Theorem fsumsplitsn 10867

Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplitsn.ph	|- F/ k ph
fsumsplitsn.kd	|- F/_ k D
fsumsplitsn.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumsplitsn.b	|- ( ph -> B e. V )
fsumsplitsn.ba	|- ( ph -> -. B e. A )
fsumsplitsn.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fsumsplitsn.d	|- ( k = B -> C = D )
fsumsplitsn.dcn	|- ( ph -> D e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsn	|- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { B } ) C = ( sum_ k e. A C + D ) )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   k, V

Allowed substitution hints:   ph( k)   C( k)   D( k)

Proof of Theorem fsumsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumsplitsn.ph	. . 3 |- F/ k ph
2		fsumsplitsn.ba	. . . 4 |- ( ph -> -. B e. A )
3		disjsn 3510	. . . 4 |- ( ( A i^i { B } ) = (/) <-> -. B e. A )
4	2, 3	sylibr 133	. . 3 |- ( ph -> ( A i^i { B } ) = (/) )
5		eqidd 2090	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) = ( A u. { B } ) )
6		fsumsplitsn.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
7		fsumsplitsn.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. V )
8		unsnfi 6685	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ B e. V /\ -. B e. A ) -> ( A u. { B } ) e. Fin )
9	6, 7, 2, 8	syl3anc 1175	. . 3 |- ( ph -> ( A u. { B } ) e. Fin )
10		fsumsplitsn.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
11	10	adantlr 462	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
12		fsumsplitsn.d	. . . . . . 7 |- ( k = B -> C = D )
13	12	adantl 272	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C = D )
14		fsumsplitsn.dcn	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. CC )
15	14	adantr 271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k = B ) -> D e. CC )
16	13, 15	eqeltrd 2165	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = B ) -> C e. CC )
17	16	adantlr 462	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) /\ k = B ) -> C e. CC )
18		elun 3144	. . . . . 6 |- ( k e. ( A u. { B } ) <-> ( k e. A \/ k e. { B } ) )
19		elsni 3470	. . . . . . 7 |- ( k e. { B } -> k = B )
20	19	orim2i 714	. . . . . 6 |- ( ( k e. A \/ k e. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
21	18, 20	sylbi 120	. . . . 5 |- ( k e. ( A u. { B } ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
22	21	adantl 272	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> ( k e. A \/ k = B ) )
23	11, 17, 22	mpjaodan 748	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( A u. { B } ) ) -> C e. CC )
24	1, 4, 5, 9, 23	fsumsplitf 10865	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { B } ) C = ( sum_ k e. A C + sum_ k e. { B } C ) )
25		fsumsplitsn.kd	. . . . 5 |- F/_ k D
26	25, 12	sumsnf 10866	. . . 4 |- ( ( B e. V /\ D e. CC ) -> sum_ k e. { B } C = D )
27	7, 14, 26	syl2anc 404	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { B } C = D )
28	27	oveq2d 5684	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. A C + sum_ k e. { B } C ) = ( sum_ k e. A C + D ) )
29	24, 28	eqtrd 2121	1 |- ( ph -> sum_ k e. ( A u. { B } ) C = ( sum_ k e. A C + D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 665   = wceq 1290   F/wnf 1395   e. wcel 1439   F/_wnfc 2216   u. cun 3000   i^i cin 3001   (/)c0 3289   {csn 3452  (class class class)co 5668   Fincfn 6513   CCcc 7411   + caddc 7416   sum_csu 10805

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806

This theorem is referenced by:  fsumrelem  10928