Theorem fsumsplitsn 11921

Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplitsn.ph	|- F/ k ph
fsumsplitsn.kd	|- F/_ k D
fsumsplitsn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumsplitsn.b	|- ( ph -> B e. V )
fsumsplitsn.ba	|- ( ph -> -. B e. A )
fsumsplitsn.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fsumsplitsn.d	|- ( k = B -> C = D )
fsumsplitsn.dcn	|- ( ph -> D e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsn	|- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { B } ) C = ( sum_ k e. A C + D ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)   D( k)

Proof of Theorem fsumsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumsplitsn.ph	. . 3 |- F/ k ph
2		fsumsplitsn.ba	. . . 4 |- ( ph -> -. B e. A )
3		disjsn 3728	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
4	2, 3	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { B } ) = (/) )
5		eqidd 2230	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = ( A u. { B } ) )
6		fsumsplitsn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		fsumsplitsn.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
8		unsnfi 7081	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
9	6, 7, 2, 8	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. Fin )
10		fsumsplitsn.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
11	10	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
12		fsumsplitsn.d	. . . . . . 7 |- ( k = B -> C = D )
13	12	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C = D )
14		fsumsplitsn.dcn	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. CC )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = B ) -> D e. CC )
16	13, 15	eqeltrd 2306	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C e. CC )
17	16	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k = B ) -> C e. CC )
18		elun 3345	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. { B } ) <-> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
19		elsni 3684	. . . . . . 7 |- ( k e. { B } -> k = B )
20	19	orim2i 766	. . . . . 6 |- ( ( k e. A \/ k e. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
21	18, 20	sylbi 121	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
22	21	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
23	11, 17, 22	mpjaodan 803	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> C e. CC )
24	1, 4, 5, 9, 23	fsumsplitf 11919	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { B } ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. { B } C ) )
25		fsumsplitsn.kd	. . . . 5 |- F/_ k D
26	25, 12	sumsnf 11920	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ D e. CC ) -> sum_ k e. { B } C = D )
27	7, 14, 26	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { B } C = D )
28	27	oveq2d 6017	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. { B } C ) = ( sum_ k e. A C + D ) )
29	24, 28	eqtrd 2262	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { B } ) C = ( sum_ k e. A C + D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   F/wnf 1506   e. wcel 2200   F/_wnfc 2359   u. cun 3195   i^i cin 3196   (/)c0 3491   {csn 3666  (class class class)co 6001   Fincfn 6887   CCcc 7997   + caddc 8002   sum_csu 11864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-sumdc 11865

This theorem is referenced by:  fsumrelem  11982  gsumfzfsumlemm  14551  trilpolemeq1  16408  nconstwlpolemgt0  16432