Theorem fprodunsn 11747

Description: Multiply in an additional term in a finite product. See also fprodsplitsn 11776 which is the same but with a F/ k ph hypothesis in place of the distinct variable condition between ph and k. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodunsn.f	|- F/_ k D
fprodunsn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodunsn.b	|- ( ph -> B e. V )
fprodunsn.ba	|- ( ph -> -. B e. A )
fprodunsn.ccl	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fprodunsn.dcl	|- ( ph -> D e. CC )
fprodunsn.d	|- ( k = B -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
fprodunsn	|- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, V   ph, k

Allowed substitution hints:   C( k)   D( k)

Proof of Theorem fprodunsn

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodunsn.ba	. . . 4 |- ( ph -> -. B e. A )
2		disjsn 3680	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
3	1, 2	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { B } ) = (/) )
4		eqidd 2194	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = ( A u. { B } ) )
5		fprodunsn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fprodunsn.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
7		unsnfi 6975	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
8	5, 6, 1, 7	syl3anc 1249	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. Fin )
9		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> j e. A )
10	9	orcd 734	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
11		df-dc 836	. . . . . 6 |- (DECID j e. A <-> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
12	10, 11	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. A ) -> DECID j e. A )
13		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> j e. { B } )
14		velsn 3635	. . . . . . . . 9 |- ( j e. { B } <-> j = B )
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> j = B )
16	1	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> -. B e. A )
17	15, 16	eqneltrd 2289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> -. j e. A )
18	17	olcd 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> ( j e. A \/ -. j e. A ) )
19	18, 11	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) /\ j e. { B } ) -> DECID j e. A )
20		elun 3300	. . . . . . 7 |- ( j e. ( A u. { B } ) <-> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
21	20	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( j e. ( A u. { B } ) -> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
22	21	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) -> ( j e. A \/ j e. { B } ) )
23	12, 19, 22	mpjaodan 799	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( A u. { B } ) ) -> DECID j e. A )
24	23	ralrimiva 2567	. . 3 |- ( ph -> A. j e. ( A u. { B } )DECID j e. A )
25		fprodunsn.ccl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
26	25	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
27		elsni 3636	. . . . . . 7 |- ( k e. { B } -> k = B )
28	27	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> k = B )
29		fprodunsn.d	. . . . . 6 |- ( k = B -> C = D )
30	28, 29	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> C = D )
31		fprodunsn.dcl	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. CC )
32	31	ad2antrr 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> D e. CC )
33	30, 32	eqeltrd 2270	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. { B } ) -> C e. CC )
34		elun 3300	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. { B } ) <-> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
35	34	biimpi 120	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { B } ) -> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
36	35	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
37	26, 33, 36	mpjaodan 799	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> C e. CC )
38	3, 4, 8, 24, 37	fprodsplitdc 11739	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) )
39		fprodunsn.f	. . . . 5 |- F/_ k D
40	39, 29	prodsnf 11735	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ D e. CC ) -> prod_ k e. { B } C = D )
41	6, 31, 40	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> prod_ k e. { B } C = D )
42	41	oveq2d 5934	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A C x. prod_ k e. { B } C ) = ( prod_ k e. A C x. D ) )
43	38, 42	eqtrd 2226	1 |- ( ph -> prod_ k e. ( A u. { B } ) C = ( prod_ k e. A C x. D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   F/_wnfc 2323   u. cun 3151   i^i cin 3152   (/)c0 3446   {csn 3618  (class class class)co 5918   Fincfn 6794   CCcc 7870   x. cmul 7877   prod_cprod 11693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694

This theorem is referenced by:  fprodcl2lem  11748  fprodconst  11763  fprodap0  11764  fprodrec  11772  fprodmodd  11784