ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodunsn Unicode version

Theorem fprodunsn 11567
Description: Multiply in an additional term in a finite product. See also fprodsplitsn 11596 which is the same but with a  F/ k
ph hypothesis in place of the distinct variable condition between  ph and  k. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodunsn.f  |-  F/_ k D
fprodunsn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fprodunsn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
fprodunsn.ba  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  A
)
fprodunsn.ccl  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
fprodunsn.dcl  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
fprodunsn.d  |-  ( k  =  B  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
fprodunsn  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( A  u.  { B } ) C  =  ( prod_ k  e.  A  C  x.  D )
)
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, V    ph, k
Allowed substitution hints:    C( k)    D( k)

Proof of Theorem fprodunsn
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fprodunsn.ba . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  A
)
2 disjsn 3645 . . . 4  |-  ( ( A  i^i  { B } )  =  (/)  <->  -.  B  e.  A )
31, 2sylibr 133 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  { B } )  =  (/) )
4 eqidd 2171 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  =  ( A  u.  { B } ) )
5 fprodunsn.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
6 fprodunsn.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
7 unsnfi 6896 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V  /\  -.  B  e.  A
)  ->  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )
85, 6, 1, 7syl3anc 1233 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  { B } )  e.  Fin )
9 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  j  e.  A )  ->  j  e.  A )
109orcd 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  j  e.  A )  ->  ( j  e.  A  \/  -.  j  e.  A
) )
11 df-dc 830 . . . . . 6  |-  (DECID  j  e.  A  <->  ( j  e.  A  \/  -.  j  e.  A ) )
1210, 11sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  j  e.  A )  -> DECID  j  e.  A )
13 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  j  e.  { B } )  ->  j  e.  { B } )
14 velsn 3600 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  { B }  <->  j  =  B )
1513, 14sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  j  e.  { B } )  ->  j  =  B )
161ad2antrr 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  j  e.  { B } )  ->  -.  B  e.  A )
1715, 16eqneltrd 2266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  j  e.  { B } )  ->  -.  j  e.  A )
1817olcd 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  j  e.  { B } )  ->  (
j  e.  A  \/  -.  j  e.  A
) )
1918, 11sylibr 133 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  j  e.  { B } )  -> DECID  j  e.  A
)
20 elun 3268 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( j  e.  A  \/  j  e.  { B } ) )
2120biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( j  e.  A  \/  j  e.  { B } ) )
2221adantl 275 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( j  e.  A  \/  j  e.  { B } ) )
2312, 19, 22mpjaodan 793 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> DECID  j  e.  A )
2423ralrimiva 2543 . . 3  |-  ( ph  ->  A. j  e.  ( A  u.  { B } )DECID  j  e.  A )
25 fprodunsn.ccl . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
2625adantlr 474 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
27 elsni 3601 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { B }  ->  k  =  B )
2827adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  k  e.  { B } )  ->  k  =  B )
29 fprodunsn.d . . . . . 6  |-  ( k  =  B  ->  C  =  D )
3028, 29syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  k  e.  { B } )  ->  C  =  D )
31 fprodunsn.dcl . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
3231ad2antrr 485 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  k  e.  { B } )  ->  D  e.  CC )
3330, 32eqeltrd 2247 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( A  u.  { B } ) )  /\  k  e.  { B } )  ->  C  e.  CC )
34 elun 3268 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  { B } )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  { B } ) )
3534biimpi 119 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  u.  { B } )  -> 
( k  e.  A  \/  k  e.  { B } ) )
3635adantl 275 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { B } ) )  -> 
( k  e.  A  \/  k  e.  { B } ) )
3726, 33, 36mpjaodan 793 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  u.  { B } ) )  ->  C  e.  CC )
383, 4, 8, 24, 37fprodsplitdc 11559 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( A  u.  { B } ) C  =  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e. 
{ B } C
) )
39 fprodunsn.f . . . . 5  |-  F/_ k D
4039, 29prodsnf 11555 . . . 4  |-  ( ( B  e.  V  /\  D  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  { B } C  =  D )
416, 31, 40syl2anc 409 . . 3  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  { B } C  =  D )
4241oveq2d 5869 . 2  |-  ( ph  ->  ( prod_ k  e.  A  C  x.  prod_ k  e. 
{ B } C
)  =  ( prod_
k  e.  A  C  x.  D ) )
4338, 42eqtrd 2203 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  ( A  u.  { B } ) C  =  ( prod_ k  e.  A  C  x.  D )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 703  DECID wdc 829    = wceq 1348    e. wcel 2141   F/_wnfc 2299    u. cun 3119    i^i cin 3120   (/)c0 3414   {csn 3583  (class class class)co 5853   Fincfn 6718   CCcc 7772    x. cmul 7779   prod_cprod 11513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514
This theorem is referenced by:  fprodcl2lem  11568  fprodconst  11583  fprodap0  11584  fprodrec  11592  fprodmodd  11604
  Copyright terms: Public domain W3C validator