Theorem fprodunsn 12115

Description: Multiply in an additional term in a finite product. See also fprodsplitsn 12144 which is the same but with a F/ k ph hypothesis in place of the distinct variable condition between ph and k. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodunsn.f	|- F/_ k D
fprodunsn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodunsn.b	|- ( ph -> B e. V )
fprodunsn.ba	|- ( ph -> -. B e. A )
fprodunsn.ccl	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodunsn.dcl	|- ( ph -> D e. CC )
fprodunsn.d	|- ( k = B -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
fprodunsn	|- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, V   ph, k

Allowed substitution hints:   C( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodunsn

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodunsn.ba	. . . 4 |- ( ph -> -. B e. A )
2		disjsn 3728	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
3	1, 2	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { B } ) = (/) )
4		eqidd 2230	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = ( A u. { B } ) )
5		fprodunsn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fprodunsn.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
7		unsnfi 7081	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
8	5, 6, 1, 7	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. Fin )
9		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> j e. A )
10	9	orcd 738	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
11		df-dc 840	. . . . . 6 |- (DECID j e. A <-> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> DECID j e. A )
13		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> j e. { B } )
14		velsn 3683	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { B } <-> j = B )
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> j = B )
16	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> -. B e. A )
17	15, 16	eqneltrd 2325	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> -. j e. A )
18	17	olcd 739	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
19	18, 11	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> DECID j e. A )
20		elun 3345	. . . . . . 7 |- ( j e. ( A u. { B } ) <-> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
21	20	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( j e. ( A u. { B } ) -> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
22	21	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) -> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
23	12, 19, 22	mpjaodan 803	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) -> DECID j e. A )
24	23	ralrimiva 2603	. . 3 |- ( ph -> A. j e. ( A u. { B } )DECID j e. A )
25		fprodunsn.ccl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
26	25	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
27		elsni 3684	. . . . . . 7 |- ( k e. { B } -> k = B )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> k = B )
29		fprodunsn.d	. . . . . 6 |- ( k = B -> C = D )
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> C = D )
31		fprodunsn.dcl	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
32	31	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> D e. CC )
33	30, 32	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> C e. CC )
34		elun 3345	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. { B } ) <-> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
35	34	biimpi 120	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { B } ) -> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
36	35	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
37	26, 33, 36	mpjaodan 803	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> C e. CC )
38	3, 4, 8, 24, 37	fprodsplitdc 12107	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) )
39		fprodunsn.f	. . . . 5 |- F/_ k D
40	39, 29	prodsnf 12103	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ D e. CC ) -> prod_ k e. { B } C = D )
41	6, 31, 40	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { B } C = D )
42	41	oveq2d 6017	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) = ( prod_ k e. A C x. D ) )
43	38, 42	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   F/_wnfc 2359   u. cun 3195   i^i cin 3196   (/)c0 3491   {csn 3666  (class class class)co 6001   Fincfn 6887   CCcc 7997   x. cmul 8004   prod_cprod 12061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-proddc 12062

This theorem is referenced by:  fprodcl2lem  12116  fprodconst  12131  fprodap0  12132  fprodrec  12140  fprodmodd  12152