Theorem fsumsplitsn 11410

Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplitsn.ph	|- F/ k ph
fsumsplitsn.kd	|- F/_ k D
fsumsplitsn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumsplitsn.b	|- ( ph -> B e. V )
fsumsplitsn.ba	|- ( ph -> -. B e. A )
fsumsplitsn.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fsumsplitsn.d	|- ( k = B -> C = D )
fsumsplitsn.dcn	|- ( ph -> D e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsn	|- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { B } ) C = ( sum_ k e. A C + D ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)   D( k)

Proof of Theorem fsumsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumsplitsn.ph	. . 3 |- F/ k ph
2		fsumsplitsn.ba	. . . 4 |- ( ph -> -. B e. A )
3		disjsn 3654	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
4	2, 3	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { B } ) = (/) )
5		eqidd 2178	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = ( A u. { B } ) )
6		fsumsplitsn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		fsumsplitsn.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
8		unsnfi 6914	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
9	6, 7, 2, 8	syl3anc 1238	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. Fin )
10		fsumsplitsn.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
11	10	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
12		fsumsplitsn.d	. . . . . . 7 |- ( k = B -> C = D )
13	12	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C = D )
14		fsumsplitsn.dcn	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. CC )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = B ) -> D e. CC )
16	13, 15	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C e. CC )
17	16	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k = B ) -> C e. CC )
18		elun 3276	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. { B } ) <-> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
19		elsni 3610	. . . . . . 7 |- ( k e. { B } -> k = B )
20	19	orim2i 761	. . . . . 6 |- ( ( k e. A \/ k e. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
21	18, 20	sylbi 121	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
22	21	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
23	11, 17, 22	mpjaodan 798	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> C e. CC )
24	1, 4, 5, 9, 23	fsumsplitf 11408	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { B } ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. { B } C ) )
25		fsumsplitsn.kd	. . . . 5 |- F/_ k D
26	25, 12	sumsnf 11409	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ D e. CC ) -> sum_ k e. { B } C = D )
27	7, 14, 26	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { B } C = D )
28	27	oveq2d 5887	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. { B } C ) = ( sum_ k e. A C + D ) )
29	24, 28	eqtrd 2210	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { B } ) C = ( sum_ k e. A C + D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   F/wnf 1460   e. wcel 2148   F/_wnfc 2306   u. cun 3127   i^i cin 3128   (/)c0 3422   {csn 3592  (class class class)co 5871   Fincfn 6736   CCcc 7805   + caddc 7810   sum_csu 11353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925  ax-arch 7926  ax-caucvg 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-isom 5223  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-irdg 6367  df-frec 6388  df-1o 6413  df-oadd 6417  df-er 6531  df-en 6737  df-dom 6738  df-fin 6739  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-q 9615  df-rp 9649  df-fz 10004  df-fzo 10137  df-seqfrec 10440  df-exp 10514  df-ihash 10748  df-cj 10843  df-re 10844  df-im 10845  df-rsqrt 10999  df-abs 11000  df-clim 11279  df-sumdc 11354

This theorem is referenced by:  fsumrelem  11471  trilpolemeq1  14639  nconstwlpolemgt0  14662