  12067